Файл: лекции 2-й семестр.doc

_n

max {1/n  v(a_i,s_j)}

^{ai j=1}

Если величина v(a_i, s_j) представляет собой расходы ЛПР, то оператор “max” заменяется на ”min”.

Максиминный (минимаксный) критерий основан на консервативном осторожном поведении ЛПР, и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших. Если величина v(a_i, s_j) представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее

max {min v(a_i, s_j)}

^{ai sj}

Если величина v(a_i, s_j) представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением

min{max v(a_i, s_j)}

^{ai sj}

Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) v(a_i, s_j) матрицей потерь r(a_i, s_j), которая определяется следующим образом

max {v(a_k, s_j)} - v(a_i, s_j), если v - доход,

r(ai,sj) =^ak

v(a_i, s_j) - min{v(a_k, s_j)}, если v - потери.

^ak

Чтобы показать, как критерий Сэвиджа “смягчает” минимаксный (макиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей v(a_i, s_j):

x₁x₂Максимум строк

a₁11000 90 11000

a₂10000 10000 10000Минимакс

Применение минимаксного критерия приводит к тому, что решение а₂с фиксированными потерями в 10000 долл. является предпочтительным. Однако можно выбрать а₁, т.к. в этом случае имеется возможность потерять лишь 90 долл., если реализуется состояние s₂.

Посмотрим, какой результат получится, если в минимаксном критерии вместо матрицы платежей v(a_i, s_j) используем матрицу потерь r(a_i, s_j).

s₁s₂Максимум строк

a₁1000 0 1000Минимакс

a₂0 9910

Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь, приводит к выбору решения а₁в качестве предпочтительного.

Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к ПР - от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 1 и величины v(a_i, s_j) представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует

max{maxv(a_i,s_j) + (1 -)minv(a_i,s_j)}.

^{ai sj sj}

Параметр - показатель оптимизма. Если= 0, критерий Гурвица становится консервативным, т.к. его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия. Если= 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, т.к. рассчитывает на наилучшие из наилучших условий. Можем конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величиныиз интервала [0, 1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор= 0.5 представляется наиболее разумным.

Если величины v(a_i, s_j) представляют потери, то критерий принимает следующий вид:

min{ min v(a_i, s_j) + (1 - ) max v(a_i, s_j)}.

^{ai sj sj}

Рассмотрим пример, показывающий сравнительную эффективность использования различных критериев.

Пример 4

Компания, реализующая проект производства новой продукции, подбирает место для строительства предприятия. В компании считают, что объем выпуска продукции может быть 200, 250, 300 или 350 единиц. Стоимость предприятия будет минимальной, поскольку оно строится для удовлетворения только точно определенных небольших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения относительно идеальных уровней потребностей влекут за собой дополнительные затраты, обусловленные строительством избыточных (неиспользуемых) мощностей или потерей возможности получить прибыль в случае, когда некоторые потребности не удовлетворяются. Пусть переменные а₁- а₄представляют собой возможные размеры предприятия (на 200, 250, 300 или 350 единиц), а переменные s₁- s₄- соответствующее число участников производства. Следующая таблица содержит матрицу стоимостей (в тыс. долл.), относящуюся к описанной ситуации.

Описанная ситуация анализируется с точки зрения четырех рассмотренных выше критериев.

Критерий Лапласа. При заданных вероятностях P{s_j} = 1/4, j =1,...,4, ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом.

M{a₁} = 1/4(5+10+18+25) = 14500$

M{a₂} = 1/4(8+7+12+23) = 12500$оптимум

M{a₃} = 1/4(21+18+12+21) = 18000$

M{a₄} = 1/4(30+22+19+15) = 21500$

Минимаксный критерий. Этот критерий использует исходную матрицу стоимостей.

Критерий Сэвиджа. Матрица потерь определяется посредством вычитания чисел 5, 7, 12 и 15 из элементов столбцов от первого до четвертого соответственно. Следовательно,

Критерий Гурвица. Результаты вычислений содержатся в таблице.

Используя подходящее значение для , можно определить оптимальную альтернативу. Например, при= 0.5 оптимальными являются либо альтернатива а₁, либо а₂, тогда как при= 0.25 оптимальным является решение а₃.

В теории игр рассматриваются ситуации, связанные с ПР, в которых два разумных противника имеют конфликтующие цели. К числу типичных примеров относится рекламирование конкурирующих товаров и планирование военных стратегий противоборствующих армий. Эти ситуации ПР отличаются от рассмотренных ранее, где природа не рассматривается в роли недоброжелателя.

Контрольные вопросы по главе

• дайте классификацию основных математических методов и моделей, используемых для управления инновационными проектами;

• как методы теории исследования операций помогают строить прогнозы развития проекта;

• сопоставьте процедуры трех методов: скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и регрессионного прогнозирования;

• сетевые модели и сетевое планирование – поясните их суть на примере конкретного проекта;

• методы СРМ и РЕRТ;

• сетевая модель для многопроектного управления;

• возможности и особенности применения балансовых моделей к многопроектному управлению инновациями;

• одно- и многопродуктовые модели Леонтьева;

• решение задачи наблюдаемости и задачи синтеза многопроектного управления на стадии планирования;

• производственные функции как аналитические модели процессов реализации инноваций;

• приведите примеры наиболее часто использующихся производственных функций и дайте их геометрическую интерпретацию;

• проиллюстрируйте возможность использования производственной функции для обоснованного принятия решения по ликвидации критического пути, возникшего в некоторой ситуации реализации инновационного проекта;

• сравните особенности принятия решения в трех ситуациях: в условиях определенности, в условиях риска, в условиях неопределенности;

• чем определяются точность и адекватность балансовых моделей и производственных функций.