Файл: лекции 2-й семестр.doc

При управлении инновационными проектами довольно часто приходится решать задачу выбора проектов для инвестирования, предлагаемых различными компаниями, акции которых представлены на фондовой бирже. В приведенном ниже примере /25/ рассматривается простая ситуация, связанная с ПР при наличии конечного числа альтернатив и точных значений матрицы доходов.

Пример 1

Предположим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 10 тыс. долл. в акции одной из двух компаний: А или В. Акции компании А являются рискованными, но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиции на протяжении следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, сумма инвестиций может обесцениться на 20%. Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15% прибыли в условиях повышения котировок на бирже и только 5% - в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации, с которыми можно познакомиться, с вероятностью 60% прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40% - понижение котировок. В какую компанию следует вложить деньги?

Информация, связанная с ПР, суммирована в таблице.

Эта задача может быть представлена в виде дерева решений, показанного на рис. 39. На этом рисунке используется два типа вершин: квадратик представляет “решающую” вершину, а кружок - “случайную”. Таким образом, из вершины 1 (“решающая”) выходят две ветви, представляющие альтернативы, связанные с покупкой акций компании А или В. Далее две ветви, выходящие из “случайных” вершин 2 и 3, соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями их появления и соответствующими платежами.

Исходя из схемы рис. 39, получаем ожидаемую прибыль за год для каждой из двух альтернатив.

Для акций компании А: 5000 долл. 0.6 + (-2000 долл.)0.4 = 2200 долл.

Для акций компании В: 1500 долл. 0.6 + 500 долл.0.4 = 1100 долл.

Решением, основанным на этих вычислениях, является покупка акций компании А.

Повышение котировок (0.6)

Инвестиции в 5000 долл.

Компанию а

Понижение котировок (0.4) -2000 долл.

1

Повышение котировок (0.6)

1500 долл.

Инвестиции в

компанию В Понижение котировок (0.4) 500 долл.

Рис. 39.

В теории ПР повышение и понижение котировок на бирже именуются состояниями природы, возможные реализации которых являются случайными событиями. В общем случае задача принятия решений (ЗПР) может включать n состояний природы и m альтернатив. Если P_j- вероятность j-го состояния природы, а a_ij- платеж, связанный с принятием решения i при состоянии природы j (i = 1,...,m, j = 1,...,n), тогда ожидаемый платеж для решения i вычисляется в виде

MV_i = a_i1P_i1 + a_i2P_i2 + ... + a_inP_in, i =1,...,n,

где по определению P₁+P₂+ ... +P_n= 1.

Наилучшим решением буде то, которое соответствует MV^*_i= max_i{MV_i} или MV^*_i= min_i{MV_i}, в зависимости от того, является ли платеж в задаче доходом (прибылью) или убытком (затратами).

Для демонстрации других возможностей применения критерия ожидаемого значения рассмотрим ситуации ПР, в которых плата является математической функцией альтернативных решений. В этом случае представление задачи в виде дерева решений хотя и является возможным, но может быть не столь полезным, как в предыдущем примере. Рассмотрим условный пример, описанный в /25/.

Пример 2.

Электроэнергетическая компания использует парк из 20 грузовых автомобилей для обслуживания электрической сети. Компания планирует периодический профилактический ремонт автомобилей. Вероятность p_iполомки автомобиля по истечении t месяцев после профилактического ремонта оценивается следующим образом.

Случайная поломка одного грузового автомобиля обходится компании в 200 долл., а плановый профилактический ремонт в 50 долл. Необходимо определить оптимальный период (в месяцах) между плановыми профилактическими ремонтами.

Обозначим через N искомое число месяцев между профилактическими ремонтами. На протяжении N-месячного цикла могут иметь место два вида расходов: 1) затраты, связанные с устранением поломки автомобиля на протяжении первых N-1 месяцев и 2) затраты на профилактический ремонт в конце цикла. Затраты второго вида (профилактический ремонт) составляют 50 долл.20 автомобилей, т.е. 1000 долл. на цикл. Затраты, связанные с устранением поломок автомобилей, должны основываться на среднем количестве автомобилей, вышедших из строя на протяжении первых N-1 месяцев цикла. Здесь мы имеем два состояния по истечении месяца t: поломка автомобиля с вероятностью p_i и ее отсутствие с вероятностью 1 - p_i. Следовательно, ожидаемое число поломок по истечении месяца t равно количеству автомашин в парке, умноженному на p_i, т.е. 20p_i. Используя этот результат, подсчитаем ожидаемое общее число сломавшихся автомобилей на протяжении первых N-1 месяцев цикла в виде суммы соответствующих величин для каждого месяца в отдельности, т.е. 20p₁ + 20p₂ + .... + 20p_N-1= 20(p₁ +p₂ + ... +p_N-1). Обозначив через EC(N) общую ожидаемую стоимость для цикла между профилактическими ремонтами, имеем следующее:

EC(N) = 1000$ + 200$20(p₁ +p₂+ .... + p_N-1).

Задача выбора решения компанией сводится таким образом к определению длины цикла N, которая минимизирует общие ожидаемые затраты за один месяц ECPM(N), т.е. величину

_N-1

ECPM(N) = EC(N)/N = (1000 + 4000  p_i) / N

ⁱ⁼¹

Минимизацию функции ECPM(N) нельзя выполнить в явной форме. Вместо этого используется табличная форма нахождения решения.

Оптимальное N 4

Вычисления показывают, что ECPM(N) достигает своего минимума при N = 4. Следовательно, профилактический ремонт автомобилей нужно выполнять каждые четыре месяца.

Рассмотрим три модификации критерия ожидаемого значения. Первая состоит в определении апостериорных вероятностей на основе эксперимента над исследуемой системой, вторая - в полезности реальной стоимости денег, а третья модифицирует критерий ожидаемого значения таким образом, что он может быть использован для ПР при краткосрочном планировании.

Распределения вероятностей, которые используются при формулировке критерия ожидаемого значения, получаются, как правило, из накопленной ранее информации. В некоторых случаях оказывается возможным модифицировать эти вероятности с помощью текущей и/или полученной ранее информации, которая обычно основывается на исследовании выборочных (или экспериментальных) данных. Получаемые при этом вероятности называют апостериорными (или Байесовскими), в отличие от априорных, полученных из исходной информации.