Файл: лекции 2-й семестр.doc

7.5. Использование математического аппарата производственных функций при управлении инновациями

Основной функцией руководителя проекта является оперативное руководство работами на всех стадиях жизненного цикла проекта, в том числе на стадии планирования и собственно реализации проекта. Оперативное руководство - это процесс принятия таких решений, в результате которых затраты на осуществление проекта не превышают плановых лимитов, т.е. оперативное руководство состоит из оценки степени технической готовности работ над проектом и корректировки отклонений от планового графика.

На практике функцию оперативного руководства не следует отделять от функции планирования, поскольку оперативное руководство уже предполагает существование некоторого плана, который служит эталоном для измерения и оценки степени продвижения работ. Кроме того, в процессе управления используется сравнение первоначального плана с рядом работ, что позволяет вносить соответствующие коррективы в планы. Таким образом, планирование, оперативное управление и корректировка плана являются взаимосвязанными операциями, выполнение которых постоянно вменяется в обязанности руководителя проекта.

Производственные функции (ПФ) могут служить инструментом, позволяющим проводить разнообразные аналитические расчеты, определять эффективность использования и маневра ресурсов, целесообразность их дополнительного вовлечения в реализацию проектов, планировать выпуск продукции и контролировать реальность планов. Важную роль играют ПФ и в качественном исследовании технико-экономических систем, являясь неотъемлемой частью большинства комплексных моделей экономической динамики, к которым, в первую очередь, относятся различные модели МОБ.

В основе концепции ПФ лежат два принципа моделирования: целевая направленность и аппроксимационный характер модели.

Принцип целенаправленности моделирования состоит в последовательном использовании информации о цели построения модели и сфере ее применения практически на всех этапах построения ПФ - от формирования информационной базы до вычислительных методов оценки параметров. Поскольку цели моделирования могут быть различными, в качестве моделей одного и того же процесса могут использоваться разные ПФ.

Согласно аппроксимационному принципу каждая экономико-статистическая модель рассматривается как звено в системе аппроксимации - процесса последовательного, приближенного и все более точного описания реального явления. ПФ конкретного объекта при таком подходе - результат поиска наиболее адекватного в данных условиях математического описания процесса производства в конкретной экономической системе. При этом условия построения ПФ включают имеющуюся в данный момент информацию о характере функционирования производства, целях и доступных средствах моделирования.

Таким образом, производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат (факторов, ресурсов) с величиной выпуска продукции.

С помощью ПФ решаются задачи:

1. Оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

2. Прогнозирования экономического роста;

3. Разработки вариантов плана развития производства;

4. Оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Общий вид ПФ:

Y=Y(R₁,R₂, ….,R_i,…,R_n), (1)

где Y– показатель, характеризующий результаты производства;R_i факторный показатель i-го производственного ресурса;n– количество факторных показателей.

ПФ определяются двумя группами предположений: математических и экономических.

Математически предполагается, что ПФ должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Экономические предположения состоят в следующем.

При отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т.е. выполняется:

Y(0,R₂,…,R_i,…,R_n) = … = Y(R₁,R₂,…,R_i,…,0) = … =Y(R₁,R₂,…,R_i,…,0) = 0; (2)

Рост использования ресурсов приводит к росту результата производства, т.е. выполняются соотношения:

dY/dR_i>0,i=1,…,n; (3)

Увеличение затрат одного ресурса приводит к снижению эффективности его использования:

d²Y/dR_i²<0,i= 1,…,n. (4)

При макроэкономическом моделировании часто используется предположение о том, что:

Y(R₁,R₂,…,R_i,…,R_n) =Y(R₁,R₂,…,R_i,…,R_n), при>0, (5)

где - постоянная, т.е. о пропорциональности роста результата росту затрат ресурсов.

При условии выполнения сделанных предположений график двухфакторной ПФ Y(X₁,X₂) имеет вид, представленный на рис.31.

Рис.31. График производственной функции

В табл. 30 дан перечень наиболее известных классов функций. При этом для простоты приведены лишь их двухфакторные записи, т.е. только для n= 2.

Таблица 30. Виды производственных функций

Приведем графики некоторых наиболее часто используемых в практике управления ИП производственных функций.

Рис.31. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева)

Y = min (L/a₁, K/a₂)

Такая модель отражает тот факт, что ресурсы не могут заменять друг друга. Если один из ресурсов ограничен, можно рассчитать оптимальный (наименьший) требуемый объем второго ресурса.

Рис. 32. Производственная функция Кобба-Дугласа Y = a₀L^aK^1-a

Для получения требуемого выпуска можно выбрать соотношение затрат ресурсов LиK.

Рис. 33. Линейная производственная функция Y =a₁L+ a₂K

Модель используется при взаимозаменяемости ресурсов.

На практике ПФ строятся на основе изучения конкретного производственного процесса или процесса реализации ИП. При этом, прежде всего определяется вид аналитического выражения для функции, а затем методами математической статистики - численные значения параметров. Чаще всего используются линейные ПФ вида

_m

(x) =a_ix_i,

ⁱ⁼¹

а также степенные функции

_m

(x) =Ax^ai_i,

ⁱ⁼¹

для которых проблема оценивания параметров сводится к линейной задаче путем перехода к ней логарифмированием функции.

ПФ по существу представляет собой факторное разложение одного из обобщающих показателей – объема выпуска продукции. Построение этой функции дает возможность проводить анализ и оценку влияния факторов на динамику объема выпуска за определенный период. Рассмотрим этапы построения ПФ для предприятия, реализующего ИП.

Пусть задана ПФ для предприятия (x₁, ... , x_m). Однородная продукция может производиться различными производственными способами, различающимися между собой эффективностью использования ресурсов - разнообразных материалов, затрат труда рабочих разных профессий и т.п.

Каждый производственный способ в пределах рассматриваемого периода (года) обладает фиксированной производственной мощностью, т.е. максимально возможным объемом выпуска.

Обозначим:

y_j - количество товара, производимое j-м производственным способом, j = 1,...,n;

m_j - производственная мощность j-го способа (ед.тов./год);

x_ij- удельные затраты i-го ресурса на единицу товара, производимого j-м производственным способом (ед.рес. i/ед.тов.);

w_i - стоимость единицы i-го ресурса (руб./ед.рес.), i = 1,...,m;

w₀- объем фиксированных затрат по обслуживанию производства и управлению (руб./год).

Задача определения объема выпуска различными производственными способами, обеспечивающими достижение максимальной прибыли, имеет вид:

_{n m n}

Py_j- [w_ix_ijy_j+ w₀]maxx_j. (6)

^{j=1 i=1 j=1}

Максимизация осуществляется по производственным способам. Используя ПФ, выражение (6) преобразуем следующим образом:

_{m n}

P(x₁, ... ,x_m) - [w_ix_ijy_j+w₀]maxxj, (7)

^{i=1 j=1}

или

_n

(x₁, ... , x_m) = max  y_j, (8)

^j=1

при ограничениях на ресурсы и производственную мощность:

_n

 x_ijy_j  a_i, i = 1, ..., m,

^j=1

y_jm_j,j= 1, ...,n.

Условие (7) максимизирует прибыль, условие (8) - объем производства по производственным способам.

Подставив выражение (7) в виде

_m

P(x₁, ... ,x_m) - [w_ix_i+w₀]maxx_j, (9)

ⁱ⁼¹

получим модель, в которой максимизация прибыли осуществляется по объемам вовлекаемых в производство ресурсов x_j- переменным производственным факторам. Постоянные факторы w₀ неизменны. Их наиболее эффективное использование уже отражено в ПФ. Для случая нелинейной ПФ решение задачи (9) определяется совокупностью уравнений

P/x_i =w_i,i= 1, ...,m, (10)