ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.02.2019
Просмотров: 6158
Скачиваний: 1
Уравнение Шредингера
(нерелятивистское волновое уравнение)
( , )
r t
(
)
(
)
( , )
i
pr Et
i kr wt
r t
Ae
Ae
где
/ ;
;
/ 2
k
p
E
h
Если
= 1
→ уравнение движения свободной частицы. Дифференцируем (1) по
t
и по
x,
y, z
:
(2)
(3)
d
i
d
E
или i
E
dt
dt
,
,
x
y
z
d
i
d
i
d
i
p
p
p
dx
dy
dz
Каждая частица с импульсом - это волна де Бройля c длиной волны
=
.
Состояние частицы описывается волновой функцией .
Волновая функция свободной частицы с импульсом и энергией это плоская
монохроматическая волна:
(1)
Каждая частица с импульсом это волна де Бройля c длиной волны
=
. Состояние
частицы описывается волновой функцией . Волновая функция свободной частицы
с импульсом и энергией
это плоская монохроматическая волна:
(1)
Уравнение Шредингера
(нерелятивистское волновое уравнение)
( , )
r t
( , )
r t
(
)
(
)
( , )
i
pr Et
i kr wt
r t
Ae
Ae
где
/ ;
;
/ 2
k
p
E
h
Если
= 1
→ уравнение движения свободной частицы. Дифференцируем (1) по
t
и по
x,
y, z
:
(2)
(3)
d
i
d
E
или i
E
dt
dt
,
,
x
y
z
d
i
d
i
d
i
p
p
p
dx
dy
dz
Дифференцируем по
x, y, z
ещё раз:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
(
)
(
.
)
x
y
z
p
p
p
x
y
z
Для свободной частицы
2
2
2
(
)
(
)
(
)
.
2
x
y
z
p
p
p
E
T
m
Уравнение Шредингера для свободной частицы
2
2
d
i
dt
m
Уравнение Шредингера
Операторы физических величин
,
,
x
y
z
d
i
d
i
d
i
p
p
p
dx
dy
dz
Соотношения можно переписать:
(4)
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
,
x
x
y
y
z
x
p
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
;
;
x
y
z
p
p
p
i x
i y
i z
операторы проекций импульса
Уравнение Шредингера
Операторы физических величин
,
,
x
y
z
d
i
d
i
d
i
p
p
p
dx
dy
dz
Соотношения можно переписать:
(4)
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
,
x
x
y
y
z
x
p
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
;
;
x
y
z
p
p
p
i x
i y
i z
операторы проекций импульса
Соотношения (4) - дифференциальные уравнения для нахождения волновых функций
и собственных значений проекций импульса
,
и
в состояниях, описываемых
волновыми функциями .
Уравнение Шредингера
Операторы физических величин
,
,
x
y
z
d
i
d
i
d
i
p
p
p
dx
dy
dz
Соотношения можно переписать:
(4)
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
,
x
x
y
y
z
x
p
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
;
;
x
y
z
p
p
p
i x
i y
i z
операторы проекций импульса
Соотношения (4) - дифференциальные уравнения для нахождения волновых
функций
и собственных значений проекций импульса
,
и
в состояниях,
описываемых волновыми функциями .
В общем виде, если речь идёт о физической величине
A
, которой отвечает оператор
, сами возможные значения этой физической величины и соответствующие
им волновые функции подчиняются операторному уравнению (уравнению на
собственные значения)
ˆ
A
ˆ
A
A
Оператор координаты
:
ˆx
ˆx
x
Оператор кинетической энергии частицы
:
E
T
2
2
2
2
E
T
P
m
m
Если частица находится во внешнем, не зависящем от
t
поле, ее
потенциальная энергия:
( )
( , , )
U r
U x y z
Полная энергия (в операторном виде):
2
2
ˆ
2
( )
2
E
T U
p
m
U r
m