Файл: Лекции.docx

Тема: Теоретические основы имитационного моделирования

Имитационное моделирование — разновидность теоретического моделирования. Этот вид моделирования базируется на компьютерных технологиях. Многие моделирующие системы, идеологически разработанные в 70-80 гг. прошлого века, претерпели эволюцию вместе с компьютерной техникой и оперативными системами. Кроме этого, в 90-х гг. прошлого века, появились принципиально новые моделирующие системы, концепции которых просто не могли появиться раньше.

1. Основы имитационного статистического моделирования

1. Понятие модели

Модель — объект любой природы, который создаётся исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенное (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Из этого следует, что любая модель субъективна, то есть несёт на себе печать индивидуальности исследователя; Модель – объект любой природы, который создаётся исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенное (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Из этого определения следует, что любая модель субъективна, то есть несёт на себе печать индивидуальности исследователя; любая модель гомоморфна, т.е. в ней отражаются не все, а только существенные свойства оригинала; возможно существования множества объектов одного и того же объекта оригинала, отличающихся целями исследования и степенью адекватности. Модель считается адекватной если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

2. Классификация моделей

По форме представления объектов модели можно разделить на две группы: материальные и идеальные.

Материальные делятся на: физические и аналоговые.

В физических моделях обеспечивается аналогия физической природы оригинала и модели (аэродинамическая труба).

В аналоговых моделях добиваются сходства процессов, протекающих в оригинале и модели.

Идеальные модели можно разделить на знаковые и интуитивные.

Знаковые модели делятся на математические, геометрические и логические.

Математические делятся на аналитические, имитационные и комбинированные.

Для аналитического моделирования характерно то что для описания функционирования системы используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и конечно-разностных уравнений.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1. Аналитическим, когда стремятся получить все характеристики в общем виде для искомых характеристик

2. Когда не умея решать уравнение в общем виде стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных

3. Качественным, когда, не имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения

---

Желая использовать аналитический метод часто идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Аналитические модели бывают детерминированные и статистические. Численный метод проведения аналитических расчётов с помощью датчиков случайных чисел получил название метод статистических испытаний или метод Монте-Карло.

При имитационном моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причём имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационные модели также могут быть детерминированными и статистическими. В последнем случае с помощью датчиков случайных чисел имитируется действие неопределённых и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода статистического моделирования. В настоящее время он является наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а часто и единственным практически доступным методом получения информации о поведении гипотетической системы на этапе её моделирования или проектирования.

Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных строится имитационное.

4. Последовательность разработки математических моделей

В процесс разработки и машинной реализации математической модели входят следующие этапы:

1. Построение концептуальной модели;

2. Разработка алгоритма моделей системы;

3. Разработка программы моделей системы;

4. Проведение машинных экспериментов с моделью системы.

1. Построение концептуальной модели

Включает в себя следующие подэтапы:

1. Определение требований к исходной информации и её сбор;

2. Выдвижение гипотез и предположений;

3. Определение параметров и переменных модели;

4. Обоснование выбора показателей и критериев эффективности системы;

5. Составление содержательного описания модели;

При постановке задачи моделирования даётся чёткая формулировка целей и задач исследования реальной системы, обосновывается необходимость машинного моделирования, выбирается методика решения задачи с учётом имеющихся ресурсов, определяется возможность разделения задачи на подзадачи.

При сборе исходной информации необходимо помнить, что именно от качества исходной информации об объекте зависит адекватность модели и достоверность результатов моделирования.

Гипотезы при построении модели служат для «заполнения пробелов в понимании задачи исследователем». Предположения дают возможность провести упрощение модели; в процессе работы с моделью возможно многократное возвращение к этому подэтапу, в зависимости от полученных результатов и новой информации об объекте.

---

При определении параметров и переменных составляется перечень входных, выходных и управляющих переменных, а также внешних и внутренних параметров системы.

Выбранные показатели и критерии эффективности должны отражать цель функционирования системы и представлять собой функции переменных и параметров системы.

Разработка концептуальной модели завершается составлением содержательного описания, которое используется как основной документ, характеризующий результаты работы на первом этапе.

2. Разработка алгоритма модели

Включает в себя следующие подэтапы:

1. Построение логической схемы алгоритма;

2. Получение математических соотношений;

3. Проверку достоверности алгоритма.

Вначале создаётся обобщённая схема моделирующего алгоритма, которая задаёт общий порядок действий при моделировании исследуемого процесса. Затем разрабатывается детальная схема, каждый элемент которой в последствие превращается в оператор программы.

Для комбинированных моделей разрабатывается аналитическая часть в виде явных функций и имитационная часть в виде моделирующего алгоритма.

Проверка достоверности алгоритма должна дать ответ на вопрос: «Насколько алгоритм отражает замысел моделирования?», сформулированный на этапе разработки концептуальной модели.

3. Разработка программы

Включает в себя следующие подэтапы:

1. Выбор вычислительных средств;

2. Программирование;

3. Проверка достоверности программы.

Прежде всего, выбирается тип ЭВМ и язык программирования. Создание программы по детально разработанному алгоритму может осуществить программист без участия и помощи разработчика модели.

После составления программы проводится проверка её достоверности на контрольном примере. На этом подэтапе необходимо оценить затраты машинного времени для одной реализации моделируемого процесса, что позволит разработчику правильно сформулировать требования к точности и достоверности результатов моделирования.

4. Проведение машинных экспериментов с моделью системы

На этом этапе проводятся серийные расчёты по составленной и отлаженной программе. Он включает следующие подэтапы:

1. Планирование машинного эксперимента;

2. Проведение рабочих расчётов;

3. Представление результатов моделирования;

4. Интерпретация результатов моделирования;

5. Выдача рекомендаций по оптимизации режима работы реальной системы.

Перед проведением рабочих расчётов должен быть составлен план проведения эксперимента с указанием комбинаций переменных и параметров, для которых должно проводиться моделирование системы. Задача заключается в том, чтобы разработать оптимальный план эксперимента, реализация которого позволяет при сравнительно небольшом числе испытаний получить достоверные данные о закономерностях функционирования системы.

---

Результаты моделирования могут быть представлены в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т. п.. В большинстве случаев, наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования. Целесообразно предусмотреть вывод результатов на экран монитора и на принтер.

Интерпретация результатов моделирования имеет целью переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента, к выводам, касающимся процесса функционирования реальной системы или оригинала.

На основании анализа результатов моделирования принимается решение о том, при каких условиях система будет функционировать с наибольшей эффективностью.

5. Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло представляет собой способ исследования поведения вероятностных, экономических, технических и т.п. систем в условиях, когда не известны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Неймана и Улама. В 1944 г., в связи с работами по созданию атомной бомбы, Нейман предложил использовать аппарат теории вероятностей для решения задач с помощью ЭВМ. Данный метод был назван так в честь города в княжестве Монако из-за рулетки, простейшего генератора случайных чисел. Первоначально этот метод использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач из других отраслей науки. К разделам науки, где всё больше используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, теории игр, математической экономики и ряд других.

Метод можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления характеристик её распределения. Суть состоит в том, что результат испытаний зависит от некоторой случайной величины, распределённой по заданному закону, поэтому результат каждого отдельного испытания носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают выборку. Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин.

То есть, испытание повторяется раз, причём каждый опыт не зависит от остальных, и результаты всех опытов усредняются. Это значит, что число испытаний должно быть велико, поэтому метод существенно опирается на возможности компьютера.

Теоретической основой метода Монте-Карло являются предельные теоремы теории вероятностей. Они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний. Этот метод применим как для стохастических, так и для детерминированных систем; но практическая реализация метода невозможна без использования компьютера.

---

6. Типовые математические схемы

В процессе создания математической модели происходит переход от содержательного описания к алгоритму. Промежуточным звеном между ними служит математическая схема. Существует ряд типовых математических схем:

• Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы);

• Дискретно-детерминированные модели (F-схемы);

• Дискретно-стохастические модели (P-схемы);

• Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы).

1. Непрерывно-детерминированные модели

К D-схемам относятся модели, которые описываются системами дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Независимая переменная в этих моделях — время, искомая функция (или функции) — непрерывна.

Схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, и потому и называются D-схемами (dynamics).

2. Дискретно-детерминированные модели

К F-схемам относятся так называемые конечные автоматы. Автомат можно представить как устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные, и которое может иметь набор внутренних состояний. У конечного автомата множество входных сигналов и внутренних состояний является конечным множеством.

Название F-схема происходит от английских слов finite automata.

3. Дискретно-стохастические модели

К P-схемам относятся вероятностные (или стохастические) автоматы. В общем виде, вероятностный автомат можно определить как дискретный подтактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния системы (то есть памяти), и может быть описано стохастически.

4. Непрерывно-стохастические модели

Примером типовой Q-схемы может служить схема системы массового обслуживания (СМО — queueing system). Система массового обслуживания состоит из одного или нескольких устройств обслуживания (каналов), которые предоставляют какие-либо услуги требованиям или заявкам. Заявки, когда все каналы заняты, образуют (как правило) одну или несколько очередей к устройствам обслуживания. Во многих случаях исследование системы посредством Q-схем связано с моделированием реальной системы массового обслуживания, или, по крайней мере, её компонента, который является системой массового обслуживания.

5. Компоненты систем массового обслуживания

Система массового обслуживания включает в себя три компонента: процесс поступления, механизм обслуживания, дисциплину обслуживания.

Процесс поступления состоит из описания механизма появления заявок в системе массового обслуживания. Пусть — время между поступлениями и -той заявки в систему. Если и так далее являются независимыми и одинаково распределёнными величинами, то среднее (или математическое ожидание) время между поступлениями можно обозначить как , а будет интенсивностью поступления заявок.

Механизм обслуживания в системе массового обслуживания определяется следующими факторами:

---