Файл: Лекции.docx

---

Тема: Математический аппарат имитационного моделирования (ИМ)

1. Элементы теории вероятности

   1. Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять некоторое неизвестное заранее значение. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины принимают конечное или счётное множество значений.

Непрерывные случайные величины могут принимать любые значения из некоторого промежутка (интервала).

Случайная величина задаётся с помощью так называемой функции распределения, которая представляет собой вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение , то есть

Если непрерывна и дифференцируема (имеет производную), то непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения вероятностей — , которая является производной от функции распределения . Таким образом,

или

Свойства функции распределения

1. Значения при изменении от до лежат в промежутке от 0 до 1;

2. — неубывающая функция;

3. Имеет место равенство ;

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал находится по формуле: .

Из свойств функции распределения вытекают свойства функции плотности распределения вероятности.

Свойства функции плотности распределения вероятности

1. Функция всегда неотрицательна;

2. Интеграл от по всей оси равна 1. Таким образом, площадь фигуры под графиком функции всегда равна 1;

3. Вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал равна .

2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Функция распределения или плотность распределения полностью определяют непрерывную случайную величину; однако, случайная величина может быть задана ещё и несколькими числовыми характеристиками, к которым прежде всего относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины называется число, определяемое по формуле:

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения:

Арифметическое значение называется средним квадратическим отклонением:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

3. Распределения непрерывных случайных величин

Наиболее распространёнными являются следующие распределения случайных величин:

---

• Равномерное распределение;

• Показательное распределение (экспоненциальное);

• Нормальное распределение.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина , принимающая значения в интервале имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид:

Функция распределения этой случайной величины:

Ч
исловые характеристики этой случайной величины:

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если плотность распределения имеет вид:

— постоянная положительная величина.

Функция распределения в этом случае имеет вид:

Числовые характеристики этой случайной величины:

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальным распределением называется распределение случайной величины, функция плотности распределения которой имеет вид:

— математическое ожидание, а — среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения определяется по формуле:

Введём нормированную и центрированную случайную величину с нормальным распределением:

вместо . Для неё составлена табличная функция Лапласа, имеющая вид:

С помощью табличной функции Лапласа можно определить вероятность попадания случайной величины в интервал :

4. Случайные события

Случайным называется событие, которое при определённой совокупности условий во время испытаний может произойти или не произойти. Каждому событию из множества возможных соответствует вероятность события.

Вероятность достоверного события, которое обязательно должно произойти, равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого случайного события есть положительное число, заключённое между 0 и 1.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании.

События называются независимыми, если появление одного события не изменяет вероятность появления другого события.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них. Если при этом события попарно несовместны, то в результате испытаний появится только одно из них.

5. Потоки событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Поток называется однородным, если он характеризуется моментами наступления событий ( ).

Поток неоднородных событий характеризуется моментами времени наступления событий и набором признаков ( ). К числу признаков может относиться, например, приоритет заявки.

Поток событий может обладать свойством стационарности, которое заключается в том, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка, и не зависит от положения промежутка на оси времени.

---

Поток событий может обладать свойством отсутствия последействия, если вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от предыстории, то есть от того, появлялись ли события в предыдущие моменты времени.

Поток событий может обладать свойством ординарности, если появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Если поток событий обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, то его называют простейшим или Пуассоновским потоком.

Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Для простейшего потока время между двумя соседними событиями является случайной величиной с показательным распределением. Его можно задать функцией распределения:

— интенсивность потока.

Математическое ожидание времени между событиями:

Среднее квадратическое отклонение времени между событиями:

6. Центральная предельная теорема теории вероятности

Центральная предельная теорема содержит доказательство того, что если случайные величины независимы, одинаково распределены, имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то распределение суммы этих случайных величин при неограниченном увеличении неограниченно приближается к нормальному распределению.

На практике эту теорему можно уже использовать при .

2. Элементы математической статистики

   1. Введение

Математическая статистика используется для обработки результатов испытаний (статистических данных) методами теории вероятности.

К задачам математической статистики относятся:

1. Оценка неизвестной вероятности события;

• Оценка неизвестной функции распределения;

• Оценка параметров распределения, вид которого известен;

• Оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин;

• др.

2. Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или величине параметров распределения, вид которого известен;

Для изучения совокупности однородных объектов или явлений в математической статистике чаще всего используется выборочное исследование.

Выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов. Множество всех объектов, из которых производится выборка, называют генеральной совокупностью.

2. Статистические оценки параметров распределения

Генеральным средним называют среднее арифметическое значений некоторого признака генеральной совокупности. Если все значения различны, то:

— объём генеральной совокупности.

Выборочным средним называют среднее арифметическое значений некоторого признака выборочной совокупности. Если все значения различны, то выборочная средняя считается по формуле:

— объём выборки.

Выборочная средняя является случайной величиной. Её математическое ожидание равно генеральному среднему:

---

Это означает, что выборочное среднее является несмещённой оценкой генерального.

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадрата отклонений признака генеральной совокупности от генерального среднего. Если все значения признака различны, то:

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется корень квадратный из генеральной дисперсии.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от выборочного среднего. Если все значения признака различны, то:

То есть выборочно дисперсия не является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Поэтому, вместо выборочной дисперсии обычно рассматривают исправленную выборочную дисперсию:

которая является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

3. Определение требуемого объёма выборки

Найденная по данным выборки величина представляет собой статистическую оценку неизвестного параметра .

Доверительную вероятностью называют вероятность того, что абсолютная величина отклонения оценки от истинного значения не превышает некоторой заданной характеристики точности .

Иначе говоря, есть вероятность того, что интервал заключает в себе истинное значение параметра . Этот интервал называют доверительным.

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то для определения математического ожидания выборочного среднего и его среднего квадратического отклонения справедливо соотношение:

Будем считать, что среднее квадратическое отклонение известно, тогда вероятность того, что истинное значение математического ожидания случайной величины будет равно:

Пример:

При каком объёме выборки можно утверждать с надёжностью , что отклонение выборочной средней от генеральной не превысит ошибку , если известна ?

---