Файл: Лекции.docx

Числом каналов обслуживания ;
Наличием для каждого устройства своей очереди, или существованием одной очереди для всех каналов;
Распределением вероятностей времени обслуживания требований.

Дисциплина обслуживания определяется правилом, которое устройство обслуживания использует для выбора из очереди следующей заявки, если таковые имеются, по завершении обслуживания текущей заявки. Обычно используются следующие дисциплины:

FIFO — требование обслуживается по принципу «первым пришёл — первым обслужим» (first in, first out);
LIFO — требование обслуживается по принципу «последним пришёл — первым обслужим» (last in, first out);
Приоритет — требования обслуживаются в порядке их значимости или в соответствии с требованиями к обслуживанию.

Классификации систем массового обслуживания

Наибольшее распространение получила классификация, в основу которой положены такие характеристики систем массового обслуживания, как допустимая длина очереди и природа источника заявок. Первая из них определяет поведение заявки, поступившей в момент, когда все каналы заняты. По этому признаку, все системы массового обслуживания делятся на два класса: системы с отказами и системы с ожиданием.

Системы с отказами соответствуют случаю, когда вместимость блока ожидания равна нулю. Системы с ожиданием соответствуют случаю, когда возможно образование очереди.

В соответствии со вторым признаком классификации различают открытые и закрытые системы массового обслуживания. Открытые системы — системы с неограниченным числом требований или заявок, закрытые системы — с ограниченным.

Приведённая классификация не учитывает всех факторов, определяющих особенности системы массового обслуживания, в том числе таких:

Распределение моментов поступления заявок;
Распределение продолжительностей обслуживания;
Конфигурацию обслуживающей системы;
Дисциплину очереди.

Для стандартизации моделей систем массового обслуживания применяются следующие обозначения вида:

Символы описывают наиболее существенные элементы модельного представления процессов массового обслуживания и интерпретируются следующим образом:

— распределение моментов поступления заявок;
— распределение времени обслуживания;
— число каналов обслуживания;
— дисциплина очереди;
— максимальное число допускаемых в систему заявок (число требований в очереди + число требований, принятых на обслуживание);
— ёмкость источника требований.

Для конкретизации и приняты стандартные обозначения:

— Пуассоновское (или марковское) распределение моментов поступлений заявок на обслуживание (или экспоненциальное распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания заявок);
— детерминированный или фиксированный интервал времени между моментами последовательных поступлений заявок в систему или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания;
(general independent) — распределение произвольного вида моментов поступлений заявок в систему, или интервалов времени между последовательными поступлениями заявок;

Только для и применяют обозначения:

— распределение произвольного вида моментов выбытия из системы обслуженных заявок или продолжительности обслуживания;
Для любой системы массового обслуживания величина является показателем того, насколько задействованы ресурсы системы.
— дисциплина очереди не регламентирована.

Показатели эффективности систем массового обслуживания

Конечная цель анализа заключается в разработке критериев эффективности функционирования системы массового обслуживания. Необходимо подчеркнуть одно важное обстоятельство: поскольку процесс массового обслуживания происходит во времени, следует заранее договориться, какой режим работы системы массового обслуживания нас интересует — не установившийся (переходный) или стационарный. В системах массового обслуживания в самом начале работы наблюдается не установившийся режим (поведение системы является функцией времени), а по истечении достаточно большого интервала времени достигается стационарный режим.

Бросание жребия можно осуществить вручную (выбором из таблицы случайных чисел), но удобнее это делать с помощью специальных программ, входящих в состав программного обеспечения компьютеров. Такие программы называются датчиками или генераторами случайных чисел.

Базовый датчик

Базовый датчик выдаёт равномерно распределённые случайные величины:

Непрерывная в промежутке
Дискретные

Типы базовых датчиков:

Физические (любой физический шум). Они, как правило, не используются, так как их характеристики нестабильны и реализацию повторить нельзя;
Псевдослучайные. Они строятся на основе детерминированного алгоритма, но полученные результаты практически неотличимы от случайных. Псевдослучайные датчики строятся по модели:

при заданном начальном значении .

Метод вычетов. Получение псевдослучайных чисел

В основе метода лежит следующее рекуррентное соотношение:

— некоторый множитель, обычно равный .

Моделирование случайных событий
1. Моделирование простого события

Пусть имеется событие , вероятность наступления которого равна Требуется выработать правило, при многократном использовании которого частота появления события стремилась бы к его вероятности.

Выберем с помощью датчика случайных чисел равномерно распределённых в интервале некоторое число и определим вероятность того, что . Для случайной величины с равномерным распределением справедлива следующая зависимость:

Т аким образом, вероятность попадания случайной величины в интервал равна . Поэтому, если попала при розыгрыше в этот интервал, то следует считать, что событие произошло.

Процедура моделирования простого события может быть описана следующей блок-схемой:

Моделирование полной группы несовместных событий

Пусть имеется полная группа несовместных событий с вероятностями .

Процедура моделирования полной группы несовместных событий может быть описана следующей блок-схемой:

Моделирование случайных величин

Использование случайных величин является наиболее универсальным и поэтому наиболее распространённым способом учёта случайных факторов, присущих реальным процессам. Примерами случайных величин являются интервал времени до появления нового клиента, длительность техобслуживания автомобиля и т.д.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Моделирование дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана таблицей:

X	x₁	x₂	…	x_i	…	x_k
p	p₁	p₂	…	p_i	…	p_k

Сумма вероятностей равняется единице.

Моделирование непрерывных случайных величин

Метод обратной функции

Пусть имеется некоторая непрерывная случайная величина , заданная функцией распределения . Можно доказать, что значения этой функции равномерно распределены в интервале от 0 до 1.

Классификация математических моделей экономических систем

Монография «Машинные инновационные эксперименты с моделями экономических систем». Он предлагал разделить их на 2 группы: общие экономические модели, модели управления предприятиями.

Общие экономические модели

В основу классификации этих моделей заложен масштаб изучаемой экономической системы. С этой точки зрения модели можно разделить на 3 большие группы: модели фирм, отраслевые модели и макроэкономические модели.

Модели фирм. Разновидности моделей фирм:

1. Модели отдельных фирм

2. Модели конкурентных фирм

3. Модели дуополий (объединений 2-х фирм)

4. Модели олигополий (объединений нескольких фирм)

5. Модели монополий

Опыт создания моделей фирм в США, обобщенные Нейлором, показывает что разработка матмоделей даже для систем такого масштаба как фирма представляет собой сложную проблему.

Во-первых, это проблема получения достоверной информации. Модель должна строиться на прочной эмпирической основе, однако эта информация как правило не доступна для разработчиков экономических моделей. Руководство компании просто не желает давать данные о деятельности своих предприятий посторонним лицам, особенно это характерно для фирм, работающих в условиях сильной конкуренции.

Во-вторых, трудности построения адекватной численной модели связаны с тем, что такая модель должна опираться на глубокое знание реальных процессов принятия решений в организациях. Для этого надо хорошо ориентироваться в современном состоянии таких дисциплин как теория принятия решений, теория организации, а также разбираться в вопросах психологии, социологии и политики. Организация численных испытаний модели требует особого внимания к проблеме планирования эксперимента. В качестве примера можно привести 1 из моделей получившей название «Паутинообразной» модели. Это простейшая динамическая модель взаимодействия фирмы и рынка. Задача может выглядеть следующим образом: предприниматель собирается вложить средства в создание фирмы, которая будет выпускать товар и реализовывать его на рынке. Его интересует

как будет вести себя цена на товар при изменении объема производства. Опыт подсказывает, что при увеличении производства происходит падение спроса и приходится снижать цену. Необходимо получить ответ, при каких условиях цена будет стабильной. Подобная задача мб решена с использованием ИМ.

В литературе описано несколько вариантов такой модели. Все они обладают определенными одинаковыми свойствами. Обычно в них предполагается, что спрос на некоторый продукт (чаще всего рассматривается сельхозпродукция) на заданном отрезке времени зависит от цены. Что же касается предложения, то оно определяется ценами предыдущего периода времени (недели, месяца, квартала и т.п.). Кроме того, предполагается, что рынок всегда находится в условиях локального равновесия. Существует 4 варианта этой модели: детерминированная, вероятностная, модель с обучением и модель с запасами.

Отраслевые модели

К ним относятся комплексные (агрегированные) модели, описывающие отдельные отрасли народного хозяйства как единое целое. В большинстве случаев отраслевая модель представляет собой систему рекуррентных уравнений. Для нахождения коэффициентов этих уравнений используется метод наименьших квадратов.

Макроэкономические модели

Макроэкономические модели предназначены для моделирования крупного масштаба, такого как страна. С чисто технической точки зрения, механизм моделирования описывается теми же правилами, что и при имитации процесса функционирования отраслей или их подразделений. Здесь по-прежнему необходимо определить структуру изучаемой системы, входные и выходные переменные, сформулировать задачу моделирования, построить схему модели и реализовать её. Однако, по существу, имитационные модели глобальных экономических систем сильно отличаются от микроэкономических моделей, и эти отличия связаны с проблемой вывода адекватных уравнений функционирования экономики в целом:

Входные переменные макроэкономической системы, такие как национальный доход, национальный продукт и общая численность работающих факторов, и их количество обычно намного превышает число переменных, рассматриваемых в численных макроэкономических моделях;

Возникает проблема агрегирования микроэкономических переменных в обобщённые показатели макроэкономической системы;

Между входными переменными существуют очень сложные взаимодействия и обратные связи;

Для формулировки реалистических гипотез относительно функционирования экономики требуются глубокие знания закономерностей её развития;

Получить данные для построения макроэкономической системы сложнее, чем для микроэкономических систем.

Модели управления предприятием

Модели управления предприятием — микроэкономические модели, отличающиеся друг от друга не столько областью применения, сколько тем, какая типовая математическая схема заложена в основу модели и каковы особенности используемого математического аппарата.

К моделям управления предприятием относятся:

Модели массового обслуживания;
Производственные модели;
Модели управления запасами;
Модели торговли;
Финансовые модели.

Для многих промышленных систем характерен поток входных заявок, поступающих на один или несколько каналов обслуживания и иногда образующих очередь. Канал обслуживания может представлять собой совокупность устройств. Интервалы между последовательными заявками и продолжительность их обслуживания являются случайными величинами.

К производственным моделям относится имитационная модель производственной фирмы, включающей несколько цехов, которые последовательно участвуют в производственном процессе некоторого изделия. Заказы на изготовление изделия поступают нерегулярно, в случайные моменты времени. При оптимально структуре предприятия и оптимальном распределении ресурсов обеспечивается максимум прибыли. Имитация работы предприятия производится с помощью модели одноканальной многофазной системы массового обслуживания без отказов и с ограниченным ожиданием.

Обширную группу систем, при изучении которых эффективна численная имитация, образуют так называемые системы хранения запасов. Большинство задач управления запасами сводится к поиску оптимального распределения поставок в моделируемую систему. Модель должна дать ответ на вопрос: сколько следует фирме заказывать или производить, и как часто она должна повторять заказы, чтобы минимизировать сумму издержек хранения запаса; издержек, связанных с организацией поставок, и потерь вследствие недостатка товара на складе?

К моделям управления запасами относятся модели управления запасами однородного товара на складе. Предполагается что, когда уровень запаса падает ниже некоторой критической отметки, оформляется заказ на поставку новой партии товара. При отсутствии товара на складе применяются штрафные санкции. При определённом соотношении параметров системы, суммарные расходы на содержание склада могут быть минимизированы.

С точки зрения используемого математического аппарата, это — имитационная модель, в которой две входные величины (дневной спрос и время выполнения заказа) являются случайными величинами, что определяет случайный характер выходной характеристики — суммарных издержек, характеризующих работу склада за определённый период. Время между соседними заявками на приобретение товара и время на выдачу товара у модели не фигурируют, поэтому эту модель нельзя отнести к системе массового обслуживания; однако, это тоже непрерывно-стохастическая модель.

К группе моделей торговли относится так называемая модель фирмы. Примером такой модели может служить модель выездной торговой точки, которая может вести торговлю в различных пунктах с разными условиями при действии случайных факторов. Задача состоит в установлении закономерностей моделируемого процесса и условий, при которых пункты торговли могут считаться эквивалентными по получаемой прибыли. В качестве типовой математической схемы здесь используется общая непрерывно-стохастическая модель, в которой имитируется влияние дискретных и непрерывно-случайных факторов.