Файл: Лабораторный практикум В. Ф. Говердовский, А. В. Дикинис.pdf

Ах 

2

Ау2

Azz

7Т

7Г

AZ,

00

-- со

—

2

2

71

и

Ац

— +C0

00

—

2

2

71

71

АС

0

2

2

4  =

cosco  sin  со  О 

■sin cocos со  О 

О 

0 

1

(3.12)

Заменив в матрицах 

А\, Аг, Аз углы Q, г, со на -Q, -i, -со, полу­

чим матрицы 

Вк (к = 1, 2, 3):

c o sQ sin Q O

' 1 0  

0

- s in Q c o s fiO ,2*2 = Ocosisini

1

О

О

1

0 - sinicosi

Въ =

c o s®   sin  со  О 

- s i n  со cos со  О 

О 

0 

1

(3.13)

Матрицу 

В иногда называют матрицей проективных коэффи­

циентов и записывают в виде:

PxQxRx 

В   =   PYQyRy

PzQ zR z

Из (3.9) и (3.14) следует, что

(3.14)

X

^x Q x ^x

V

У = PyQyRy

л

Z

PzQzR-z

(3.15)

Матрица 

А может быть получена из матрицы В транспониро­

ванием:

61

PXPYPZ

^X^Y^Z

Q

x

Q

y

Q

z

?

Л = Q

x

Q

y

 Q

z

R

x

R

y

R

z

.С .

.R

x

R

y

R

z

М ет од и ч еск и е у к а за н и я

1.  Мгновенное положение ИСЗ  на небесной сфере  можно  оп­

ределить сферическими координатами, аналогичными географиче­
ской широте и долготе.

Проекцию  некоторого  мгновенного  положения  спутника  на 

земную  поверхность  определяют  как  подспутниковую  точку.  То­

гда трасса спутника на поверхности планеты есть  геометрическое 
место  подспутниковых  точек,  или  проекция  орбиты  ИСЗ  на  по­
верхность  вращающейся Земли,  на которой указано  время прохо­
ждения спутником отдельных наземных пунктов.

2.  Истинное  движение  ИСЗ  может  быть  представлено  как 

движение  его  по  кеплеровой  орбите,  основные  элементы  которой 

непрерывно  изменяются,  являясь  функцией  времени.  Другими 
словами,  для  определения  географических  (или  геодезических) 
координат спутника необходимо его широту cps, долготу 

Xs и ради­

ус-вектор 

гя выразить через элементы орбиты (см. рис.  13), то есть 

связать  геометрически  положение  ИСЗ  с  текущим  временем.  Та­
кую связь дает уравнение Кеплера

M  = E - e s in E , 

(3.17)

где 

М  - параметр, именуемый средней аномалией; Е - эксцентри­

ческая аномалия; 

е - эксцентриситет орбиты (рис.  18).

Средней аномалией называют дугу,  которую описал бы спут­

ник после своего прохождения через перигей, если бы он двигался 
равномерно  по круговой орбите,  совершая полный оборот за свой 
реальный период обращения по эллиптической орбите.

Эксцентрическая  аномалия  (

Z P O 'Q  = Е )  при  движении

спутника  изменяется  неравномерно.  Полярный  угол 

&,  под  кото­

рым радиус-вектор 

rs точки S наклонен к оси эллипса, называется 

истинной  аномалией,  и  он  также  меняется  неравномерно.  В  ряде 
случаев  положение радиус-вектора rs задают не  относительно  оси

62

эллипса, а относительно линии узлов 

Ь <£, и тогда полярным углом 

будет являться угол 

U, который именуется аргументом широты:

U = 9  + <o, 

(3.18)

где со - аргумент перигея, то есть угловое расстояние перицентра, 
определяемое углом между линией узлов и линией апсид.

Рис.  18. Пояснение к  уравнению Кеплера

Поскольку  эксцентрическая  аномалия  однозначно  связана 

с координатами спутника,  а средняя  аномалия является функцией 
времени (3.1), то уравнение Кеплера по сути является выражением 
зависимости спутниковых координат от времени.

3. 

В  упрощенных  вариантах  расчета  координаты  ИСЗ  чаще 

всего выражают через параметр М, решая уравнение Кеплера гра­

фически с помощью специальной номограммы (рис.  19).

Входными  величинами  для  работы  с  номограммой  являются 

вспомогательный параметр 

М  - средняя аномалия и эксцентриси­

тет орбиты 

е. По известным значениям М н е  определяют параметр 

(М  +  1 ООе). После этого точку М, взятую на оси абсцисс (нижней 

оси номограммы),  соединяют прямой линией с точкой 

(М  +  100е) 

на  верхней  оси  номограммы  и  против  точки  пересечения  линии 
с кривой на оси абсцисс отсчитывают значение параметра 

Е.

Затем производится расчет истинной аномалии:

63

sin  .9 

cos <9  =

sin E

1 - e c o s  

E 

cos 

E — e

• V l - e 2 

,

1 - e c o s  

E 

и величины аргумента широты:

[/=-a + co.

(3.19)

(3.20)

О

20 

40 

60 

80 

100 

120 

140 

160 

180  200°

Используя вычисленные параметры, определяют ф

гл и Кл под­

спутниковой точки в  абсолютной  геоцентрической  системе  коор­
динат:

s in ^ M  =  sin  г sin t / , 

sinA,  _   (s in O c ° s  С/ +  c° s iO co s i sin C /)

'coscp^

cosA,,  =  cosQ cos£ 7,

(3.21)

(3.22)

(3.23)

а затем в относительной системе координат:

фг = Фга; 

К = К

а

 — 

Q(S — So), 

(3.24)

где 

S и S0 - звездное время соответственно в рассматриваемый мо­

мент и на начало данных суток по всемирному времени.

64

4. 

Пространственные координаты спутника 

X ,  Y, Z  или геоде­

зические координаты, 

В - широту и L - долготу подспутниковой 

точки (точки пересечения земного эллипсоида и нормали к его по­
верхности,  на  которой  находится  спутник),  а  также  высоту 

Н  

спутника над поверхностью Земли для любого момента 

t времени 

можно вычислить по элементам орбиты ИСЗ  (например, 

Q, со, i, е, 

М0,  заданным  в  гринвичской  прямоугольной  системе  координат 

(см. рис.  13).

Расчет этих параметров осуществляется по соотношениям:

М  = n (t- t0) + М 0,

М  = Е  - esin Е ,

t g 2  =

1 + е 

Е

-

---tg — ,

1 - е  

2

г =

а (1 - е 2)

l + ecos.9’

U  = & + со,

X  = r(co sU  

cosQ-sin 

U  

sin 

Q  

cos 

i), 

Y 

=  

r 

(cos 

U  

sin Q + sin 

U  

cos Q cos 

i),

Z  =  

r sin {7 sin i,

Y_

X ’

Z sin L

tg

L =  -

tgB =-

1-

# = -

ae  s in i

Vl + (l- e 2)tg

В 

X

cos

В cosL

— N

N  = a ^ l- e fs in 2 B ,

> 6378245 

m

>

 0,0066934.

a,

У

(3.25)

У

Расчет  движения  ИСЗ  по  формулам  (3.25)  является  прибли­

женным.

65