Кафедра электротехники и электрических машин

Лекция № 30

по дисциплине «Теоретические основы электротехники, ч.3»

для студентов направления подготовки:

13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Тема № 10. Уравнения и общие свойства электромагнитного поля

Краснодар 2015 г.

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

1. ОПК-2: Способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач

2.ОПК-3: Способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач;

методы анализа и моделирования электрических цепей.

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ТОЭ, тема 10».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

1. Основные понятия и определения электромагнитного поля. Основные законы ЭМП.

2. Полная система уравнений ЭМП в интегральной и дифференциальной формах записи.

Заключение.

Литература

1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бессонов. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 317 с.

---

1. Основные понятия и определения электромагнитного поля. Основные законы ЭМП

Электрический заряд

При изучении электрических явлений во многих практически важных случаях можно не учитывать атомистического строения электричества. Хотя заряженные тела содержат огромное количество движущихся элементарных частиц, не будет ошибкой считать общий заряд тела неподвижным и распределенным непрерывно. Такое суммарное или макроскопическое изучение стационарных электрических явлений оправдывается тем, что результаты расчетов вполне согласуются с опытом. Поэтому электрические заряды можно считать бесконечно делимыми и пользоваться понятием плотности заряда. Если заряд q распределен в пространстве, то объемная плотность заряда

Соответственно заряд

Если заряд q распределен по поверхности S, то поверх­ностная плотность заряда

а заряд можно определить по формуле

Аналогично определяется и линейная плотность заряда

где dl — элемент линии, вдоль которой распределен заряд, равный

Если размеры заряженного тела малы по сравнению с расстоянием от него до точек, в которых рассматривается поле, то заряд такого тела называют точечным. Очевидно, что плотность точечного заряда можно считать равной бес­конечности.

Два точечных заряда одного знака отталкиваются друг от друга. Сила отталкивания F в вакууме определяется з а коном Кулона

Здесь Q — первый точечный заряд; q — второй точечный заряд; R — расстояние между ними; k — коэффициент про­порциональности, численное значение которого зависит от выбора системы единиц измерения.

Надо помнить, что закон Кулона справедлив только для точечных заряженных тел. Только в этом случае форма заряженных тел не влияет на силу взаимодей­ствия.

Если заряженные тела находятся не в вакууме, а в од­нородной, изотропной, т. е. обладающей одинаковыми свойст­вами во всех направлениях, непроводящей среде, то сила отталкивания, как показывает опыт, меньше в ε раз

Безразмерная величина ε называется диэлектрической проницаемостью среды, в которой находятся заряженные тела.

В приложении 1 приведены значения ε для различных диэлектриков.

Направление силы взаимодействия F совпадает с прямой, соединяющей точечные заряженные тела или, короче говоря, точечные заряды. Если заряды Q и q имеют разные знаки, сила взаимодействия между ними будет силой притяжения.

Сила, действующая на заряд q, запишется в векторной форме следующим образом:

где 1_R — единичный вектор, направленный от точки с зарядом Q к точке с зарядом q

В системе СИ заряд измеряется в кулонах (к), сила в ньютонах (н), расстояние в метрах (м). Коэффициент k в той же системе единиц при рационализированной форме записи формул равен:

Величина ε₀ называется электрической постоянной. Она равна:

где с — численное значение скорости света в свободном пространстве, выраженное в метрах в секунду.

---

П роизведение диэлектрической проницаемости ε, иногда называемой относительной диэлектрической проницаемостью, и электрической постоянной ε₀, обозначают буквой ε_а и называют абсолютной диэлектрической п р о н и ц а е м о с т ь ю. Она, как и электрическая постоянная, измеряется в фарадах на метр (Ф/м).

Окончательное выражение силы, действующей на заряд q, примет вид:

Напряженность электростатического поля

Электрический заряд всегда связан с электромагнитным полем. Если заряд неподвижен, электрическое поле заряда называется электростатическим.

Для описания и измерения электростатического поля пользуются выражением силы отталкивания или притяжения, которое испытывает пробное заряженное тело, помещенное в это поле. Чем меньше величина пробного заряда, внесенного в поле, тем меньшая действует на него сила, однако отношение их представляет собой конечную величину.

Предел отношения силы F, действующей на пробный заряд, к величине этого заряда q, когда он стремится к нулю, называют напряженностью электрического поля:

Напряженность электрического поля точечного заряда

Напряженность электрического поля в системе СИ измеряется в вольтах на метр (В/м).

С
илу взаимодействия двух точечных зарядов Q и q можно выразить следующим образом:

Следует отметить, что, хотя напряженность электростатического поля определяется силой взаимодействия двух зарядов, сама она не является силой. Если в поле отсутствует пробный заряд q, механическая сила взаимодействия равна нулю, но напряженность поля Е в каждой точке будет отлична от нуля

Потому электростатическое поле можно рассматривать как векторное поле напряженности Е.

Электрическим смещением или электрической индукцией называют величину D, которая в однородных и изотропных средах пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности равен абсолютной диэлектрической проницаемости

В системе единиц СИ электрическая индукция измеряется в кулонах на квадратный метр (к/м²)

В вакууме электрическое смещение

Необходимо отметить, что в некоторых средах (например, в анизотропных кристаллах) векторы Е и D могут не совпадать по направлению. Диэлектрическая проницаемость выражается в таком случае как тензор.

Если поле создается несколькими точечными зарядами, то общая напряженность Е электрического поля в любой точке равна геометрической сумме

где Е₁, Е₂, ..., Е_n — напряженности электрического поля в данной точке, возбужденные зарядами Q₁, Q₂, ..., Q_n. Это положение имеет важное значение. Оно указывает на то, что для электрического поля применим принцип наложения.

В общем случае электростатическое поле могут возбудить неподвижные объемнее, поверхностные и линейные заряды. Разбив объемы V, поверхности S и линии l на элементы dV, dS, dl, можно записать величину заряда каждого элемента

---

где ρ — объемная, σ — поверхностная, а τ — линейная плотности заряда.

Заряды dq₁ dq₂, dq₃ можно считать точечными ввиду ма­лости элементов dV, dS и dl. Тогда по формуле

С уммируя геометрически векторы dE₁ по объему V, dE₂ по поверхности S, dE₃ по линии l, получаем результирую­щую напряженность поля:

Уравнение позволяет вычислить Е, если известно распределение зарядов в пространстве. Вычисление сводится к определению проекций вектора Е в такой системе коорди­нат, в которой расчеты получаются наиболее простыми.

Свойства электрического поля будут полностью определены, если для каждой точки поля будет известна величина вектора Е.

2. Полная система уравнений ЭМП в интегральной и дифференциальной формах записи.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем теории поля. Она гласит: поток вектора электрической индукции D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов Q, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Докажем вначале эту теорему для случая, когда имеется один точечный заряд. Поверхность S выбирается произвольно. Электрическая индукция в этом случае

а ее поток

Величина

представляет собой телесный угол. Под углом dΩ виден элемент поверхности dS, если вершина телесного угла совмещена с точкой, в которой находится заряд Q. Телесный угол, под которым видна вся поверхность S, равен 4ח стерадиан.

Подставив значение dΩ, получим:

Так как

Если

Д
окажем теорему для случая произвольно распределенного заряда. Любая система зарядов может быть разложена на элементарные заряды dQ, каждый из которых можно считать точечным. Для каждого такого элементарного заряда справедлива теорема Гаусса. Суммируя элементарны потоки и заряды в объеме, ограниченном поверхностью S, получаем:

где — алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри объема, ограниченного поверхностью S.

Е сли заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, то поток вектора D сквозь такую поверхность равен нулю. Теорема Гаусса широко используется при расчете электрических полей.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Преобразуем поток вектора электрической индукции по теореме Остроградского:

В случае объемного распределения заряда

Так как по теореме Гаусса

то

Объем V был выбран произвольно, и равенство справедливо для всех его значений. При таком условии подынте­гральные функции должны быть равны.

Полученное выражение представляет собой дифференциальную форму теоремы Гаусса. Оно отмечает то обстоятельство, что источники электрического поля находятся только в тех местах, в которых имеются электрические заряды.

Для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью ε можно записать:

Формулы справедливы и в случае переменного во времени электромагнитного п оля.

---

Уравнения Пуассона и Лапласа

Как было показано выше, электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы только при расчете полей простой конфигурации.

В общем случае расчет поля состоит в решении уравнений Пуассона и Лапласа.

Чтобы получить эти уравнения, используем соотношения

Подставив Е, получим:

Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать∇²φ. Следовательно,

В тех точках поля, в которых нет заряда.

Р
ешение может быть записано в виде интеграла:

В ведение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей. Он сводится к определению одной скалярной функции φ, зная которую, можно легко определить напряженность поля из выражения

Непосредственное определение напряженности поля из уравнения

свелось бы к нахождению трех скалярных функций, соответствующих трем проекциям вектора Е, что значительно сложнее.

Теорема единственности

Покажем, что если найдена напряженность электрического поля Е, которая удовлетворяет уравнениям электростатического поля и заданным граничным условиям, то это решение является единственным.

Пусть Е₁ такое решение. Тогда div (ε_aE₁) = ρ и rotE₁ =0.

Предположим, что имеется: другое решение Е₂, тогда должны иметь место равенства div (ε_aE₂)= ρ и rot Е₂ = 0. Найдем дивергенцию и ротор вектора разности Е₁ — Е₂:

Если у какого-либо вектора, в данном случае E₁ — Е₂, и дивергенция и ротор во всех точках поля равны нулю, то такой вектор равен нулю: E₁ — Е₂ = 0. Следовательно, E₁ — Е₂, т. е. оба решения одинаковы.

Проводники в электростатическом поле

Если проводнику сообщить заряд, то под действием сил отталкивания элементы этого заряда будут перемещаться по проводнику и сосредоточиваться на его поверхности в слое, который можно считать бесконечно тонким. Внутри проводника электростатическое поле существовать не может. Напряженность электрического поля Е внутри проводника должна равняться нулю. Все точки проводника должны иметь один и тот же потенциал, а это значит, что поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность.

Если внести металлический проводник во внешнее электрическое поле, то под действием сил поля свободные электроны начнут перемещаться по проводнику. На одной части поверхности проводника сосредоточатся отрицательные заряды, на противоположной — положительные. Напряженность электрического поля внутри проводника станет равной нулю. Поверхность проводника будет границей электростатического поля, которое локализовано в диэлектрике, окружающем проводник.

Описанное свойство проводников используют в технике при электростатическом экранировании электрической аппаратуры. Экранируемый аппарат помещают в металлическую сетку — экран. В каком бы внешнем электростатическом поле ни находился сетчатый экран, в области, ограниченной этим экраном, электростатического поля практически не будет.

---

Смотрите также файлы

• Т_11.doc

• Т_12.doc

• Т_13.docx

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx