Граничные условия в электростатическом поле

На границе двух различных сред векторы поля должны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными.

Р ассмотрим границу двух непроводящих сред, диэлектрические проницаемости которых равны ε₁ ε₂. Пусть на границе этих сред имеется свободный заряд с поверхностной плотностью σ. Проведем замкнутую цилиндрическую поверхность S так, чтобы одна ее половина была расположена в первом диэлектрике, другая во втором. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции будет равен зарядам, которые находятся внутри объема, огра­ниченного замкнутой поверхностью S:

Представим поток вектора D в виде суммы трех потоков:

Е
сли площадка ∆S невелика, то можно считать, что во всех точках этой площадки вектор D имеет одну и ту же величину, тогда

Если высоту цилиндра уменьшать так, чтобы площадки ΔS стремились к границе между диэлектриками, то поток через боковую поверхность будет стремиться к нулю. В пределе он обратится в нуль, и тогда D_ln∆S—D_2n∆S = σ∆S. После сокращения на ∆S мы получим первое граничное условие:

или

Нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе двух непроводящих сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на границе.

Е сли σ = 0, то

Нормальная составляющая вектора D на границе непрерывна.

Д ля получения второго граничного условия проведем замкнутую линию L так, чтобы одна ее часть находилась в первом диэлектрике, другая — во втором. Зададимся направлением обхода по часовой стрелке и составим циркуляцию вектора напряженности по контуру 1-2-3-4. В электростатическом иоле циркуляция вектора Е равна нулю.

Представим циркуляцию в виде четырех линейных интегралов:

Если длина отрезка ∆1 невелика, то вектор Е можно считать одинаковым на всем отрезке. Тогда

Если отрезки 2-3 и 4-1 постепенно уменьшать так, чтобы в пределе они стали равными 1улю, а отрезки ∆1 совпали с граничной поверхностью, то остальные два интеграла обратятся в нуль и E_1τ∆l — E_2τ∆l = 0. После сокращения на ∆1 получим второе граничное условие:

На границе двух непроводящих сред касательные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. Надо отметить, что на поверхности раздела двух сред потенциал непрерывен φ₁=φ

Если одна из сред проводящая, то граничные условия несколько изменятся. В проводящей среде векторы поля равны нулю, а потенциал всех точек проводника, один и тот же. Пусть первая среда диэлектрик с проницаемостью ε, вторая — проводник; тогда граничные условия запишутся следующим образом;

---

Смотрите также файлы

• Т_11.doc

• Т_12.doc

• Т_13.docx

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx