Напряжение на элементе от тока источника тока записывается в правой части уравнения со знаком (+), если направление обхода совпадает с направлением этого контурного тока (противоположно направлению этого тока на элементе).

В рассматриваемом примере: (для контуров E₁ R₁ R₂ E₂ и E₂ R₂ R₃ R₄).

3. Решают тем или иным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений.

4. На основании полученного решения определяют величину и направление реальных токов в ветвях, для чего:

• в расчетной схеме изменяют на противоположное направление контурного тока полученного со знаком минус;

• в ветвях внешнего контура расчетной схемы найденный контурный ток является действительным током ветви;

• в смежных ветвях реальный ток ветви определяют алгебраической суммой контурных токов смежных контуров, в том числе и от источников токов: при этом направление тока в ветви совпадает по направлению с общим по величине контурным током.

В рассматриваемом примере:

.

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

3.2.4. Метод узловых потенциалов

Метод основан на введении промежуточной неизвестной величины – потенциала узла и использовании 1-го закона Кирхгофа. Если будут известны потенциалы узлов схемы, то ток в любой ветви можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с., т.к. любая точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней (т.е. её потенциал можно принять равным нулю). В этом случае число неизвестных составляет (y-1) (т.е. равно числу независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа).

Алгоритм расчета (после вывода расчетных уравнений по 1-му закону Кирхгофа):

1. Принимают потенциал одного из узлов равным 0.

2. Составляют уравнение для каждого из оставшихся (y-1) узлов согласно правилу: левая часть уравнения равна сумме произведений потенциала рассматриваемого узла на сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле, взятое со знаком плюс, и потенциалов остальных узлов на сумму проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы с рассматриваемым узлом, взятые со знаком минус;

правая часть уравнения равна алгебраической сумме произведений э.д.с. ветвей, сходящихся в рассматриваемом узле на проводимости этих ветвей (так называемый узловой ток рассматриваемого узла). При этом произведения берутся со знаком плюс, если э.д.с. направлены к рассматриваемому узлу.

Примечание

При наличии ветвей с источником тока необходимо учесть следующее:

• проводимость ветви с источником тока равна пулю;

• в правую часть уравнения добавляется алгебраическая сумма токов от источников тока в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом ток источника тока берется со знаком плюс, если он направлен к рассматриваемому узлу.

В рассматриваемом примере:

---

(для узлов 1 и 2).

3. Решают тем или иным способом полученную систему линейных алгебраических уравнений.

4. На основании полученного решения определяют величину и направление токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

В рассматриваемом примере: .

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощностей или (и) потенциальной диаграммы.

Метод двух узлов

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.

Алгоритм расчета

1. Принимают потенциал одного из узлов равным нулю. Проставляют условно-положительные направления напряжения между узлами и токов в ветвях.

2. Определяют величину и реальное положительное направление напряжения между узлами по формуле

.

При этом узловые токи E_kG_k и J_k берутся со знаком плюс, если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с условно взятым большим потенциалом.

3. Определяют величины и направления токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

4. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

Замена нескольких параллельных ветвей с источниками на одну эквивалентную

Использую формулу для определения напряжения между 2-мя узлами получают

,

где действует правило знаков: если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с большим потенциалом, то берут (+), если нет, то (–).

При этом .

3.2.5. Метод суперпозиции (наложения)

Метод наложения основывается на общефизическом принципе независимости действия сил в линейной системе (принцип наложения).

В частности, для электрических цепей принцип положения формулируется так: ток в каждой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из источников линейной электрической цепи в отдельности.

Алгоритм расчета

1. Рассчитывают величину и направление частичных токов во всех ветвях электрической цепи, возникающих от действия каждого из источников в отдельности при удалении в цепи всех остальных источников (э.д.с. и токов). При этом в расчетной схеме остаются внутреннее сопротивление удаленных источников э.д.с. Ветви с источниками токов из схемы исключаются, т.к. их внутреннее сопротивление равно бесконечности.

2. Находят величины и направления токов в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

В рассматриваемом примере:

;

;

;

.

3. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

3.2.6. Метод эквивалентного генератора

Метод основан на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором и служит для расчета тока в отдельной ветви.

В любой электрической цепи можно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности можно рассматривать по отношению к выделенной ветви как двухполюсник – активный или пассивный.

---

Теорема об активном двухполюснике – по отношению к выделенной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода (на зажимах выделенной ветви двухполюсника), а внутреннее сопротивление равно входному внутреннему эквивалентному сопротивлению двухполюсника.

Алгоритм расчета

1. Выделяют двухполюсник по отношению к ветви, для которой рассчитывается ток.

2. Тем или иным методом рассчитывают величину и полярность напряжения на зажимах двухполюсника при отключенной рассчитываемой ветви – напряжение холостого хода двухполюсника (э.д.с. эквивалентного генератора).

3. Определяют входное (внутреннее) сопротивление двухполюсника при закороченных источниках э.д.с. и разомкнутых ветвях с источниками тока (т.к. внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности) как эквивалентное сопротивление внутренней схемы двухполюсника по отношению к его выходным зажимам.

4. Рассчитывают искомый ток ветви

.

Метод эквивалентного генератора эффективен при опытном определении входного внутреннего сопротивления активного двухполюсника.

1. Измеряют U_xx при разомкнутой ветви .

2. Измеряют I_кз при закороченной ветви .

3. Определяют .

Метод эквивалентного генератора называют также методом ХХ и КЗ (холостого хода и короткого замыкания).

---

3.3. Матричные методы анализа электрических цепей

Рассмотренные ранее методы анализа сложных цепей (метод непосредственного применения законов Кирхгофа – МНЗК, метод контурных токов – МКТ, метод узловых потенциалов – МУП) представляют собой методы составления системы уравнений цепи, т.е. методы получения математической модели цепи.

Для выполнения анализа процессов в цепи эта система должна быть решена относительно искомых величин (токов).

В случае традиционного (развернутого) метода составления и записи уравнений системы наиболее распространенными способами решения системы уравнений являются:

• формула Крамера, т.е. непосредственное раскрытие определителей (n<5, т.к. число арифметических операций при этом равно n∙n!; при n=5, число операций 600).

• метод исключения по Гауссу (n<1000, т.к. число операций равно ).

	Метод Крамера n·n!	Метод Гаусса 2·n3
n=2	4	16
n=3	18	54
n=4	96	128
n=5	600	250
n=6	4320	432

Использование метода Гаусса при n>1000 нецелесообразно, т.к.

а) при n=1000 число операций равно 2·10⁹ и ЭВМ с быстродействием 10⁶ операций в секунду будет решать такую задачу 33 мин;

б) метод Гаусса (как и формула Крамера) дает точное решение задачи, однако при использовании ЭВМ неизбежны ошибки округления, а потому при большом числе уравнений полученное решение может заметно отличаться от точного;

в) существенным параметром вычислительного процесса является и число используемых ячеек памяти, которое при n=1000 достигает 10⁶.

Поэтому при большом числе уравнений приходится использовать те или иные итерационные методы, когда решение находится как предел последовательных приближений (итераций), например, метод Зейделя.

Особенность развития современных электрических цепей является:

• увеличение количества элементов в цепях (ЭВМ, преобразовательная техника);

• широкое применение ЭВМ для расчетов электрических цепей, что требует формализации записи уравнений, умения составлять экономичные алгоритмы.

В этом смысле широкое распространение получил матричный метод записи и решения систем линейных алгебраических уравнений.

Матрица – совокупность величин (элементов), расположенных в виде прямоугольной таблицы.

Математическая символика и правила матричной алгебры позволяют:

1. упростить, сократить запись систем уравнений, получающихся при расчете сложных электрических цепей;

в этом отношении матричную алгебру можно сравнить со стенографией, облегчающей и ускоряющей запись;

2. упорядочить решение систем уравнений;

3. аналитически описать топологические свойства электрической цепи и использовать их для машинного анализа проектирования электрических цепей;

4. решение системы уравнений в матричной форме сводится к нахождению обратной матрицы сопротивлений (ее обращению) и умножению ее на матрицу-столбец контурных э.д.с. (свободных членов уравнений) в соответствии с правилами матричной алгебры;

5. обращение матрицы есть довольно большой по объему вычислений процесс, однако эффективность нахождения решения системы уравнений в матричной форме резко возрастает, если требуется решить несколько линейных систем уравнений с одной и той же матрицей параметров [A] (сопротивлений) и различными свободными столбцами (меняются источники).

---

Пример:

 

[R] x [I] = [E] 

[I] = [R]^-1 [E] – метод контурных токов в матрично-топологической форме.

3.3.1. Матрично-топологический метод анализа электрических цепей

Свойства любой электрической цепи определяются ее структурой и параметрами ее элементов и изображаются в виде схемы электрической цепи.

Топология занимается изучением свойств цепи в зависимости только от ее структуры.

Структуру исследуемой схемы электрической цепи отражает граф электрической схемы – условное изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками-ветвями графа, а узлы точками – узлами графа (ГОСТ 19874).

Таким образом, узлы и ветви графа соответствуют узлам и ветвям электрической схемы.

Свойства графа, а, следовательно, свойства структуры электрической цепи, могут быть описаны аналитическим или геометрическим способами.

Аналитическое описание топологии цепи, введенное ещё Кирхгофом (в 1847 г. Кирхгоф ввел понятие граф, но оно 50 лет было в забвении; затем Максвелл в 1892 развивает теорию графов. Современную теорию графов создал в 1949 г. Рид) (Сешу, Рид. Линейные графы и электрические цепи/ Перевод-М.: Высш. школа, 1971).

Матрично-топологический метод основывается на применении матричной алгебры.

При чисто геометрическом описании топологии цепи используют правила по преобразованию графа и правило Мэзана – топологический метод.

Основные топологические понятия и определения

Топология – изучение свойств любой электрической цепи в зависимости от ее структуры.

Схема электрической цепи – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов.

Граф схемы цепи – изображение структуры схемы цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками кривых – ветвями графа, а узлы схемы – точками – узлами графа.

Направленный (ориентированный) граф схемы цепи – граф, в котором указаны условно-положительные направления токов ветвей стрелками на ветвях графа.

Примечание

1. При составлении графа ветви, содержащие только идеальные источники э.д.с. или тока, необходимо преобразовывать.

2. Ветвь источника тока в граф не входит.

Схема электрической цепи Граф схемы

Подграф схемы – часть графа схемы: дерево, связи, главный контур, главное сечение.

Дерево графа – любая совокупность ветвей графа, соединяющая все его узлы без образования контура – число ветвей дерева (у–1).

Связь – ветвь графа, не принадлежащая выбранному дереву графа – число связей [в–(у–1)].

Контур – замкнутая цепь из нескольких ветвей.

Главный (независимый) контур – контур, образованный ветвями дерева и только одной ветвью связи.

Нумерация главных контуров определяется нумерацией входящих в них ветвей связи.

За положительное направление обхода главного контура принимается направление ветвей связи, входящей в этот контур.

---

Смотрите также файлы

• Т_4.doc

• Т_5.doc

• Т_6.doc

• Т_9.doc

• Т_10.docx