Сечение графа – поверхность, охватывающая совокупность узлов и ветвей графа и рассекающая граф схемы на два изолированных подграфа (на две части).

Главное сечение – сечение, рассекающее только одну ветвь дерева.

Нумерация главных сечений соответствуют номеру ветви дерева, пересекаемому сечением.

За положительное направление сечения принимается направление ветви дерева, пересекаемой сечением.

Путь графа – непрерывная последовательность ветвей, проходящих не более одного раза через любой узел графа.

Топологические матрицы

Структура графа может быть описана в алгебраической форме, в виде таблиц чисел – топологических матриц.

Используют матрицы соединений, контурную матрицу, матрицу главных сечений – топологические матрицы.

Зная матрицы графа можно легко построить сам граф цепи, а, следовательно, и саму цепь.

Такое построение графа цепи и, соответственно, определение её структуры может быть произведено с помощью ЭВМ, в память которой заложены топологические матрицы.

Если при этом машинное описание цепи содержит такие параметры элементов цепи, то по заданной программе ЭВМ может производить любые расчеты для цепи заданной структуры.

Матрица соединений (узловая, структурная)

Для описания структуры графа в алгебраической форме, составим прямоугольную матрицу, у которой:

• строки матрицы соответствуют узлам графа;

• столбцы матрицы соответствуют ветвям графа;

• элементы матрицы:

(+1), если ветвь направлена от узла;

(–1), если ветвь направлена к узлу;

(0), если ветвь не соединяется с узлом.

– это полная матрица соединений направленного графа схемы.

По этой матрице можно воспроизвести направленный граф схемы. С другой стороны это алгебраическое выражение, с которым можно производить алгебраические операции, заносить в память ЭВМ. Очевидно, что полная матрица соединений представляет собой таблицу коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Однако полная матрица соединений обладает избыточностью, т.к. для воспроизведения (описания) графа достаточно взять число строк (y-1), т.е. вычеркнуть любую одну строку.

Узел, соответствующий вычеркнутой строке – базисный. Полученная матрица – узловая, независимая.

– узловая матрица (независимая матрица соединений, структурная матрица).

---

3.3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа в матрично-топологической форме

Запись 1-го закона Кирхгофа с помощью топологических матриц

С помощью топологических матриц можно описывать не только структуру цепи, но и основные законы токопрохождения, связанные с топологическими свойствами цепи (законы Кирхгофа).

Для описания этих законов в топологической форме вводят понятия матриц-столбцов токов и напряжений, а также нулевой матрицы-столбца:

; ; .

Если перемножить узловую матрицу и матрицу токов, то получил новую матрицу-столбец, у которой каждая строка равна алгебраической сумме токов, сходящихся в узлах 1,2,3:

.

Согласно 1-му закона Кирхгофа эта сумма равна 0, т.е. полученное матричное произведение можно приравнять нулевой матрице.

Или в матричной форме:

Однако, в общем случае необходимо учесть наличие источников тока в схеме электрической цепи.

Для этого к матрице-столбцу токов ветвей необходимо прибавить матрицу-столбец токов источников тока.

Матрица источников тока – столбцовая, число строк которой равно числу ветвей графа. Токи источников маркируют по номерам ветвей, параллельно которым подключены источники этих токов. Знак тока берут положительным (+), если он ориентирован одинаково с параллельной ему ветвью графа:

.

Обобщенная ветвь

Тогда или

– 1-й закон Кирхгофа в матрично-топологической форме.

Контурная матрица

Независимые контуры – контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи.

Нумерация и направления обхода независимых контуров соответствуют нумерации и направлению входящих в них ветвей связи.

Контурные матрицы контуров составляют для независимых контуров выбранного дерева.

Число строк контурной матрицы [С] равно числу [в–(у–1)] независимых контуров.

Число столбцов контурной матрицы [С] равно числу ветвей [в].

При составлении матрицы [С] независимые контуры обходят в направлении ветви связи, входящей в этот контур.

При обходе контура в ячейках матрицы [С]:

– ставят (+1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура;

• ставят (-1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура не совпадает с направлением обхода контура;

• ставят 0, ветвь не входит в этот контур.

Контурная матрица – таблица коэффициентов уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа.

Запись 2-го закона Кирхгофа с помощью топологических матриц.

Если перемножить контурную матрицу и матрицу напряжений, то получим матричное уравнение, описывающее второй закон Кирхгофа в матричной топологической форме:

.

Матрица э.д.с. – столбцовая матрица, число строк которой равно числу ветвей графа.

Э.д.с. Е записывают с положительным знаком, если её направление совпадает с выбранным направлением ветви (токи ветвей):

.

Произведение [C]x[E] – алгебраическая сумма э.д.с.

---

Матрица сопротивлений ветвей – квадратная, по её диагонали записывают собственные сопротивления ветвей:

.

Если же выразить напряжения на участках как произведения токов ветвей на сопротивления этих ветвей, то получим запись 2-го закона Кирхгофа в матрично-топологической форме:

.

Алгоритм расчета электрической цепи по законам Кирхгофа в матрично-топологической форме:

1. Выбирают произвольное положительное направление искомых токов в ветвях и обозначают их на схеме.

2. Составляют матрицы параметров схемы электрической цепи.

Матрицу э.д.с.: .

Матрицу токов источников тока: .

Матрицу сопротивления ветвей: .

3. Изображают граф схемы электрической цепи и одно из деревьев графа и составляют для них узловую и контурную топологические матрицы [A] и [C].

4. Подставляют полученные матрицы в матричное топологическое уравнение по законам Кирхгофа и решают его относительно искомых токов:

.

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности или (и) и топографической диаграммы.

3.3.3. Матрично-топологическая форма метода контурных токов

Для одного из деревьев графа вводятся контурные токи независимых контуров.

Направление контурных токов берут совпадающим с направлением связей графа.

Можно показать, что матрица-столбец токов ветвей [I] может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [I_кк] и транспонированную контурную матрицу [С]^Т:

.

При этом:

или

,

где – квадратная матрица контурных сопротивлений: по диагонали собственные сопротивления контуров, остальные элементы – смежные сопротивления соответствующих контуров:

;

– матрица-столбец контурных э.д.с..

Алгоритм расчета электрической цепи по методу контурных токов в матрично-топологической форме:

1. Выбирают произвольное положительное направление токов в ветвях и обозначают их на схеме.

2. Составляют матрицы параметров [R], [E], [J].

3. Изображают граф схемы контурных токов [I_kk] и одно из деревьев графа и составляют для них контурную топологическую матрицу [C].

4. Подставляют полученные матрицы в матрично-топологическое уравнение по методу контурных токов и решают его.

5. Определяют токи в ветвях.

6. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности и (или) топографической диаграммы.

3.3.4. Матрично-топологическая форма метода узловых потенциалов

Можно показать, что матрица напряжений обобщенных ветвей [U] равна матричному произведению транспонированной узловой матрицы [A]^T и матрицы-столбца потенциалов узлов []:

.

При этом

,

где [G_у] – квадратная матрица узловых проводимостей

;

[I_у] – матрица–столбец узловых токов.

Тогда, по закону Ома:

,

где [G_в] – квадратная матрица проводимостей ветвей:

.

При этом

.

Алгоритм расчета электрической цепи по методу узловых потенциалов в матрично-топологической форме:

---

1. Выбирают произвольное положительное направление токов в ветвях и обозначают их на схеме.

2. Составляют матрицы параметров [G_в], [E], [J].

3. Изображают граф и составляют матрицу [A].

4. Решают уравнение в матрично-топологической форме по методу узловых потенциалов.

5. Определяют токи в ветвях.

6. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощности и (или) топографической диаграммы.

---

Смотрите также файлы

• Т_4.doc

• Т_5.doc

• Т_6.doc

• Т_9.doc

• Т_10.docx