ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.05.2019
Просмотров: 1239
Скачиваний: 1
31
????
трапеции
≈ ???? ???? ???????? ≈
????
????
???? ???? + ???? ????
2
(???? − ????)
Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение
полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения
функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка
интегрирования).
Метод парабол (Симпсона)
Суть метода парабол заключается в приближении функции на отрезке [a,b]
интерполяционным многочленном второй степени p
2
(x), т.е. приближение
графика функции на отрезке параболой. В методе Симпсона для вычисления
определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на
подинтервалы равной длины h=(b-a)/2N. Число отрезков разбиения 2N
должно быть четным числом.
????
Симпсона
≈ ???? ???? ???????? ≈
????
????
≈
ℎ
3
∗ ????
0
+ 4 ????
1
+ ????
3
+ ⋯ + ????
2????−1
+ 2(????
2
+ ????
4
+ ⋯ + ????
2????−2
)+????
2????
y
0,
y
2N
- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
(y
2
+ y
4
+ ⋯ + y
2N−2
) - сумма членов с чётными индексами умножается на
2;
y
1
+ y
3
+ ⋯ + y
2N−1
-сумма членов с нечётными индексами умножается на
4.
Пример
Вычислить интеграл методами: прямоугольников, трапеции и параболы
(Симпсона).
3 − ????
2
1 − ???? ???????? = 5.25
2
−1
32
Разобьем отрезок [-1,2] на 10 частей, т.е. ℎ =
2−(−1)
10
= 0.3 . Вычислим
значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников,
по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:
Таблица 3.1
i
????
????
????(????
????
)
(????
????
+ ????
????+1
)
2
????(????
????
+ ????
????+1
)
2
0
-1
4
-0.85
4.213375
1
-0.7 4.267
-0.55
4.181125
2
-0.4 3.976
-0.25
3.671875
3
-0.1 3.289
0.05
2.847625
4
0.2
2.368
0.35
1.870375
5
0.5
1.375
0.65
0.902125
6
0.8
0.472
0.95
0.104875
7
1.1 -0.179
1.25
-0.359375
8
1.4 -0.416
1.55
-0.328625
9
1.7 -0.077
1.85
0.359125
10
2
1
????
1
= ????(????
????−1
)
????
????=1
= 4 + 4.267 + ⋯ + −0.077 = 19.075
????
2
= ????(????
????
)
????
????=1
= 4.267 + 3.976 + ⋯ + −0.077 = 16.075
????
3
=
????((????
????−1
+ ????
????
)
2
????
????=1
= 4.213375 + ⋯ + 0.359125 = 17.4625
Формула левых, правых и средних прямоугольников:
????
левых
≈ ???? ???? ???????? ≈ ℎ ∗
????
????
????(????
????−1
)
????
????=1
= 0.3 ∗ 19.075 = 5.7225
????
правых
≈ ???? ???? ???????? ≈ ℎ ∗
????
????
????(????
????
)
????
????=1
= 0.3 ∗ 16.075 = 4.8225
33
????
средних
≈ ???? ???? ???????? ≈ ℎ ∗
????
????
????(????
????−1
+ ????
????
)
????
????=1
= 0.3 ∗ 17.4625 = 5.23875
????
трапеции
≈ ???? ???? ???????? ≈ ℎ ∗
????
????
???? ????
????−1
+ ???? ????
????
2
=
????−1
????=1
= ℎ ∗
???? ????
0
+ ???? ????
????
2
+ ????(????
????
)
????−1
????=1
= 0.3 ∗
4 + 1
2
+ 4.2.67 + 3.976 + ⋯ + (−0.077) = 5.2725
????
Симпсона
≈ ???? ???? ???????? ≈
????
????
ℎ
3
∗
≈
ℎ
3
∗ ????
0
+ 4 ????
1
+ ????
3
+ ⋯ + ????
2????−1
+ 2(????
2
+ ????
4
+ ⋯ + ????
2????−2
)+????
2????
≈
≈
0.3
3
∗ 4 + 4 4.267 + 3.289 + 1.375 − 0.179 − 0.077
+ 2 3.976 + 2.368 + 0.472 − 0.416 + 1 ≈ 5.25
Численное дифференцирование
Метод Эйлера
Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или
несколько производных. В зависимости от количества не зависимых
переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.
1) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
2) Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие
уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой
функции ???? ???? . Их можно записать виде
???? ???? (????, ????
′
, ????", … ????
(????)
) = 0 (1)
????(????)независимая переменная
Наивысший порядок ????, входящий в уравнение (1) называется порядком
дифференциального уравнения.
34
Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное
относительно производной
????
′
= ???? ????, ???? (2)
Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция,
???? = ???? ???? которая после ее подстановки в уравнение обращает его в
тождество.
Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача
Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции ???? ???? удовлетворяющий
начальному условию ????(????
0
) = ????
0
(3)
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную
кривую, ???? ???? проходящую через точку ????(????
0,
????
0
) при выполнение равенства
(2).
Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить
таблицу значений функции ???? ???? удовлетворяющий уравнение (2) и начальное
условие (3) на отрезке ????; ???? с некоторым шагом . Обычно считается, что
????
0
= ???? то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.
Простейшим из численных методов решения дифференциального
уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического
построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает
одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме
или таблицы.
Пусть дано уравнение ????
′
= ???? ????, ???? с начальным условием ????(????
0
) = ????
0
то
есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти
простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке
????
1
= ????
0
+ ℎ где
-достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с
начальным условием (3) задают направление касательной искомой
интегральной кривой в точке ????
0
с координатами
(????
0
, ????
0
)
Уравнение касательной имеет вид
???? = ????
0
+ ???? ????
0
, ????
0
(???? − ????
0
)
Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение
решения в точке ????
1
:
????
1
= ????
0
+ ???? ????
0
, ????
0
????
1
− ????
0
или
????
1
= ????
0
+ ℎ · ???? ????
0
, ????
0
(4)
Располагая приближенным решением в точке ????
1
(????
1
, ????
1
) можно
повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую
через эту точку с угловым коэффициентом ????(????
1
, ????
1
), и по ней найти
приближенное значение решения в точке ????
1
= ????
1
+ ℎ.
Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной
интегральной кривой, поскольку точка ????
1
нам не доступна, однако если
достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным
значениям решения.
35
Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек
????
????
= ????
0
+ ???? · ℎ ???? = 0, ????
.
Получение таблицы значений искомой функции ???? ???? по методу Эйлера
заключается в циклическом применение формулы
????
????+1
= ????
????
+ ∆????
????
= ????
????
+ ℎ · ????(????
????
, ????
????
) (5)
Рисунок. 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке x
i
называется устойчивым, если
найденное в этой точке значение функции y
i
мало изменяется при
уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким
образом,
надо
провести
два
расчета
значения (y
i
) –
с
шагом
интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В
качестве
критерия
устойчивости
можно
использовать
малость
относительного изменения полученного решения при уменьшении шага
интегрирования
???? =
????
2ℎ????
− ????
ℎ????
????
2ℎ????
где ????
2ℎ????
- решение, рассчитанное с шагом 2h ,
????
ℎ????
– решение, рассчитанное с
шагом h .
Пример
В качестве примера проведем расчеты по формулам метода Эйлера с
шагом h=0,05 и h=0,1 для задачи Коши ????
′
= −2????????, 0 < ???? < 1, ???? 0 = 1.
Формулы для расчета имеют вид ????
0
= 0,
????
????+1
= ????
????
+ ℎ ∗ ????
????
????+1
= ????
????
− 2????
????
????
????
ℎ = ????
????
1 − 2????
????
ℎ ; ???? = 0,1,2,3 … . , ????