ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.05.2019
Просмотров: 1242
Скачиваний: 1
26
????
????
???? = ????
????
+ ????
????
???? − ????
????
+ ????
????
(???? − ????
????
)
2
+ ????
????
(???? − ????
????
)
3
для интервала ???? ∈ [0,1.667]
????
1
???? = 1 + 0.0442 ???? − ????
0
+ 0(???? − ????
0
)
2
+ 0.0137(???? − ????
0
)
3
для интервала ???? ∈ [1.667, 3.333]
????
2
???? = 1,815 + 0.566 ???? − ????
1
− 0.0684(???? − ????
1
)
2
+ 0.021(???? − ????
1
)
3
для интервала ???? ∈ [3.333, 5]
????
3
???? = 3.051 + 0.973 ???? − ????
3
+ 0,1765 (???? − ????
3
)
2
− 0.0353(???? − ????
3
)
3
Интегральная ошибка интерполяции
???? = ???? ???? − ????
1
(????)
1.667
0
???????? + ???? ???? − ????
2
(????)
3.333
1.667
???????? + ???? ???? − ????
3
(????)
5
3.333
????????
= 0.122
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной
степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.
???? ???? = ????
????
????
????
(????)
????
????=0
где базисные полиномы определяются по формуле:
????
????
???? =
???? − ????
????
????
????
− ????
????
=
???? − ????
0
????
????
− ????
0
…
???? − ????
????−1
????
????
− ????
????−1
∙
???? − ????
????+1
????
????
− ????
????+1
…
???? − ????
????
????
????
− ????
????
????
???? =0,???? ≠????
Для трех узлов интерполяции N=2
????
0
???? =
???? − ????
1
????
0
− ????
1
∗
???? − ????
2
????
0
− ????
2
????
1
???? =
???? − ????
0
????
1
− ????
0
∗
???? − ????
2
????
1
− ????
2
27
????
2
???? =
???? − ????
0
????
2
− ????
0
∗
???? − ????
1
????
2
− ????
1
- уравнение, проходящей через точки (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)
???? ???? = ????
0
???? ∗ ????
0
+ ????
1
???? ∗ ????
1
+ ????
2
???? ∗ ????
2
Пример
Интерполировать функцию используя интерполяционный многочлен
Лагранжа на интервале [0,5].
???? ???? = 0.1???? + ????
0.3????
Таблица 2.6
Узел
0
1
2
3
x
i
0
1.667
3.333
5
y(x
i
)
1
1.815
3.051
4.9817
Для N=3 (четыре узла интерполяции) составляем базисные полиномы
????
0
???? =
???? − ????
1
????
0
− ????
1
∗
???? − ????
2
????
0
− ????
2
∗
???? − ????
3
????
0
− ????
3
????
1
???? =
???? − ????
0
????
1
− ????
0
∗
???? − ????
2
????
1
− ????
2
∗
???? − ????
3
????
1
− ????
3
????
2
???? =
???? − ????
0
????
2
− ????
0
∗
???? − ????
1
????
2
− ????
1
∗
???? − ????
3
????
2
− ????
3
????
3
???? =
???? − ????
0
????
3
− ????
0
∗
???? − ????
1
????
3
− ????
1
∗
???? − ????
2
????
3
− ????
2
???? ???? = ????
0
∗ ????
0
???? + ????
1
∗ ????
1
???? + ????
2
∗ ????
2
???? + ????
3
∗ ????
3
????
28
Численное интегрирование
Численное
интегрирование
(историческое
название:
(численная)
квадратура) — вычисление значения определѐнного интеграла (как правило,
приближѐнное). Под численным интегрированием понимают набор
численных методов для нахождения значения определѐнного интеграла.
Численное интегрирование применяется, когда:
сама подынтегральная функция не задана аналитически;
аналитическое представление подынтегральной функции известно, но
еѐ первообразная не выражается через аналитические функции.
В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле
Ньютона — Лейбница
???? ???? ???????? = Ф ???? − Ф ???? = Ф
????
????
????
????
Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод
прямоугольников (правых, левых, средних), метод трапеций и метод парабол.
Метод прямоугольников
В этом методе подынтегральная функция ???? ???? заменяется горизонтальной
прямой ???? ???? = ???? со значением ординаты, т. е. значения функции соответст-
венно слева или справа участка.
Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация опре-
деленного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.
Формула левых прямоугольников:
????
левых
≈ ???? ???? ???????? ≈ ????
0
ℎ +
????
????
????
1
ℎ + ????
2
ℎ + ⋯ ????
????−1
ℎ ≈ ℎ(????
0
+ ????
1
+ ????
2
+ ????
????−1
)
ℎ =
????
0
+????
????
????
-
шаг интегрирования;
n - число разбиений.
29
Левые прямоугольники
Рисунок 3.1
Формула правых прямоугольников:
????
правых
≈ ???? ???? ???????? ≈
????
????
????
1
ℎ + ????
2
ℎ + ⋯ ????
????
ℎ ≈ ℎ(????
1
+ ????
2
+ ????
????
)
Правые прямоугольники
Рисунок 3.2
Формула средних прямоугольников:
????
средних
≈ ℎ ????(????
????
+
ℎ
2
)
????−1
????=0
30
или
????
средних
≈
????
правых
+ ????
левых
2
Рисунок 3.3
Метод трапеций
Метод трапеций —заключающийся в замене на каждом элементарном
отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть
линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется
прямоугольными трапециями.
Рисунок 3.4 Аппроксимация функции линейной
зависимостью при интегрировании методом трапеций
Если отрезок ????, ???? является элементарным и не подвергается дальнейшему
разбиению, значение интеграла можно найти по формуле