ВУЗ: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Электроника
Добавлен: 23.10.2018
Просмотров: 11019
Скачиваний: 27
26
(
) /
;
;
n
C
T
n
F
C
C
n
N
η = ϕ − ϕ
ϕ χ = ϕ − ϕ ν =
;
(
) /
;
;
.
p
V
T
p
V
F
V
p
N
η = ϕ − ϕ ϕ χ = ϕ − ϕ ν =
Величину
χ
,
входящую
в
интегральное
уравнение
(1.10),
в
статистической
физике
называют
химическим
потенциалом
.
Химический
потенциал
является
функцией
концентрации
соответствующих
частиц
.
О
наличии
химического
потенциала
можно
говорить
только
в
том
случае
,
если
концентрации
элек
-
тронов
и
дырок
в
полупроводнике
различные
,
т
.
е
.
полупроводник
примесный
.
При
равенстве
концентраций
электронов
и
дырок
по
-
лупроводник
собственный
и
химический
потенциал
равен
нулю
.
В
компенсированном
полупроводнике
имеет
место
наличие
хи
-
мических
потенциалов
дырок
и
электронов
,
но
они
равны
по
аб
-
солютной
величине
и
направлены
навстречу
друг
другу
,
в
ре
-
зультате
чего
результирующий
химический
потенциал
равен
ну
-
лю
.
Разность химических потенциалов означает наличие раз-
ности концентраций электронов или дырок в разных объемах
полупроводника (полупроводников), что, естественно, вызы-
вает перемещение — диффузию частиц в направлении от
большей концентрации к меньшей.
Таким
образом
,
разность
химического
потенциала
характеризует
возможность
диффузии
сводных
частиц
(
заряженных
или
незаряженных
),
подобно
тому
,
как
электрический
потенциал
характеризует
возможность
дрейфа
свободных
заряженных
частиц
.
Потенциал
Ферми
можно
запи
-
сать
в
виде
алгебраической
суммы
электрического
и
химического
потенциалов
:
;
F
C
n
ϕ = ϕ + χ (1.11
а
)
.
F
V
p
ϕ = ϕ − χ (1.11
б
)
Отсюда
следует
еще
одно
название
величины
F
ϕ —
элек
-
трохимический
потенциал
.
Градиент потенциала Ферми, буду-
чи суммой градиентов электрического и химического потен-
циалов, позволяет одновременно характеризовать оба типа
движения носителей — диффузию и дрейф.
В
условиях
равновесия
,
когда
направленного
движения
но
-
сителей
нет
,
должно
выполняться
условие
0
F
grad
ϕ = ,
т
.
е
.
27
.
F
const
ϕ =
Постоянство («горизонтальность») уровня Ферми в рав-
новесной системе является одним из фундаментальных соот-
ношений теории твердого тела. Заметим, что условие
F
const
ϕ =
не означает постоянства каждого из слагаемых
c
ϕ
и
F
ϕ
. Иначе говоря, в равновесной системе могут иметь место
градиенты электрического и химического потенциалов и со-
ответственно дрейфовые и диффузионные потоки носителей.
Эти потоки должны взаимно уравновешиваться, т.е. напри-
мер, диффузионный поток электронов равен дрейфовому по-
току и потоки направлены навстречу друг другу.
Для
определения
химических
потенциалов
n
χ ,
p
χ
и
потен
-
циала
Ферми
через
концентрации
n
и
p
нужно
решить
инте
-
гральное
уравнение
(1.10).
В
общем
виде
аналитического
реше
-
ния
интеграла
нет
,
однако
в
двух
частных
случаях
,
принципи
-
ально
важных
для
практики
,
получаются
аналитические
реше
-
ния
.
1.
Положим
0
χ <
и
Т
χ >> ϕ .
Тогда
,
пренебрегая
единицей
в
знаменателе
подынтегрального
выражения
,
т
.
е
.
используя
рас
-
пределение
Максвелла
–
Больцмана
,
получаем
уравнение
T
e
χ
ϕ
= ν ,
решением
которого
будут
химические
потенциалы
:
ln
n
T
C
n
N
χ = ϕ
;
ln
p
T
V
p
N
χ = ϕ
.
(1.12)
Учитывая, что решение уравнения получено при условии
0
χ < , приходим к выводу, что полученные решения справедливы
при условии
1
ν << . Полупроводники, у которых выполняется это
условие, т.е. концентрация свободных носителей меньше эффек-
тивной плотности состояний, называют невырожденными.
Потенциал Ферми для невырожденных полупроводни-
ков можно записать в виде:
ln
;
F
C
T
C
n
N
ϕ = ϕ + ϕ
(1.13а)
ln
.
F
V
T
V
p
N
ϕ = ϕ − ϕ
(1.13б)
28
Из выражений (1.13а) и (1.13б) следует, что потенциал
Ферми в невырожденных полупроводниках лежит в запре-
щенной зоне.
Вычитая или складывая выражения (1.13), легко получить
соответственно выражения (1.8) и (1.9). Также легко видеть, что
у невырожденных полупроводников потенциал Ферми всегда
лежит в запрещенной зоне, поскольку логарифмы в обоих
выражениях (1.13) отрицательны.
2. Положим
0
χ > и
Т
χ >> ϕ . Тогда при выполнении усло-
вия
T
χ
η > ϕ подынтегральное выражение быстро приближается
к нулю, и интегрирование в этом диапазоне не имеет смысла. По-
этому примем в качестве верхнего предела интегрирования
T
χ
η = ϕ . Выполнив интегрирование, получим простое уравнение
2
2
3
3
3
(
)
4
n
T
C
n
N
⎛
⎞
π
χ =
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
;
2
2
3
3
3
(
) .
4
n
T
C
n
N
⎛
⎞
π
χ =
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
Эти решения действительны практически при
3
η ≥ .
Полупроводники, у которых соблюдается условие
1
ν > , т.е.
концентрация свободных носителей существенно превышает эф-
фективную плотность состояний в разрешенной зоне, называют
вырожденными или полуметаллами.
Для них распределение Максвелла–Больцмана недейст-
вительно.
Критерии вырождения можно записать в виде
;
C
n
N
>
(1.14а)
.
V
p
N
>
(1.14б)
В неравновесном состоянии значения потенциалов Ферми в
(1.13а) и (1.13б), вообще говоря, различны, т.е. происходит рас-
щепление потенциала Ферми, тогда их называют соответственно
квазиуровнями Ферми для электронов и дырок.
1.7
Концентрация
носителей
в
полупроводниках
Рассмотрим концентрации носителей для различных типов
полупроводников.
29
В собственном полупроводнике концентрации свободных
электронов и дырок одинаковы:
i
i
n
p
= . Тогда из формул (1.9) и
(1.13) следует, что при любой температуре уровень Ферми собст-
венного полупроводника расположен вблизи середины запре-
щенной зоны. Подставляя
i
i
n
p
= в формулу (1.8), получаем кон-
центрации свободных электронов и дырок в собственном полу-
проводнике:
.
З
З
Т
T
З
i
i
C
V
c
v
T
n
p
N N e
N e
N e
ϕ
ϕ
−
ϕ
ϕ
−ϕ
=
=
≈
≈
ϕ
(1.15)
Зависимость собственных концентраций
i
n и
i
p от темпера-
туры очень сильна и обусловлена в основном величиной темпе-
ратурного потенциала, т.е. зависит от энергии кристаллической
решетки. Изменение энергии кристаллической решетки приводит
к изменению колебаний атомов в узлах кристаллической решет-
ки, следовательно, изменяется вероятность нахождения электро-
нов (дырок) на уровнях в разрешенной зоне.
Столь же сильно зависит собственная концентрация от ши-
рины запрещенной зоны при постоянной температуре. Так, срав-
нительно небольшое различие в величине
З
ϕ у германия и крем-
ния (0,67 эВ и 1,11 эВ) приводит к различию собственных кон-
центраций при комнатной температуре на 3 и более порядков.
Сравнивая (1.8) и (1.15), соотношение (1.8) можно записать в бо-
лее компактной форме:
2
.
i
np
n
=
(1.16)
Соотношение (1.16) говорит о том, что увеличение концен-
трации одного типа носителей сопровождается уменьшением
концентрации другого типа носителей. Из выражения (1.16) сле-
дует, что в полупроводниках с различной шириной запрещенной
зоны, а следовательно, с различной собственной концентрацией,
при одинаковой концентрации электронов (дырок) концентрация
дырок (электронов) будет различной.
Рассмотрим сказанное на конкретном примере.
Используя выражение (1.16), запишем очевидное соотноше-
ние для полупроводников из германия и кремния:
2
2
iГ
Г
Г
К К
iК
n
n p
n p
n
=
.
30
Используя соотношение (1.15), можно записать
2
6
10
ЗГ
T
Г
Г
К К
n p
e
n p
ϕ
ϕ
=
≈
.
В
кремниевом
полупроводнике
выполним
условие
10
K
K
n
p
=
, т.е. кремниевый полупроводник является ярко выра-
женным электронным. Потребуем, чтобы концентрация электро-
нов в германиевом и кремниевом полупроводниках была одина-
ковой. При выполнении данного условия можно записать:
5
10
Г
Г
p
n
=
, т.е. германиевый полупроводник должен быть дыроч-
ным.
Используя формулы (1.16) и (1.7) и полагая
c
v
N
N
=
, не-
трудно выразить концентрации n и р через собственную концен-
трацию
i
n
;
E
F
T
i
n
n e
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
(1.17а)
.
F
E
T
i
p
n e
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
(1.17б)
Отсюда легко получить потенциал Ферми в двух формах
ln
;
F
E
T
i
n
n
ϕ = ϕ + ϕ
(1.18а)
ln
.
F
E
T
i
n
n
ϕ = ϕ + ϕ
(1.18б)
Для того чтобы определить потенциал
F
ϕ по формулам
(1.13) или (1.18), нужно знать концентрации свободных носителей.
На рис. 1.10 и 1.11 приведены зонные диаграммы для элек-
тронного и дырочного полупроводников.
При оценке величин n и р используют условие ней-
тральности полупроводника.
Это важное условие формулируется следующим образом:
в однородном полупроводнике не может быть существенных
не скомпенсированных объемных зарядов ни в равновесном
состоянии, ни при наличии тока.