ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3453
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
15.
Сравнивая задачу 14 со случаем
обычной цепной дроби
(для
которой
«
триангуляции тора с отмеченными точками
»
произвольны, так
как любая конечная последовательность натуральных чисел является пе-
риодом некоторого квадратичного иррационального числа), я должен по-
вторить одну старую интересную задачу о сравнении статистик элементов
цепной дроби случайно выбранного иррационального числа и цепных дро-
бей собственных значений случайно выбранной матрицы из SL(2,
Z
) с
вещественными собственными значениями.
Для начала рассмотрим целые точки (
p
,
q
), определяющие квадрат-
ное уравнение
x
2
+
px
+
q
=
0 с вещественными корнями и такие, что
p
2
+
q
2
6
N
. Среди элементов из периодов цепных дробей решений этих
уравнений рассмотрим долю числа единиц, числа двоек, и т. д. Предел доли
элементов
k
при
N
стремящемся к бесконечности по определению является
частотой элемента
k
для случайного квадратичного иррационального
числа.
Частоты элементов периодов собственных значений случайно выбран-
ных матриц можно определить аналогично, если рассматривать целочи-
сленные матрицы
a b
c d
, для которых
ad
−
bc
=
1, собственные значения
вещественны и
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
6
N
.
Ожидается, что эти две частоты совпадают, являясь в обоих случаях
частотой элементов цепной дроби случайного вещественного числа.
Формула для последней
(частота
k
)
=
ln
1
+
1
k
(
k
+
2)
/
ln 2
была найдена Гауссом, а доказана в 1928 г. Р. Кузьминым, который исполь-
зовал эргодическую теорему Биркгофа (утверждение было доказано для
всех вещественных чисел кроме некоторого исключительного множества
лебеговой меры нуль).
Однако еще в 1900 г. появились две статьи, в названиях которых упо-
миналась та же задача:
T. Brod
´
en, Wahrscheinlichkeibs Bestimmungen bei der Grew
¨
ohnlichen
Kettenbruchentwicklung Reeller Zahlen. Acad. F
¨
ohr, Vol. 57. Stockholm,
1900. P. 239
––
266;
A. Wiman.
¨
Uber eine-Wahrscheinlichkeits Au
ff
age bei Kettenbruchen-
twicklungen, Acad. F
¨
ohr, Vol. 57. Stockholm, 1900. P. 589
––
841.
К сожалению, я не проверил, содержали ли эти статьи теорему Кузь-
мина 1928 г., а значит, их прочтение и оценка с современной точки зрения
также входит в задачи нашего семинара.
101
i
i
i
i
i
i
i
i
Теоремы Гаусса
––
Вимана
––
Кузьмина и их связь с
мерой
(
A
)
=
]
A
(
x
)
dx
,
=
1
1
+
x
,
являющейся инвариантной для динамической системы x
7→ {
1
/x
}
=
=
1
/x
−
[1
/x
], обсуждаются в брошюре В. И. Арнольда
«
Цепные дроби
»
.
М.: МЦНМО, 2001. С. 14
––
40. (Сер.
«
Библ.
“
Математическое просвеще-
ние
”»
).
В качестве другой модели, приводящей к статистике Гаусса
––
Кузьмина,
я уже давно предлагал рассмотреть асимптотику распределения элементов
цепных дробей для рациональных чисел
p/q
(при стремлении
p
и
q
к
бесконечности). Эта гипотеза недавно доказана: М. О. Авдеева, В. А. Бы-
ковский. Решение задачи Арнольда о статистике Гаусса
––
Кузьмина. Ин-
ститут прикладной математики Дальневосточного отделения Российской
академии наук, Хабаровское отделение. Препринт №8. Владивосток, 2002.
Статистики парусов случайных треугольных пирамид в
R
3
неизвестны,
но М. Концевич и Ю. Сухов доказали мои гипотезы об их
существова-
нии и универсальности
(независимость от пирамид): их статья находится
в книге
«
Pseudoperiodic Topology
»
(Eds. V. I. Arnold, M. E. Kontsevich,
A. V. Zorich. Amer. Math. Soc., 1999).
К сожалению, эти математические доказательства существования не
отвечают на естественные
«
физические
»
вопросы, например,
чего больше
:
целых точек, лежащих на ребрах паруса, или целых точек на произ-
вольном отрезке той же длины с концами в целых точках
? Какова
пропорция между
количеством треугольников и четырехугольников
(или треугольников и пятиугольников), являющихся гранями паруса слу-
чайной пирамиды? Как распределено количество целых точек, лежащих
на грани: больше их или меньше, чем на случайно выбранной плоской
области той же площади? Распределены ли отношения
«
площадь/(квадрат
периметра грани)
»
для граней паруса так же, как для случайного плоского
многоугольника, или по-другому?
Все эти вопросы являются также проблемами и
экспериментальной
математики
, поскольку было бы интересно получить эмпирические дан-
ные для, например,
«
псевдослучайных
»
конусов, порожденных тремя це-
лыми векторами (
a
,
b
,
c
) нормы
|
a
|
2
+
|
b
|
2
+
|
c
|
2
<
N
. Средняя статистика на
множестве всех таких троек зависит от
N
, и эмпирические средние значе-
ния для
N
равных, например, 10 и 100 могли бы подсказать, существует
ли предел при
N
стремящемся к бесконечности.
Эти эмпирические статистики можно сравнить с теми, которые были
получены с помощью кубического поля алгебраических чисел (задача 14):
102
i
i
i
i
i
i
i
i
есть ли существенное различие между статистиками парусов ку-
бических полей и парусов случайных пирамид
?
Я упомянул бы здесь еще задачу о статистике длин отрезков, на ко-
торые делят отрезок или окружность единичной длины
T
точек (в дис-
кретном варианте задачи
––
T
вычетов по модулю
m
). Эти статистики и
было бы интересно сравнить со статистиками
«
геометрических прогрессий
Ферма
––
Эйлера
»
{
a
t
(mod
m
)
}
или арифметических прогрессий
{
x
+
ta
}
,
t
=
1, . . . ,
T
, или еще групп Эйлера
{
x
: (
x
,
m
)
=
1 (mod
m
)
}
, обсуждающих-
ся в брошюре: В. И. Арнольд. Группы Эйлера и арифметика геометриче-
ских прогрессий. МЦНМО, 2003.
103
i
i
i
i
i
i
i
i
Оглавление
§ 1. Математика и физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§ 2. Математическое мракобесие против Абеля и против Пуанкаре . 13
§ 3. Проблемы Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§ 4. Математика от древних до наших дней . . . . . . . . . . . . . . . 51
Приложения
Доклад о девяти недавних математических открытиях . . . . . . . . . 78
§ 1. Контактная топология и обращение волн . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 2. Симплектические неподвижные точки и
«
последняя геометри-
ческая теорема
»
Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 3. Симплектические упаковки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 4. Неявные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 5. Небесная механика и диофантовы приближения на подмного-
образиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 6. Теория усреднения и опасность аналитичности . . . . . . . . . . 86
§ 7. Инварианты узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 8. Подсчет особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
§ 9. Зеркальные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Задачи к семинару . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92