ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3451
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Теорию Гивенталя излагали в своих лекциях многие специалисты в
Париже, США и других местах.
Одно из изложений этой теории содержится в недавней работе С. Т. Яо
в книге Международного математического союза, посвященной наступле-
нию нового тысячелетия:
«
Mathematics: Frontiers and Perspectives
»
(Eds.
V. Arnold, M. F. Atiyah, P. Lax, B. Mazur. Amer. Math. Soc., 2000). Согласно
Яо, он предоставил
«
первое полное доказательство
»
теоремы Гивенталя.
На самом деле это доказательство основано на электронных письмах Ги-
венталя, отвечающих Яо на его вопросы о некоторых местах публикации
Гивенталя (местах, которые были трудны для понимания читателя, не зна-
комого с предыдущими работами по этой теме).
С помощью этого доклада я надеюсь способствовать возвращению
истинных авторов
многим
результатам; история странной двойственности
лишь один из них!
Из других примеров я могу сослаться (1) на публикации американского
SIAM в шестидесятых годах, представляющие великую теорему Колмого-
рова по гамильтоновым системам как их собственное обобщение теоремы
Мозера на аналитический случай (в то время как теорема Мозера была его
обобщением теоремы Колмогорова (1954 г.) с аналитических гамильтоно-
вых систем на системы, имеющие только 333 непрерывные производные).
Или (2) приписывание результатов Пуанкаре по бифуркациям предельных
циклов (и их обобщений, полученных А. Андроновым) Э. Хопфу (припи-
сывание, которому следуют даже французская и русская школа).
В недавнем издании Американского математического общества, посвя-
щенном наследию Пуанкаре, было напечатано, что (3) он не был знаком
с понятием гладкого многообразия. У меня создается впечатление, что
«
современные
»
математики незнакомы с А. Пуанкаре (имя которого на
станции
«
Люксембург
»
парижского метро написано как
«
Point Carr
´
e
»
)
35
.
И (4): я слышал на собрании Лондонского математического общества
разговор, посвященный нескольким
«
новым
»
теоремам английских мате-
матиков про малые шумовые эффекты в динамических системах, которые
на самом деле были уже опубликованы Андроновым, Понтрягиным и Вит-
том в 1935 г.
Правда, как было упомянуто в последующих переизданиях книги Ан-
дронова и Хайкина
«
Теория колебаний
»
, имя третьего автора
«
отсутство-
вало в первом издании (1937 г.) из-за трагической ошибки
»
(это означает,
как понимает любой российский читатель, что Витт был расстрелян в
ГУЛАГе). Лжеприписывания могут иметь разнообразные причины.
35
Пуанкаре уже обсуждал эту ошибку (
«
квадратную точку
»
) в своих текстах. По его
мнению, фамилия происходит от опасного
«
квадратного кулака
»
(poing carr
´
e) его предка,
точка же квадратной не бывает: она круглая.
91
i
i
i
i
i
i
i
i
ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ
в Париже в январе 2002 г.
1.
Пусть функция
f
:
R
2
→
R
––
многочлен степени
D
. Найти наиболь-
шее возможное число компонент связности и наибольшее возможное число
замкнутых компонент
параболической кривой
ее графика (т. е. множества
таких точек плоскости (
x
,
y
), для которых
f
xx
f
yy
=
f
2
xy
):
b
0
(Par(
f
))
=
?,
b
1
(Par(
f
))
=
?
Даже для случая
D
=
4 неизвестно, достигает ли
b
1
значения 4, а кон-
станты
C
из нижней и верхней оценок при больших
D
,
b
1
∼
CD
2
, отлича-
ются в четыре раза:
(
D
−
1)(
D
−
2)
2
6
b
6
(2
D
−
5)(
D
−
3)
+
1
.
2.
Пусть
M
⊂
R
P
3
––
гладкая алгебраическая поверхность
степе-
ни
D
. Найти наибольшее возможное число компонент связности ее па-
раболической линии.
Константы
C
из нижней и верхней оценок вида
CD
3
различаются в 20
раз:
D
(
D
−
1)(
D
−
2)
2
6
b
6
10
D
3
−
28
D
2
+
4
D
+
3
.
Нижние оценки из задач 1 и 2 означают существование поверхностей
с достаточно большим числом замкнутых параболических кривых, а верх-
ние
––
несуществование поверхностей со слишком большим их числом.
3.
Пусть
F
:
S
1
→
R
гладкая функция; она называется
D-гиперболиче-
ской
, если второй дифференциал
d
2
f
однородной функции
f
(
x
,
y
)
=
r
D
F
(
'
)
(где
x
=
r
cos
'
,
y
=
r
sin
'
) гиперболичен (обладает сигнатурой (
+
,
−
)) вез-
де в
R
2
\
0.
Найти связные компоненты пространства
D
-гиперболических функций:
является ли индекс
(равный числу оборотов креста
d
2
f
=
0 при одном об-
ходе точки (
x
,
y
) вокруг начала координат)
единственным инвариантом
компоненты связности
? Множество значений, достигаемых индексом,
бесконечно и не ограничено снизу (но ограничено сверху).
92
i
i
i
i
i
i
i
i
4.
В полиномиальном случае (когда
F
является тригонометрическим
многочленом, а
f
––
обычным однородным многочленом степени
D
) найти
число связных компонент пространства D-гиперболических много-
членов
. Растет ли оно линейно по степени
D
при ее увеличении?
Более подробно о задачах 1
––
4 написано в моей недавней работе
«
Астроидальная геометрия гипоциклоид и топология гессианов гипербо-
лических многочленов
»
(Успехи математических наук. 2001. Т. 56, вып. 6).
5.
Рассмотрим
управляемую динамическую систему
_
x
=
v
(
x
,
u
), где
x
является точкой на компактном фазовом многообразии
M
, а
u
принадле-
жит многообразию управляющих параметров
U
. Пусть
f
:
M
→
R
––
гладкая
целевая функция
.
Исследовать
вариационную задачу о нахождении максимума
среднего по времени
^
f
=
lim
T
−
1
T
]
0
f
(
x
(
t
))
dt
при оптимальном выборе
управляющей функции
u
(
t
). (Задачу эту можно рассматривать либо при
фиксированном начальном условии
x
(0), либо выбирая оптимальным и
его
––
это две разные задачи.)
Если задача (т. е. пара функций
v
и
f
) зависит от некоторого внешнего
параметра, то стратегия оптимизации и оптимальное среднее могут иметь
особенности (
«
фазовые переходы
»
) в точках из
гиперповерхности фазо-
вых переходов
, лежащей в многообразии
P
значений внешнего параметра.
Требуется найти
общие фазовые переходы, возникающие в вариа-
ционной задаче
, хотя бы в случае, когда размерности многообразий
M
,
U
и
P
достаточно малы. Задача является открытой даже в том случае, когда
все рассматриваемые многообразия одномерны, ибо уже тогда возника-
ют некоторые нетривиальные устойчивые особенности (см. мою статью в
журнале
«
Функциональный анализ и его приложения
»
. 2002. Т. 36, вып. 2).
6.
Пусть
f
:
M
→
R
––
гладкая функция на компактном римановом мно-
гообразии, 0
<
r
<
R
<
∞
––
две другие гладкие функции на
M
. Исследовать
вариационную задачу о максимизации для среднего по пространству
^
f
=
]
M
f
(
x
)
(
x
)
dx
.
]
M
(
x
)
dx
при помощи выбора распределения масс, определяемого плотностью
по
отношению к элементу риманового объема
dx
, удовлетворяющей неравен-
ствам
r
6
6
R
везде на
M
.
Исследовать общие фазовые переходы в случае, когда
f
,
r
и
R
гладко
зависят от внешних параметров.
93
i
i
i
i
i
i
i
i
Доказано, что оптимальная стратегия состоит в следующем:
{
взять
=
r
при
f
(
x
)
<
c
и
=
R
при
f
(
x
)
>
c
для некоторой константы
c
}
, но случай
фазовых переходов требует исследования воздействия некоторых странных
логарифмических особенностей и их разрешений в случае четномерных
многообразий
M
, особенностей, которые возникают во многих физических
задачах. Об этом написано в статье В. Арнольда
«
On a variational problem
relate to the phase transitions of the averages in controlled dynamical sys-
tems
»
(Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics I.
In Honor of Professor O. A. Ladyzhenskaya. Kluwer Academic/Plenum Pub-
lishers, 2002. (International Mathematical Series, 1). Пер. в кн.: Нелинейные
задачи математической физики и смежные вопросы. Т. 1: В честь академика
О. А. Ладыженской. Новосибирск, 2002).
7.
Пусть
u
0
:
M
2
→
R
––
гладкая
«
начальная
»
функция на римановом
многообразии
M
(случай двумерного диска уже является интересным).
Исследовать задачу
минимизации интеграла Дирихле
]
M
(
∇
u
)
2
dx
, где
функция
u
получается из начальной функции
u
0
диффеоморфизмом мно-
гообразия
M
на себя, сохраняющим объемы (
«
несжимаемым потоком
жидкости
»
).
Экстремальная функция
u
будет гладкой, если начальная гладкая
функция
u
0
:
B
2
→
R
горообразна, т. е. равна нулю на границе диска и
имеет всего лишь один невырожденный (морсовский) максимум внутри
диска. В этом случае экстремальная функция
u
является симметризацией
функции
u
0
(зависящей только от расстояния до центра диска).
Однако при гладкой начальной функции-горе
u
0
, имеющей (как гора
Эльбрус) два локальных максимума, разделенных седловой точкой, экс-
тремальная функция, видимо, имеет особенность типа
|
x
|
вдоль некоторой
кривой, причем особенности экстремальной функции на концах этой кри-
вой неизвестны. Задача состоит в том, чтобы изучить эти особенности в
случае произвольной начальной функции
u
0
.
Задача 7 связана с
уравнениями Эйлера стационарного состоя-
ния для двумерной несжимаемой гидродинамики и магнетогидро-
динамики
. В гладком случае эти уравнения выражают функциональную
зависимость между некоторой функцией
f
на
M
2
и ее лапласианом (
их
скобка Пуассона должна быть тождественно равна нулю
).
Задача состоит в том, чтобы расширить это уравнение на более широ-
кий класс функций. Данная задача является также упрощенным (двумер-
ным) вариантом трехмерной задачи Сахарова о
магнитном поле звезды,
обладающем минимальной энергией
(в трехмерном случае уравнения
94
i
i
i
i
i
i
i
i
Эйлера означают равенство нулю скобки Пуассона бездивиргентного век-
торного поля с его ротором). Более детальное изложение (а также ссылки
на мою работу 1974 г. по этому поводу) содержится в написанной мною
вместе с Б. А. Хесиным книге
«
Topological Methods in Hydrodynamics
»
(New York: Springer-Verlag, 1998. P. 69
––
81, 112
––
193. (Applied Mathe-
matical Sciences, 125)). Разница между гидродинамическим и магнитоги-
дродинамическим вариационными принципами состоит в том, что в одном
случае сохраняющим объемы диффеомерфизмом переносится (магнитное)
поле, а в другом
––
вихрь искомого поля (скоростей), энергия которого
минимизируется.
8.
(
C
,
B
,
A
)-
перестановка последовательности
{
1, 2, . . . ,
n
}
ставит
в конец подпоследовательность
A
=
{
1, 2, . . . ,
a
}
, перед ней ставит по-
следовательность
B
=
{
a
+
1, . . . ,
a
+
b
}
, а в начало
––
последовательность
C
=
{
a
+
b
+
1, . . . ,
n
}
.
Некоторые из этих (
n
−
1)(
n
−
2)
/
2 перестановок
циклические
(как
прибавление постоянной в вычетах по модулю
n
), а некоторые из цикли-
ческих перестановок
транзитивны
(как прибавление константы 1).
Найти долю циклических и транзитивных перестановок во всех
(
C
,
B
,
A
)
-перестановках при больших n.
Среди 45 (
C
,
B
,
A
)-перестановок для
n
=
11 имеется 22 циклические пе-
рестановки (все они транзитивны), а при меньших значениях
n
количества
циклических и транзитивных перестановок образуют странную немонотон-
ную последовательность.
Среди всех
n
! перестановок множества из
n
элементов транзитивные
перестановки являются малой долей (их (
n
−
1)!), а число всех циклических
перестановок, видимо, образует асимптотически ту же (1
/n
-ю) часть от
числа всех перестановок, что и число транзитивных циклических.
Таким образом, мы видим, что
в случае
(
C
,
B
,
A
)
-перестановок ста-
тистика совершенно другая, чем в случае всех перестановок
(можно
исследовать то же отличие и для других перестановок множества из не-
скольких букв, действующих на большем множестве
{
1, . . . ,
n
}
).
Все эти вопросы были поставлены на моем московском семинаре в
1958 г. в порядке упрощения задачи из теории динамических систем об
отображении, переставляющем блоки (задача о перекладывании отрезков).
Об этой задаче позже шла речь в моей большой статье 1963 г. по га-
мильтоновым системам (УМН, т. 18, № 6). Современное состояние этой
проблемы (особенно глубоко исследованной М. Концевичем и А. Зори-
чем) описано в недавней статье Зорича
«
How do the leaves of a closed
1-form wing around a surface?
»
в книге
«
Pseudoperiodic topology
»
(Eds.
V. I. Arnold, M. E. Kontsevich, A. V. Zorich. Amer. Math. Soc., 1999).
95