ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3450
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Концевич недавно заметил, комментируя новое издание книги
«
Пробле-
мы Арнольда
»
, что перестановки трех блоков всегда оказываются эквива-
лентны вращениям. Задача 8 требует определить, насколько
часты
контр-
примеры такой
«
эквивалентности
»
(существование таких контрпримеров
мне было, конечно же, известно еще в 1950-е гг., когда я придумывал
задачу о перекладывании отрезков).
9.
Отображение
C
n
→
C
n
(или
C
P
n
→
C
P
n
) называется
псевдоком-
плексным
, если оно
переводит комплексные подпространства в
комплексные подпространства
(можно отдельно рассматривать случаи
векторных, аффинных и проективных подпространств
––
все 3 случая
интересны).
Вещественный диффеоморфизм
C
P
2
→
C
P
2
является псевдокомплекс-
ным отображением тогда и только тогда, когда либо он представляет собой
комплексное проективное отображение, либо является композицией по-
следнего с комплексным сопряжением (аналогичное верно и для других
вариантов: векторного и аффинного).
Существуют ли другие псевдокомплексные гомеоморфизмы
?
Другие псевдокомплексные биекции
?
Эти вопросы должны были бы быть исследованы Гильбертом как часть
аксиоматического описания проективной геометрии, но, по-видимому, его
школа не обратила внимания на эти основополагающие проблемы.
10.
Чтобы сформулировать кватернионный аналог предыдущей задачи,
надо различать левые подпространства и правые подпространства. Я бы
предложил исследовать те отображения, которые переводят правые и ле-
вые подпространства в правые и левые подпространства (разрешая ото-
бражать левое на правое).
О вещественных гладких вариантах задач 9 и 10 можно прочитать в
двух моих статьях в журнале
«
Функциональный анализ и его приложения
»
.
2001. Т. 35, № 4, С. 1
––
7; Т. 36, № 1. С. 1
––
15 (первая статья называется
«
О комплексификации тетраэдра
»
, а вторая
–– «
О псевдокватернионной
геометрии
»
).
11.
Парадигма комлексификации и кватернионизации использовалась
мною много раз (см., например,
«
Polymathematics: is mathematics a single
science or a set of arts?
»
(Mathematics: Frontiers and Perspectives / Eds.
V. Arnold, M. F. Atiyah, P. Lax, B. Mazur. Amer. Math. Soc., 2000. P. 403
––
416) и мои
«
Симплектификации и комплексификации...
»
в
«
The Arnoldfest
»
(Amer. Math. Soc., 1999. P. 23
––
27. (Fields Inst. Communications, 24))).
Например, сейчас уже доказано, что
комплексным вариантом те-
траэдра является октаэдр
:
C
A
3
=
B
3
.
96
i
i
i
i
i
i
i
i
Теперь задачей является доказать мое старое предположение о том, что
их кватернионным вариантом является икосаэдр:
H
A
3
=
H
3
,
C
B
3
=
H
3
.
Быть может, стоит начать с рассмотрения более простого плоского случая:
C
A
2
=
B
2
,
H
A
2
=
H
2
,
C
B
2
=
H
2
,
связывающего группы симметрий треугольника, квадрата и пятиугольника.
Сложность этих утверждений в их нематематической природе:
зада-
ча скорее состоит в том, чтобы найти разумное определение
для
неформальной операции кватернионизации, чем в доказательстве готовых
математических утверждений.
12.
Каустикой периодической функции g
:
S
1
→
R
называется кри-
вая на плоскости
R
2
функций
G
A
,
B
:
S
1
→
R
,
G
A
,
B
(
'
)
=
g
(
'
)
+
A
cos
'
+
B
sin
'
,
состоящая из тех функций, которые не являются морсовскими:
(
A
,
B
)
∈
R
2
:
∃
'
:
G
′
A
,
B
(
'
)
=
G
′′
A
,
B
(
'
)
=
0
.
Каустики общих периодических функций имеют много интересных
свойств: например,
у каждой каустики по крайней мере четыре точки
возврата
и
ее альтернированная длина
(альтернированная сумма длин
ее интервалов между точками возврата)
равна нулю
.
Если у каустики
ровно четыре точки возврата, то они образуют параллелограмм
(в том случае, когда точек возврата больше чем четыре, центр тяжести
четных точек возврата совпадает с центром тяжести нечетных).
Задача заключается в том, чтобы заменить гладкую периодическую
функцию на точное лагранжево подмногообразие фазового цилиндра
T
∗
S
1
.
Подмногообразие, соответствующее функции,
––
это график ее диффе-
ренциала. Произвольное лагранжево подмногообразие не обязательно
является сечением кокасательного расслоения, а график соответствующего
«
многозначного потенциала
»
не обязательно должен быть иммерсиро-
ванной кривой: он может иметь точки возврата.
Интересно выяснить, что соответствует свойству каустик иметь четыре
точки возврата для точных лагранжевых подмногообразий, и чем окажется
теорема Штурма
–
–
Гурвица о нулях рядов Фурье
(являющаяся инфи-
нитезимальным аналогом теоремы о точках возврата каустик)
для таких
новых
«
многозначных периодических функций
»
.
97
i
i
i
i
i
i
i
i
Опыт предыдущих исследований показал, что следует расширить те-
орию Морса обычных функций до
теории пересечений лагранжевых
многообразий в симплектической топологии
(
«
Гипотезы Арнольда
»
1965 г., обобщающие
«
Последнюю теорему Пуанкаре
»
и явившиеся от-
правным моментом для создания гомологий Флоера и многих других вещей
в симплектической и контактной топологии).
Недавно Чеканов и Пушкарь использовали это обобщение для до-
казательства моей гипотезы 1993 г.
о существовании четырех точек
возврата при любом выворачивании волнового фронта
(V. Arnold.
Topological Invariants of Plane Curves and Caustics. Amer. Math. Soc., 1994.
P. 60. (University Lecture Series, vol. 8)). Однако мне неясно, достаточно ли
использовать их вариант контактных когомологий Чеканова для понимания
ситуации с каустиками точных лагранжевых подмногообразий (т. е. лежан-
дровых узлов, лежащих в многообразии 1-струй периодических функций).
13.
Обсуждавшаяся выше теория каустик периодических функций и
лагранжевых подмногообразий зависела от функций
x
=
cos
'
и
y
=
sin
'
,
определенных на окружности
x
2
+
y
2
=
1.
Заменяя окружность на дру-
гую кривую
, например на алгебраическую кривую
C
:
f
(
x
,
y
)
=
0, а
g
––
на функцию, являющуюся ограничением на
C
функции, определенной на
плоскости, например многочлена
P
(
x
,
y
), мы можем определить
C
-каусти-
ку (как кривую, состоящую из неморсовских ограничений функций вида
P
+
Ax
+
By
на
C
).
Теперь задача состоит в том, чтобы
обобщить теоремы Штурма
–
–
Гурвица о рядах Фурье
(обобщить в том смысле, который обсуждался в
задаче 12 и более детально в статье по астроидальной геометрии в
«
Успе-
хах математических наук
»
. 2001. Т. 35, вып. 6)
на случай C-каустик
,
построенных по кривым
C
, являющимся обобщением окружности, исполь-
зуемой в задаче 12.
Такие каустики являются алгебраическими кривыми (того же рода, что
и
C
). В случае задачи 12 они были, как и окружность, рациональными кри-
выми. Таким образом, каустики тригонометрических многочленов являются
уникурсальными кривыми, а их римановы поверхности
––
сферами.
Кроме того, каждой периодической функции из задачи 12 и каждому
P
в данном случае можно сопоставить
однопараметрическое семей-
ство
«
волновых фронтов
» ––
кривых, состоящих из тех точек плоскости
{
(
A
,
B
)
}
, для которых ограничение (
P
+
Ax
+
By
)
|
C
имеет фиксированное
критическое значение (которое является параметром семейства).
Эти фронты будут алгебраическими кривыми (того же рода, что и
C
),
т. е. рациональными в случае тригонометрических многочленов, как в за-
даче 12.
98
i
i
i
i
i
i
i
i
Вопросы о точках возврата, альтернированных длинах и т. д., поста-
вленные для
C
-каустик и
C
-фронтов алгебраической кривой
C
большего
рода, становятся особенно интересными в комплексном случае, поскольку
известно, например, что гладкие выпуклые кривые имеют четыре веще-
ственных точки возврата (для большего количества точек возврата надо
требовать некоторое обобщение выпуклости). Но даже в рациональном
случае и в случае вырожденной эллиптической кривой
y
2
=
x
3
+
x
2
суще-
ствуют интересные задачи, касающиеся точек возврата каустик и двойных
точек вырожденной кривой. С. Натанзоном были опубликованы некоторые
обобщения теоремы Штурма
––
Гурвица на случай больших родов. Однако я
не смог извлечь из них хоть какие-нибудь полезные знания о
C
-каустиках
и о
C
-фронтах для алгебраических кривых
C
более высокого рода.
14.
Исследовать
триангуляции тора T
2
, построенные по кубиче-
скому полю алгебраических чисел
(
с помощью многомерных цепных
дробей
). Построение начинается с матрицы
A
∈
SL(3,
Z
), имеющей три
различных положительных собственных значения. Три соответствующие
инвариантные плоскости делят
R
3
на 8 инвариантных октантов. В каждом
открытом октанте содержится полугруппа его целых точек. Граница вы-
пуклой оболочки этого множества (множества целых точек
{
Z
3
∩
октант
}
)
называется
парусом
. Парус инвариантен под действием
A
. Он являет-
ся (бесконечной) многогранной поверхностью, грани которой
––
выпуклые
компактные многоугольники. Дирихле и Цушиаши (Tohoku Math. J. 1983.
Vol. 35. P. 607
––
639) доказали, что парус инвариантен под действием ком-
мутативной подгруппы
Z
2
группы SL(3,
Z
), состоящей из матриц с теми же
инвариантными плоскостями, что и для
A
.
Тор, о котором идет речь в задаче 14, является факторпространством
T
2
=
(парус
A
)
/
Z
2
.
Он разбивается на образы граней паруса при отображении факторизации.
Образ каждой грани содержит некоторые
«
целые точки
»
(образы целых
точек грани). Итак, мы сопоставили каждой матрице
A
геометрический
объект: разбиение тора
T
2
на
«
выпуклые многоугольники
»
, содержащие
«
целые точки
»
.
Задача 14 заключается в том, чтобы понять,
какие разбиения T
2
(
и
какие множества
«
целых точек
»
)
могут быть получены из различ-
ных матриц A
и что в них зависит только от кубического поля.
Простейший пример дает матрица
«
кубического золотого сечения
»
A
=
0
@
3 2 1
2 2 1
1 1 1
1
A
99
i
i
i
i
i
i
i
i
(обыкновенное золотое сечение (
√
5
+
1)
/
2 является сдвинутым на 1 соб-
ственным значением матрицы
A
=
2 1
1 1
квадратичного золотого сечения).
Триангуляция тора, соответствующая матрице кубического золотого се-
чения, может быть описана как разбиение квадрата диагональю на два
треугольника (без выделенных внутренних точек). Самые простые триангу-
ляции были рассмотрены в статье Е. Коркиной в
«
Трудах Математического
института им. В. А. Стеклова
»
. 1995. Т. 209. С. 143
––
166.
Рассматривая одну за другой матрицы из SL(3,
R
), начиная с не очень
больших, можно получить некоторое представление о том,
какими явля-
ются все возникающие триангуляции и множества отмеченных то-
чек
. Можно также исследовать различные статистики для этих триангу-
ляций: отношения между количествами треугольников, четырехугольников,
пятиугольников и т. д., статистики количества соседних граней вершины,
числа сторон многоугольника из разбиения, чисел отмеченных точек на
сторонах и на вершинах, ...
Было бы интересно
сравнить эти статистики с соответству-
ющими статистиками для произвольно выбранного треугольного
конуса
(с вершиной в начале координат).
Можно было бы даже сравнить результаты с аналогичными статисти-
ками для границ выпуклых оболочек множеств, состоящих из целых точек,
лежащих в телах, ограниченных большими гладкими поверхностями. Дру-
гим интересным объектом для сравнения являются разбиения плоскости
на
области Вороного со случайно распределенными центрами обла-
стей
(область Вороного для дискретного множества центров, лежащих
на евклидовой плоскости, состоит из тех точек плоскости, для которых
данный центр является самым близким среди всех центров).
Изучая вышеописанные статистики, их следует сравнивать с распре-
делениями
«
площадей областей
»
,
«
периметров границ
»
,
«
длин сторон
»
,
«
чисел вершин
»
, а особенно с их совместным распределением, так как
последние отнюдь не являются независимыми.
Я бы даже предложил исследовать безразмерные характеристики, та-
кие как отношение
«
площадь/(квадрат периметра)
»
и
«
число вершин мно-
гоугольных областей
»
, чья корреляция также является интересной харак-
теристикой разбиения.
Считая средние величины, я бы скорее стал рассматривать более ста-
бильные
средние на единицу площади
, чем средние на одну область (где
вклад маленьких областей слишком велик из-за их большого числа).
100