Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

По обсуждавшейся выше теореме единственности,

время причалива-

ния будет бесконечным при любом таком механизме гладкой обрат-
ной связи

. Чтобы причалить за

конечное

время, нужно либо отказаться

от принципа регулирования (с гладкой обратной связью), заменив упра-
вление скоростью корабля работой матроса с чалкой, либо согласиться на

удар

корабля о причал в заключительной стадии причаливания (для чего и

обвешивают край пристани отслужившими автомобильными покрышками).

То, что все это никогда не обсуждается математиками ни в курсах

теории динамических систем и дифференциальных уравнений, ни в тео-
рии управления и оптимизации,

––

это, конечно, прискорбное последствие

длительного отрыва математиков от реального мира, от физики и техники,
в своеобразную башню из слоновой кости аксиоматической науки.

М. Л. Лидов понял все рассказанное не в рамках аксиоматизированной

науки (которую он прекрасно знал), а потому, что занимался расчетом
посадки космических кораблей на Луну, где встречается та же проблема,
что и с кораблями у пристани. Из-за работающей здесь против нас теоремы
единственности космические станции, спускаемые на Луну или планеты,
снабжены демпфирующими треногами с суставами, и некоторое время они
должны при посадке попрыгать на этих треногах, пока непогашенная энер-
гия не будет диссипирована в процессе изгибания колен ног треноги.

Не ограничиваясь одной критикой, приведу еще пример огромной поль-

зы четкого математического подхода к реальности из другой работы Ли-
дова.

Луна движется вокруг Земли по орбите, почти находящейся в плоско-

сти эклиптики (т. е. в плоскости орбиты Земли вокруг Солнца). Знаменитая

«

теорема Лапласа об устойчивости Солнечной системы

»

говорит,

что если наклонение орбиты Луны к плоскости эклиптики невелико, то,
несмотря на возмущающее влияние Солнца, лунная орбита будет лишь
слегка колебаться (отчего и происходят затмения), но не будет меняться
систематически (падать на Землю или уходить от нее).

Лидов поставил себе вопрос, что было бы, если бы первоначальная

орбита Луны была

сильно наклонена

к плоскости эклиптики

––

скажем,

образуя с ней угол в 80 градусов (оставаясь на нынешнем расстоянии от
Земли).

Конечно, настоящую Луну перегнать на такую орбиту невозможно. Но

искусственный спутник можно запустить и на такую орбиту, перпенди-
кулярную плоскости эклиптики. И вопрос об эволюции этой орбиты (под
влиянием притяжения Солнца)

––

вполне реальный для будущего спутника.

Результат Лидова оказался совершенно поразительным:

такая

«

псев-

долуна

»

свалилась бы на Землю уже через четыре

(

примерно

)

года

!

Так что запускать такой спутник не стоит.

6

i

i

i

i

i

i

i

i

Причиной падения оказывается не уменьшение радиуса орбиты (сред-

него расстояния спутника до центра Земли), а сжатие малой оси эллипса,
вдоль которого движется спутник, т. е. увеличение его эксцентриситета.
Даже если исходная орбита псевдолуны была с большой точностью кру-
говой, то возмущения быстро превратят ее в эллипс (с уменьшающейся со
временем малой осью). Хотя большая ось этого эллипса и сохраняет (как
указывал Лаплас) свою длину, равную диаметру невозмущенной орбиты
(т. е. диаметру орбиты настоящей Луны), увеличение эксцентриситета со
временем сделает этот узкий эллипс в конце концов похожим на всего
лишь (проходимый туда и обратно)

отрезок

.

Вследствие этой сильной эксцентричности орбиты псевдолуны

эта орбита начнет пересекать Землю

, так что такая псевдолуна упа-

дет на Землю, хотя

среднее

за период обращения ее расстояние от центра

Земли и останется равным такому же среднему для настоящей Луны (даже
и в самый момент падения).

Несколько слов о разнице взглядов физиков и математиков на характер

нашей общей науки. К концу второго тысячелетия нашей эры журнал

«

Успехи физических наук

»

выпустил юбилейный номер и заказал мне для

этого номера обзор

«

Математика и физика

»

(две другие математические

статьи в том же номере журнала написаны К. Вейерштрассом и К. Якоби).
Меня поразило то, что редакция выбросила из моей статьи два четких
доказательства резкого различия между подходами математиков и физиков
к понятию истины: одно из этих доказательств содержалось в эпиграфе,
бывшем цитатой из книги Э. Шрёдингера по статистической термодина-
мике, а другое

––

в задаче для дошкольников.

Вот эти, видимо непонятые редакцией, места. Эпиграфов у меня было

два: первый (сохранившийся)

––

высказывание Стендаля:

«

Из всех наук я

больше всего люблю математику, так как в этой науке совершенно
невозможно лицемерие, которое я больше всего ненавижу

»

. Видимо,

Стендалю нравилось то, что в математике, если уж однажды сосчитано,
что шестью семь

––

сорок два, то так оно и останется навсегда: истина

окончательна и неоспорима.

Шрёдингер же пишет:

«

Положим величину альфа равной нулю, хо-

тя, во-первых, альфа равной нулю быть не может, а во-вторых, ее
обращение в нуль противоречило бы основам квантовой механики

»

.

Видимо, физики предпочитают не афишировать столь явно свое постоян-
ное лицемерие, с его двусмысленностью терминологии и с внутренними
логическими противоречиями своих теорий.

Когда я пытался позже обсудить обнаружившиеся различия с главным

редактором журнала, академиком В. Л. Гинзбургом, он доказал мне, что

математики вообще ничего в физике понять не могут

, при помощи

7

i

i

i

i

i

i

i

i

формулы из своей статьи.

«

Вот,

––

сказал он,

––

что, по-Вашему, обозначают

эти символы?

»

Я думал, что понимаю, и сказал:

«

Индекс

i

встречается дважды: види-

мо, это означает суммирование, по соглашению Эйнштейна, так что речь
идет о положительно определенной форме

––

сумме квадратов

––

не знаю

только, скольких, ведь пределы изменения индекса не указаны

»

.

«

Итак,

––

обрадовался физик,

––

как и все математики, Вы ничего не

понимаете. Ведь буква

i

––

латинская

, а не греческая.

Значит

, значений

четыре: 0, 1, 2 и 3. Что же касается

суммирования

, то его тут вовсе и

нет: это обозначение релятивистское, поэтому один из квадратов берется

с другим знаком, чем остальные три

!

»

Мне так и не удалось убедить собеседника, что негоже обозначать

вычитание знаком сложения (и что ограничение

«

скорость не выше 60

»

бессмысленно, пока не объяснено, идет ли речь о километрах в час или же
о парсеках в секунду).

Но вот еще второй пример, показывающий кардинальное различие ма-

тематического и физического способов постановки и понимания задачи.

В моей статье было два образца (из старых учебников). Математиче-

ская задача:

«

На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина.

Страницы каждого тома составляют его толщину 2 см, а каждая
обложка добавляет еще по 2 мм. Червь прогрыз от первой стра-
ницы первого тома до последней страницы второго, по нормали к
страницам. Какое расстояние он прогрыз

?

»

У меня был указан и неожиданный ответ: 4 миллиметра. Редакция

исправила поэтому условие на

«

от

последней

страницы первого тома до

первой

второго

»

. Топологическое мышление

––

труднее, чем можно требо-

вать от редакции физического журнала. А любое неожиданное утверждение
редакторы всегда стараются заменить привычной себе тривиальностью,
хотя бы противоположной исходному утверждению.

Недавно (8 февраля 2002 г.) выпуск

«

Наука

»

газеты

«

Известия

»

за-

менил в моей статье о проекте реформы школьного образования мои сло-
ва

«

план состоит в том, чтобы

отменить

обучение всем практическим

знаниям и предметам

»

на более привычную редактору формулу:

«

план

состоит в том, чтобы

отдать предпочтение

фактическим знаниям и

предметам

»

.

Возвращаясь к непонимаемым редакцией задачам, упомяну

––

замеча-

тельную

––

задачу физического стиля из старого учебника арифметики.

«

Гребец плыл на лодке вверх по Неве. Под Троицким мостом у

него сшибло шляпу, Поднявшись до Литейного моста, он встретил
друга, который ему на это указал. Тогда гребец поплыл вниз, вслед
за шляпой

(

с такой же, как прежде, скоростью относительно воды

)

,

8

i

i

i

i

i

i

i

i

и догнал ее через 20 минут, под Дворцовым мостом. Определите
скорость течения Невы

»

.

Математику

ясно, что эта задача неразрешима. Но составители были

лицемерами (или физиками?). Они решали ее так:

«

согласно принципу

относительности Галилея, гребец отплывал от шляпы вверх и догонял ее
вниз одинаковое время

––

те же 20 минут. Значит, шляпа проплыла от

Троицкого моста до Дворцового за 40 минут. А

так как

расстояние между

этими мостами составляет одну милю, то...

»

.

Все физические задачники и учебники построены по этому образцу: не-

явно предполагаются известными какие-то расстояния между мостами или
иные обстоятельства, о которых

«

нет нужды

»

говорить (это всегда напо-

минает мне старую статью в ДАН СССР

«

О фонтанирующей деятельности

китов

»

, в которой участвовала, при вычислении цилиндрического объема

кита, формула, содержащая величину

«

пи

» –– «

константу, которая для

гренландских китов равна трем

»

).

Математическая строгость часто оказывается труднопреодолимым пре-

пятствием даже и для хороших математиков. Следующий пример заимство-
ван из замечательной классической книги Р. Куранта и Г. Роббинса

«

Что

такое математика?

»

(недавно переизданной на русском языке).

Речь идет о применении топологии. Пусть на катящейся по горизон-

тальному рельсовому пути платформе установлена перпендикулярно рель-
сам закрепленная горизонтальная ось, над которой возвышается способ-
ный вращаться вокруг этой оси

«

перевернутый маятник

»

(стержень).

Утверждается, что

каков бы ни был заданный закон движения

платформы

(

в течение промежутка времени от нуля до единицы

)

,

начальное положение

«

маятника

»

можно выбрать так, что он в

конечный момент времени не будет горизонтален

(Хасслер Уитни).

Авторы доказывают это так. Если исходное положение маятника

––

горизонтально лежачее, вперед по ходу, то таким оно и останется. Если
же исходное положение

––

горизонтально лежачее, но назад по ходу, то и

это сохранится.

Рассмотрим теперь произвольное начальное положение. Конечное по-

ложение определяется начальным. Эта непрерывная функция принимает
оба значения

«

вперед

»

и

«

назад

»

. По теореме топологии она принимает и

промежуточные значения, что и требовалось доказать.

Некоторое время назад мне передали просьбу от проф. Роббинса (Ку-

рант к тому времени уже умер) постараться исправить это

«

ошибочное

доказательство

»

. Дело в том, что никакой непрерывной функции

«

конечное

состояние при данном начальном состоянии

»

тут сразу не видно: ее нужно

еще точно определить (с каким-то учетом влияния возможных ударов о
платформу), и нужно

доказать

ее непрерывность. Я слышал, что амери-

9

i

i

i

i

i

i

i

i

канские математики, пытавшиеся всё это сделать, написали (неизвестное
мне) сочинение с ошибочными промежуточными утверждениями и дока-
зательствами, так что вопрос о

«

маятнике

»

и сегодня, видимо, остается

открытым

1

.

Обсуждая однажды вопрос о происхождении математики на заседании

Французского математического общества, я сказал, что

математика

–

–

это часть физики, являющаяся, как и физика, экспериментальной
наукой

: разница только в том, что в физике эксперименты стоят обычно

миллионы долларов, а в математике

––

единицы рублей.

Один крупнейший французский математик написал мне в ответ письмо,

где сказал, что, по его мнению,

математика

, напротив,

не имеет с

физикой ничего общего

. Он добавил, что нам, математикам, не следует

публиковать этих мнений, так как

«

в такой публикации даже самый

лучший математик способен сказать совершеннейшую чушь

»

.

Я не сомневаюсь, что

«

самым лучшим

»

он называл себя, так что расце-

ниваю это письмо как

бумеранг

: смертоносное оружие, поражающее если

не цель, то охотника.

Через некоторое время на одном официальном обсуждении проблем

образования в Москве выступил академик Д. В. Аносов со следующей

«

критикой Арнольда

»

. Арнольд опубликовал (и это правда) в одной сво-

ей статье (

«

Полиматематика: является ли математика единой наукой или

набором искусств и ремесел

»

в выпущенной Международным математи-

ческим союзом к 2000 г. книге

«

Математика, ее границы и перспективы

»

(под редакцией В. Арнольда, М. Атьи, П. Лакса и Б. Мазура) сравне-
ние высказываний двух крупнейших алгебраистов. Гильберт (в 1930 г., в
статье

«

Математика и естествознание

»

) пишет, что

«

геометрия

–

–

часть

физики

»

. А цитированный выше французский математик утверждает, что

«

у математики и физики нет ничего общего

»

.

Из этих двух утверждений Арнольд (заявил докладчик) усмотрел про-

тиворечие. Но это

––

потому что

«

Арнольд, в силу своих интеллектуальных

недостатков, либо не читал, либо не понял Аристотеля

»

. Для тех же, кто,

подобно мне (продолжал Аносов) читал и понял Аристотеля, противо-
речия тут нет, зато есть вывод:

«

у математики нет ничего общего

с геометрией

»

.

«

И потому,

––

заключил свою речь академик Аносов

––

я предлагаю

из всех математических курсов

(будь то в Универси-

тете, в Средней Школе или в Детском Саду)

геометрию полностью

исключить

»

.

1

Дискуссия об этой задаче Х. Уитни опубликована: B. E. Blank. Book review: What is

mathematics? // Notices of the Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 48, № 11. P. 1325

––

1329; L. Gillman.

Book reveiw: What is mathematics? // Amer. Math. Monthly. 1998. Vol. 105, №5. P. 485

––

488;

J. E. Littlewood. Littlewood’s miscellany. Cambridge Univ. Press, 1986. P. 32

––

35.

10