Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

В. И. Арнольд

Что такое математика?

Москва

Издательство МЦНМО

2008

i

i

i

i

i

i

i

i

УДК 51(07)
ББК 22.1

А84

Арнольд В. И.

А84

Что такое математика?

––

2-е изд., стереотип.

––

М.: МЦНМО,

2008.

––

104 с.

ISBN 978-5-94057-426-2

Первое издание книги вышло в 2002 г.

ББК 22.1

Владимир Игоревич Арнольд

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

Подписано к печати 10.10.2008 г. Формат 60

×

90

/

16. Печать офсетная.

Объем 6,5 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ №

.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241

––

74

––

83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО

«

Типография

”

Сарма

“»

.

ISBN 978-5-94057-426-2

c

Арнольд В. И., 2002

c

МЦНМО, 2002

i

i

i

i

i

i

i

i

Вопрос о том, является ли математика

«

перечислением следствий из

произвольных аксиом

»

или же ветвью естествознания и теоретической

физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося,
вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре
(основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динами-
ческих систем).

Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показыва-

ющих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоис-
пытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и
пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория
управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности
других.

Исходным пунктом для меня послужила дискуссия между Я. Б. Зель-

довичем и Л. С. Понтрягиным о преподавании математики и сообщение
лунного баллистика М. Л. Лидова о невозможности плавного причалива-
ния корабля к пристани

––

с одной стороны, а с другой

––

ошибки в книгах

Р. Куранта и Г. Роббинса

«

Что такое математика?

»

и И. М. Гельфанда,

Е. Г. Глаголевой и Э. Э. Шноля

«

Функции и графики

»

.

Считая, что ошибки составляют не менее важную часть математики,

чем доказательства, я надеюсь рассказать также о причинах невозможно-
сти обойтись при геометрических построениях одной линейкой без циркуля,
о малоизвестных взаимоотношениях Лобачевского и Евклида с постулатом
о параллельных, о связи теоремы Абеля (о неразрешимости общего урав-
нения пятой степени в радикалах) с топологией римановых поверхностей
и с его же теорией интегрирования в элементарных функциях, а также о
математических открытиях Плутарха и А. Д. Сахарова.

В 1949 г. математику в СССР хотели уничтожить, вероятно, вследствие

распространения мнения (Г. Харди, идеи которого впоследствии развил
Ю. Манин, и других

«

математиков

»

), будто основным достоинством мате-

матики является ее

«

полная бесполезность

»

. Огорчительно, конечно, что

с этим снобистским мнением еще приходится бороться и сегодня, но я
надеюсь ему, по мере сил, противостоять (см. ниже § 2 о мракобесии в
математике).

3

i

i

i

i

i

i

i

i

§ 1. Математика и физика

Слово

«

математика

»

означает

«

точное знание

»

. Варварские народы,

не склонные к таковому, не имели и соответствующего слова в языке,
поэтому сейчас почти во всех языках используется непонятный греческий
термин. Исключение составляет лишь голландский язык, где Стевин уже
в XVII в. боролся с засорением терминологии иноязычными

«

сайтами

»

и

«

файлами

»

,

«

баксами

»

и

«

киллерами

»

, и настаивал на переводе всех тер-

минов словами родного языка, так что их термин

–– «

вискунде

»

,

«

знание

»

,

приближает уже для детей математику к реальному миру.

Когда Я. Б. Зельдович, замечательный физик-теоретик и один из

основателей российской ядерной мощи, выпустил в свет свою

«

Выс-

шую математику для начинающих физиков и техников

»

, она вы-

звала страшный гнев тогдашнего цензора математической литературы,
академика-математика Л. С. Понтрягина.

Он справедливо указал, что Зельдович определял в своей книге произ-

водную функции как

«

величину

отношения приращения функции к при-

ращению аргумента, в предположении, что последнее мало

»

.

Математик был возмущен полным исключением здесь понятий теории

пределов, а тем самым и значительной части логического обоснования
математического анализа, достигшего совершенства лишь к концу девят-
надцатого века, с созданием последовательной теории математического
континуума действительных чисел.

Зельдович ответил так: интересует нас всегда именно отношение

конечных

приращений, а вовсе не какой-то абстрактно-математический

предел.

Делать приращение аргумента

––

скажем, координаты точки или мо-

мента времени

––

меньшим, чем, скажем, 10

−

10

или 10

−

30

(при разумных

единицах измерения),

––

это

«

явное превышение точности модели, так как

структура физического пространства

(

или времени

)

на столь ма-

лых интервалах уже вовсе не соответствует математической мо-
дели теории вещественных чисел

(

вследствие квантовых феноме-

нов

)

»

.

«

Дело,

––

продолжал Зельдович,

––

просто в том, что находить ин-

тересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и
придуманы приближенные

асимптотические формулы

для них. Эти-то

4

i

i

i

i

i

i

i

i

приближенные формулы математики и называют своими пределами и
математическими производными. В любом реальном применении теории
следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы
результаты теории соответствовали эксперименту

»

.

Длительная дискуссия закончилась тем, что Понтрягин написал свой

учебник начал анализа. Он указал уже во введении к нему, что

неко-

торые физики считают возможным изучать и применять анализ,
не восходя до его полного логического обоснования, и что

«

автор

настоящего учебника... с ними согласен

»

.

Прочитав эти строки, Зельдович сказал мне:

«

В таких случаях

цити-

руют

, c указанием

имени

, а так это

––

прямо

плагиат

!

»

Эта дискуссия о математической строгости оснований науки вспомни-

лась мне, когда мой близкий друг, занимавшийся рассчитыванием траекто-
рий спутников и космических кораблей, М. Л. Лидов, стал спорить со мной
по поводу моего курса теории дифференциальных уравнений (он читал в
МГУ в это же время лекции о спутниковой баллистике, и мы нередко
обсуждали с ним то и другое, особенно потому, что я тогда тоже много
занимался небесной механикой),

«

Как и все математики,

––

сказал мне Миша,

––

ты учишь студентов

теореме единственности, согласно которой

интегральные кривые обык-

новенных дифференциальных уравнений не пересекаются

. Но это

утверждение (хотя вы его и доказываете безукоризненно правильно) со-
вершенно неверно. Например, уравнение

dx/dt

=

−

x

имеет решения

x

=

0

и

x

=

e

−

t

. Интегральные кривые

––

графики этих двух решений

––

любой

компьютер прекрасно нарисует, и ты увидишь, что они совершенно явно
пересекаются.

Ибо, например, при

t

=

10 между этими двумя интегральными кривыми

не просунешь и атома. Так что

теорема единственности

–

–

это мате-

матическая фикция, имеющая мало отношения к реальному миру

»

.

После этого собеседник объяснил мне, что именно из-за описанного

эффекта при каждом причаливании корабля к пристани в последний мо-
мент матрос бросает на пристань чалку, которую там быстро наматывают
на кнехт (часто это делает, спрыгнув на пристань, тот же матрос), по-
сле чего

заключительная часть причаливания происходит вручную

,

путем вытягивания чалки.

Объясняется все это так. Автоматическое причаливание, в соответ-

ствии с общими принципами теории управления, основано на

обратной

связи

: наблюдая оставшееся до причала расстояние

x

, управление выби-

рают так, чтобы скорость причаливания плавно уменьшать до нуля (как
функцию от

x

). Естественно, эта функция

––

гладкая, т. е. при малых рас-

стояниях

x

скорость будет убывать с

x

приблизительно линейно.

5