ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4920
Скачиваний: 5
Підручник
для загальноосвітніх
навчальних закладів
Р і в е н ь с т а н д а р т у
Рекомендовано Міністерством
освіти і науки України
К иїв
«Генеза»
2010
Г.П. БЕВЗ, В.Г. БЕВЗ
3
Пе ред мо ва
На у ку ма те ма ти ку мож на розг ля да ти з різних то чок зо ру.
Одні ба чать у ній на сам пе ред своє рід ний інстру мент для на у -
ковців, інже нерів і тех ні ків. Бо за допомогою математичного
моделювання можна порівняно легко і швидко розв’язувати
дуже важливі прикладні проблеми, які іншими методами
розв’язувати надто дорого або неможливо. Ось що го во ри ли про
ма те ма ти ку відомі лю ди:
«У вив чен ня при ро ди ма те ма ти ка робить най біль ший вне -
сок»
(Прокл, V ст.).
«Той, хто не знає ма те ма ти ки
...
не мо же пізна ти світ»
(Р. Бе кон, XIII ст.).
«Лю ди, які зас воїли ве ликі прин ци пи ма те ма ти ки, ма ють
на один ор ган чут тя біль ше, ніж прості смертні»
(Ч. Дарвін,
ХІХ ст.).
Ма те ма ти ка не тіль ки ко рис ний інстру мент чи засіб, а й
знач на час ти на за галь но людсь кої куль ту ри. Як що істо рик опи -
сує тіль ки війни і ре во люції, діяльність царів, пол ко водців і
митців, йо го іс то рія непов на, од нобічна. Ноmо sаріеns – лю ди -
на мис ля ча. То му історія людства пе ре дусім має місти ти опи си
діяль ності кра щих мис ли телів, зок ре ма й ма те ма тиків. Чи ві до-
ме вам найбіль ше відкрит тя XVII ст.? Во но сто суєть ся ма те ма -
ти ки. А чи мо же істо рик об ми на ти най важ ливіші від крит тя?
Які найістотніші зміни відбу ли ся в другій по ло вині XX ст.?
Ство рен ня швид кодію чих елект рон них об чис лю валь них ма -
шин (ЕОМ), а на їх ос нові – комп’ютерів. Комп’юте ри зація на -
у ки і ви роб ни цт ва без пе реч но вно сить у роз ви ток людства
зміни на ба га то важ ливіші й ва гоміші, ніж зміни урядів, ло -
кальні війни і будь9що інше. Щоб пра виль но опи са ти цю епо ху,
істо рик має ска за ти про ство рен ня ЕОМ і комп’ютерів, а для
ць о го він по ви нен хоч тро хи зна ти історію ма те ма ти ки.
Дех то з учнів го во рить: «Мені не потрібна ма те ма ти ка, бо я
не зби ра ю ся бути ма те ма ти ком». Подібна ар гу мен тація анітро -
хи не кра ща та кої: «Мені не потрібен ав то мобіль, бо я не зби ра -
ю ся бути шо фе ром».
Ма те ма ти ка – це своєрідна мо ва, засіб спілку ван ня. Чи ж
мо же філо лог ефек тив но досліджу ва ти різні мо ви, не ма ю чи
уяв лен ня про су час ну ма те ма тич ну мо ву та її історію?
Ма те ма ти ка – ос но ва ба гать ох на ук, по чи на ю чи від філо со фії
й аж до кос мо гонії. А ще во на – логічний тренінг мис ли тель ної
діяль ності для фахівців з будь9якої га лузі знань. Не ви пад ко во
ба га то ма те ма тиків доб ре ви я ви ли се бе і в інших га лу зях. На -
п рик лад, Піфа гор, Р. Де карт, Б. Пас каль – філо со фи, О. Хайям –
по
ет, П. Фер
ма – юрист, І. Кеп
лер – бо
гос
лов, Г. Лейбніц –
4
магістр філо софії, док тор пра ва, юрист, дип ло мат. Цей спи сок
мож на про дов жу ва ти.
Справжній ма те ма тик має не тіль ки на один «ор ган чут тя»
біль
ше від зви
чай
ної лю
ди
ни, він має та
кож знач
но біль
ше
«сту пенів сво бо ди». З три вимірно го прос то ру йо му зовсім не
важ ко пе рей ти в чо ти ри вимірний чи в будь9який
n
9ви мір ний
або в простір Ба на ха, Гіль бер та, Клей на то що. А кож ний із цих
прос торів – див ний своє рід ний світ, ба гат ший і корисніший від
світів, ви га да них фан тас та ми. Ма те ма ти ка та її історія настіль ки
ба гаті, що справжній філо соф, істо рик, будь9який гу манітарій
у них мо же знай ти чи ма ло ціка во го й ко рис но го.
У ць о му підруч ни ку про по нуєть ся інтег ро ва ний курс ма те -
ма ти ки. До нь о го вхо дять най важ ливіші те ми з ариф ме ти ки,
ал геб ри, по чатків аналізу та з ге о метрії.
Ок ремі те ми ви вже знаєте з по пе редніх класів, а більшість –
зовсім нові. На ма гай те ся опа ну ва ти їх. Чи та ю чи те орію, ос нов -
ну ува гу звер тай те на сло ва, над ру ко вані кур си вом і жир ним
шриф том.
Кур си вом
виділе но терміни, наз ви по нять.
Жир ним
шриф том
над ру ко ва но важ ливі тверд жен ня, те о ре ми.
Зна ти ма те ма ти ку – це на сам пе ред уміти ко рис ту ва тися
нею. Учи ти ся ко рис ту ва ти ся ма те ма тич ни ми знан ня ми най -
к ра ще під час розв’язу ван ня за дач. У підруч ни ку є за дачі до
кож ної те ми, до кож но го па раг ра фа – різних рівнів склад ності.
За дачі і впра ви в підруч ни ку поділе но на:
«Ви ко най те ус9
но», рівень А, рівень Б і
«Вправи для пов то рен ня». Зав дан -
ня, ре ко мен до вані для до машньої ро бо ти, виділено коль о ром.
У кожно му па раг рафі підруч ни ка є руб ри ка
«Ви ко наємо ра -
зом», у якій подано за дачі з розв’язан нями. Ра ди мо перег ля ну ти
їх, перш ніж ви ко ну ва ти до машнє зав дан ня.
Цікаві до пов нен ня до ос нов но го ма теріалу містять ся в руб -
ри ках «Істо ричні відо мості».
Для уза галь нен ня і сис те ма ти зації вив че но го ма теріалу
призначено рубрики «Го лов не в розділі» і
«Са мостійна ро -
бо та».
У до дат ках для тих, хто хо че дізна ти ся біль ше, про по ну ють -
ся те ми для робіт твор чо го ха рак те ру і спи сок відповідної літе -
ра ту ри.
Ма те ма ти ку мож на порівня ти з ве ли ким і бар вистим
квітни ком, у яко му ко жен мо же дібра ти собі бу кет за сма ком.
Зро зуміло, щоб зро би ти це, спер шу тре ба ввійти в цей квітник.
Лас ка во про си мо!
Ав тори
Математика —
це гімнастика
розуму і підготовка
до філософії.
Ісократ (IV ст. до н. е.)
6
Важ ли ву роль у ма те ма тиці відігра ють чис ла. Найп ростіші з
них –
на ту ральні чис ла
1, 2, 3, 4, 5, ..., які ви ко рис то ву ють під
час лічби. Во ни бу ли відомі ще в доісто ричні ча си. Зро зуміло,
що на зи ва ли і за пи су ва ли їх раніше не так, як те пер.
Не слід ото тож ню ва ти чис ла із циф ра ми. Ц и ф р и – це знач -
ки, яки ми поз на ча ють чис ла. На ту раль них чи сел існує безліч,
а цифр – тіль ки де сять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такі циф ри на -
зи ва ють арабсь ки ми або індійсь ки ми. Іноді чис ла поз на ча ють
та кож римсь ки ми циф ра ми І, V, X, L, С, D, М, які відповіда ють
чис лам 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000. Нап рик лад, чис ло 1998
римсь ки ми циф ра ми за пи суєть ся так: МСМХСVIII. Як що ти -
сяч ба га то, їх відок рем лю ють від оди ниць літерою
m
. За пис
XXVII
m
ССLХХХІV оз на чає чис ло 27 284.
Існу
ють спеціальні поз
на
чен
ня чи
сел в аз
буці Мор
зе. А в
рельєфно9точ ко во му шрифті Брай ля циф ри поз на ча ють різни -
ми конфігу раціями то чок (мал. 1).
Зга даємо, як на зи ва ють і поз на ча ють ве ликі чис ла:
міль ярд – 1 000 000 000
=
10
9
;
трильйон – 1 000 000 000 000
=
10
12
;
квад рильйон – 1 000 000 000 000 000
=
10
15
;
квінтильйон – 1 000 000 000 000 000 000
=
10
18
.
У різних країнах ве
ликі чис
ла на
зи
ва
ють по9різно
му.
Наприк
лад, трильйо
ном у США, Франції на
зи
ва
ють чис
ло
10
12
, а в Англії, Німеч
чині 10
18
. Ми сло
ва
ми «міль
ярд» і
«більйон» на зи ваємо од не й те са ме чис ло 10
9
, а в Німеч чині
більйо ном прий ня то на зи ва ти чис ло 10
12
. Вар то звер ну ти ува гу
та
кож на те, що ми чис
ло 0 не вва
жаємо на
ту
раль
ним, а в
Італії, Франції та де я ких інших країнах 0 відно сять до на ту -
раль них чи сел.
§ 1. Дійсні числа
Мал. 1