ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4939
Скачиваний: 5
2.
Спростіть ви раз:
а) (1 – cos
2
α
)(1 + ctg
2
α
); б) cos 3
x
+ cos
x
.
3.
Об числіть cos
x
, tg
x
, ctg
x
, як що sin
x
=
,
<
x
< 2
π
.
4.
По бу дуй те графік функції
у
=
sin
x
. Ус та новіть за до помо?
гою графіка, скіль ки ко ренів має рівнян ня sin
x
=
на про між -
ку [–
π
;
π
]? А на проміжку [–
π
; 2
π
]?
Термін «три го но мет ричні функції» впер ше з’явив ся тіль ки
нап рикінці XVIII ст. Але са ме по нят тя під інши ми наз ва ми бу ло
відо ме на ба га то раніше. Давнь ог рець кий ма те ма тик і аст ро ном
Гіппарх ще в II ст. до н. е. склав таб лиці, за до по могою яких
виз на чив відстань від Землі до Міся ця, розв’язав ба га то інших
подібних за дач. Такі за дачі розв’язу ва ли та кож Ме не лай (І–II ст.),
К. Пто ле мей (II ст.) та інші вчені. Щоп рав да, в ті да лекі ча си
во ни ко рис ту ва ли ся не таб ли ця ми си нусів, а до сить схо жи ми
на них таб ли ця ми хорд, у яких кожній мірі цент раль но го ку та
α
при пев но му радіусі ко ла ста ви лась у відповідність дов жи на
хор ди (мал. 100,
а
).
Те о ре ми до да ван ня (для хорд) бу ли відомі ще К. Пто ле мею,
ви користо ву вав він і співвідно шен ня, що відповідає су часній
то тож ності
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
147
Гра дус на
міра ку та
45
°
120
°
Радіан на
міра ку та
0
2
π
В а р і а н т 2
1.
За повніть таб ли цю.
Мал. 100
а)
б)
Індійсь кий уче ний Аріаб ха та в VI ст. пер ший пе рей шов від
хорд до си нусів. Він мірі ку та
α
ста вив у відповідність дов жи ну
по ло ви ни хор ди
АВ
(мал. 100,
б
), на зи ва ю чи її сло вом «ард хад -
жи ва» (по ло ви на тя ти ви лу ка). Зго дом цю наз ву ско ро ти ли до
«джи ва», а пе рек ла да ю чи спо чат ку арабсь кою, потім ла тинсь -
кою мо вою, в Європі її заміни ли на «си нус» (лат. sinus – ви гин,
кри виз на).
Сло во «ко си нус» ви ник ло в ре зуль таті ско ро чен ня ла тинсь ко -
го соmрlеmеntі sin us – до пов няль ний си нус. В Європі по нят тя
тан ген са з’яви ло ся тіль ки в XVI ст. Наз ва по хо дить від ла -
тинсь ко го tangens – той, що до ти каєть ся, оскіль ки лінія тан -
генсів до тич на до ко ла.
Тригонометрія
створювалася
в
працях
математиків
Близького і Середнього Сходу IX–XIII ст. Найбільш ранніми
були трактати видатних учених Мухаммеда ібн Муси аль-
Хорезмі і Ахмада ібн Абдаллаха аль-Марвазі, які довгий час
працювали в Будинку мудрості в Багдаді.
Виходець із Узбекистану (м. Хорезмі) Мухаммед аль-
Хорезмі (IX ст.) уперше склав таблиці синусів.
Виходець із Туркмени
стану (м. Мерв) Ахмад аль-Марвазі
(764–874) увів поняття тангенса і котангенса (для прямокут-
них трикутників) і склав таблиці цих функцій. За надзвичайні
здібності до обчислень його називали Хабаш аль-Хасиб (обчис-
лювач).
Удосконалив обчислювальні прийоми для тригонометрії і
астрономії іранський математик, виходець із Хорасану Мо
-
хаммед бен Мохаммед Абу?л?Ва фа (940–998). Він склав точні-
ші від попередників таблиці синусів і тангенсів, довів теорему
синусів, а також вивів фор му лу sin
α =
2sin
соs
. Фор му ли
тан ген са подвійно го ку та ви ве ли кіль ка євро пейсь ких ма те ма -
тиків ХVII ст.
Особ ли ве місце в історії роз вит ку три го но метрії зай має твір
се реднь о азійсь ко го вче но го Абу Рай ха на Аль?Біруні (973–
1048) «Ка нон Мас’уда». У третій книзі ць о го тво ру три го но -
метрія впер ше вик ла де на як са мостійна на у ка. Біруні не ли ше
уза галь нив ре зуль та ти, от ри мані по пе ред ни ка ми, а й суттєво
до пов нив їх та вик лав у виг ляді струн кої те орії. Важ ли ве зна -
чен ня для по даль шо го роз вит ку три го но метрії ма ло но вов ве -
ден ня, зроб ле не Біруні: він зап ро по ну вав розг ля да ти три го но -
метрію на оди нич но му колі. У ць о му ви пад ку всі об чис лен ня
знач но спро щу ють ся.
Крім си ну са, ко си ну са, тан ген са і ко тан ген са, раніше роз?
г ля да ли та кож се канс, ко се канс і си нус?вер зус
Ðîçäië
2
148
АБУ РАЙХАН АЛЬ-БІРУНІ
(973–1048)
Вчений енциклопедист. Один з найвидатні
-
ших мислителей середньовіччя. Народився в
м. Хорезмі. Писав арабською мовою. Працю -
вав у галузі математики, хронології, географії,
геології, геодезії, астрономії, фізики, ботаніки,
мінералогії, етнографії, історії. У математиці
займався питаннями арифметики, алгебри,
геометрії, тригонометрії, теорії чисел, при
-
кладними задачами.
РЕГІОМОН ТАН
(1436–1476)
Німець кий ма те ма тик і аст ро ном (справжнє
ім’я – Йо ганн Мюл лер). 1461 р. на пи сав пра цю
«П’ять книг про три кут ни ки всіх видів», яка за -
по чат ку ва ла три го но метрію як са мостійну на у -
ку. У ній си нус, ко си нус і тан генс розг ля да ли ся
тіль ки у зв’яз ку з розв’язу ван ням три кут ників,
су час них сим волічних поз на чень не бу ло.
Склав се миз начні таб лиці си нусів і тан ген сів.
Брав участь у вдос ко на ленні ка лен да ря.
Те пер ви користо ву ва ти ці
функції не прий ня то.
Зго дом знач но го по ши рен ня на бу ла книж ка М. Ко пер ни ка
(1473–1543) «На у ка про розв’язу ван ня три кутників». Ко рис -
ту ю чись нею, в XVI–XVIII ст. вив ча ли три го нометрію й у шко -
лах Га ли чи ни.
Про періодичність си ну са і ко си ну са знав і Ф. Вієт.
Термін «три го но метрія» з’явив ся впер ше в кінці XVI ст. і оз -
на чав «вимірю ван ня три кут ників». У ті ча си розв’язу ва ти три -
кут ни ки час то до во ди ло ся мо реп лав цям, ге о де зис там, аст ро но -
мам, ге ог ра фам та ба гать ом іншим фахівцям.
Пер ший графік функції си нус по бу ду вав Д. Валліс для двох
обертів, за у ва жив ши, що та ких обертів мо же бу ти ба га то. Він
бу ду вав та кож графік се кан са, але неп ра виль но. Перші гра -
фіки функцій ко си нус і тан генс для кутів пер шої чверті бу ду -
вав англійсь кий ма те ма тик І. Бар роу (1630–1677), учитель
І. Нь ю то на.
ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ
149
Ма те ма тичні сим во ли вхо ди ли пос ту по во, різні в різних ав то?
рів. Нап рик лад, те перішню рівність sin
α =
ан глій сь -
кий ма те ма тик Д. Валліс (1616–1703) за пи су вав так:
S
=
V
: 1 –
∑
2
.
До речі, він пер ший розібрав ся в зна ках си ну са в усіх чо тирь ох
чвер тях.
Для роз вит ку три го но метрії ба га то зро бив Л. Ей лер (1734–
1800). До нь
о
го під си
ну
сом, ко
си
ну
сом і т. ін. ро
зуміли не
абстрактні чис ла, а дов жи ни відрізків і пов’язу ва ли їх тіль ки
ВІЄТ ФРАН СУА
(1540–1603)
Фран цузь кий ма те ма тик, «бать ко ал гебри»
(за освітою юрист). Поз
на
чав літе
ра
ми не
тіль ки невідомі, а й ко ефіцієнти рівнянь, роз -
ро бив ос но ви те орії ал геб раїчних рівнянь.
Довів важ ливі три го но мет ричні фор му ли,
зо к ре ма такі, що да ють мож ливість роз -
клада ти sin
nx
і соs
nx
за сте пе ня ми sin
x
і
соs
x
. Розглянув усі випадки розв’язу
ван
ня
три кут ників за трь о ма да ни ми еле мен та ми. У
книзі «Ма те ма тич ний ка нон» (1579) дав таб -
лиці зна чень функцій sin
x
, соs
x
, tg
x
, ctg
x
, sec
x
, cosec
x
.
Роз га дав сек рет ний шифр, яким ко рис тува ли ся іспанці, ве ду чи
війну з Францією. Був пер шим рад ни ком ко ро ля.
МИ КО ЛА АНДРІЙО ВИЧ ЧАЙ КОВСЬ КИЙ
(1887–1970)
Ук раїнсь кий ма те ма тикOпе да гог, один з твор -
ців ук раїнсь кої ма те ма тич ної терміно логії.
На ро див ся в м. Бе ре жа ни Тер нопільсь кої об -
ласті. На у кові досліджен ня сто су ють ся те орії
рівнянь, конічних пе
рерізів та конг
ру
енцій.
Знач ний вне сок зро бив у спра ву ство рен ня
ук раїнсь кої ма те ма тич ної терміно логії та
впо ряд ку ван ня ук раїнсь кої ма те ма тич ної
бібліо г рафії. Зай мав ся по пу ля ри зацією ма -
те ма ти ки та її історії на сторінках ук раїнсь ких
жур налів. З 1913 р. дійсний член НТШ (На у -
ко во го то ва ри ст во імені Шев чен ка, яке довгі ро ки ви ко ну ва ло по -
чес ну роль Все ук раїнсь кої ака демії на ук). Автор шкільних під руч -
ників «Три
го
но
метрія» (1921) та «Ал
геб
ра» (Т. 1, 1925 p., Т. 2,
1926 p.).
Ðîçäië
2
150
з три кутни ка ми та ко лом. Радіус ко ла на зи ва ли пов ним си ну -
сом. Ей лер пер ший ввів поз на чен ня sin
α
і соs
α
, ро зуміючи під
ни ми відно шен ня дов жин відповідних відрізків, розг ля дав їх
при довіль них зна чен нях ку та
α
. Він пер ший вивів усі фор мули
зве ден ня.
У шко лах Ук раїни до 1960 р. три го но метрія бу ла ок ре мим
нав чаль ним пред ме том, по ряд з ал геб рою та ге о метрією. Ори гі -
нальні підруч ни ки над ру ку вав відо мий ук раїнсь кий ма те ма -
тик?ме то дист М.А. Чай ковсь кий. Пов ний курс «Три го но -
метрії» оп ра цю ва ли спіль но і над ру ку ва ли ук раїнсь кою мо вою
в 1951 р. Й.Б. Погребись
кий (1906–1972) і П.Ф. Філь
ча
ков
(1916–1978).
Го лов не в розділі 2
≈
57
°
18
′
.
Ос новні три го но мет ричні фор му ли:
sin
2
α
+ cos
2
α =
1,
,
, tg
α ⋅
ctg
α =
1.
Фор му ли зве ден ня:
,
,
,
sin (
π
+
α
)
=
–sin
α
, cos (
π
+
α
)
=
–cos
α
, tg (
π
+
α
)
=
tg
α
.
Пра ви ло зве ден ня
:
як що кут да ної три го но мет рич ної
функції відкла даєть ся від вер ти каль но го діамет ра, то її
заміню ють ко функцією, як що ж – від го ри зон таль но го діамет -
ра, то її наз ву не зміню ють. Знак став лять та кий, який має
зна чен ня да ної функції за умо ви, що кут
α
гост рий.
Фор му ли до да ван ня і наслідки з них
ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ 2
151