ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4936
Скачиваний: 5
Нерівності sin
x
> 1, sin
x
< –1, cos
x
> 1, cos
x
< –1 роз в’яз ків
не ма ють. Чо му?
Кож
ну з нерівнос
тей sin
x
–1,
sin
x
1, cos
x
–1, cos
x
1 за до воль -
няє будь?яке дійсне чис ло і будь?який
кут. Чо му?
Нерівності tg
x
a
і tg
x
a
ма ють
розв’яз ки при будь?яких
а
.
Для прик ла ду розв’яже мо нерів -
ність tg
x
1.
Оскіль ки на проміжку
тан?
генс зрос тає і дорівнює 1 при
х
=
то
на ць о му проміжку нерівність має мно жи ну розв’язків
(мал. 99). А оскіль ки tg (
x
+
π
n
)
=
tg
x
для кож но го зна чен ня
х
з
об ласті виз на чен ня і будь?яко го ціло го
n
, то за галь ною мно жи ною
розв’язків да ної нерівності є
де
n
∈
Z
.
Спро буй те розв’яза ти нерівність tg
x
1 графічно.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Які рівнян ня на зи ва ють три го но мет рич ни ми?
2.
Скіль ки розв’язків має рівнян ня: sin
х
=
0, соs
x
=
2?
3.
Що та ке арк си нус, арк ко си нус, арк тан генс?
4.
За якою фор му лою розв’язу ють рівнян ня sin
x
=
а
?
5.
Яку мно жи ну розв’язків має рівнян ня:
соs
x
=
1, соs
x
=
0, sin
x
=
1, sin
x
=
0?
1.
Розв’яжіть рівнян ня: а) sin 2
x
=
–1; б) соs 3
ϕ =
–1.
Р о з в ’ я з а н н я.
а) 2
x
=
–
+ 2
π
n
,
x
=
–
+
π
n
,
n
∈
Z
.
Ðîçäië
2
142
Мал. 98
Мал. 99
б) 3
ϕ = π
+ 2
π
n
= π
(2
n
+ 1),
ϕ = π
(2
n
+ 1),
n
∈
Z
.
2.
Знайдіть ко рені рівнян ня:
a) 2sin
2
x
+ 3cos
x
=
0; б)
sіn
2
x
– 2sin
x
соs
x
– соs
2
x
=
0.
Р о з в ’ я з а н н я.
а) Оскіль ки sin
2
x
=
1 – соs
2
x
, то
2 (1 – соs
2
x
) + 3 соs
x
=
0,
звідси
2 соs
2
x
– 3 соs
x
– 2
=
0.
Розв’язу ю чи це квад рат не рівнян ня віднос но соs
x
, діста не -
мо два найп ростіших рівнян ня:
соs
x
=
2 i соs
x
=
– .
Оче вид но, рівнян ня соs
x
=
2 розв’язків не має.
Розв’яз ка ми рівнян ня соs
x
=
–
є
x
= ±
аrcсоs (– ) + 2
k
π = ±
+ 2
k
π
, де
k
∈
Z
.
б) Оскіль ки ко рені рівнян ня соs
x
=
0 не є ко ре ня ми да но го
рівнян ня (при соs
x
=
0 sіn
x
= ±
), то мож на вва жа ти,
що соs
х
≠
0. То му обидві час ти ни да но го рівнян ня мож на по ді -
ли ти на соs
2
x
. Діста не мо:
tg
2
x
– 2tg
x
–
=
0.
Це – квад рат не рівнян ня віднос но tg
x
. Йо го ко рені tg
x
1
=
,
звідси
x
1
=
+
π
m
і tg
x
2
=
–
, звідси
x
2
=
–
+
π
n
.
Відповідь.
а)
x
= ±
+ 2
k
π
, де
k
∈
Z
; б)
x
1
=
+
π
m
,
m
∈
Z
,
x
2
=
– +
π
n
, де
n
∈
Z
.
3.
Розв’яжіть нерівність sin 3
x
> .
Р о з в ’ я з а н н я.
Поз на чи мо 3
x
=
y
. Тоді
sin
y
> , +
2
π
n
< 3
x
< +
2
π
n
, <
x
<
Відповідь.
де
n
∈
Z
.
Чи має розв’яз ки рівнян ня
(651–653)
?
651.
а) sіn
x
=
1,5; б) соs
x
=
1; в) tg
x
=
3,5; г) сtg
x
=
0,5.
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
143
652.
а) sіn
x
=
0,5; б) соs
x
=
2,5; в) tg
x
=
0; г) сtg
x
=
5,5.
653.
а) sіn
x
=
–0,05; б) соs
x
=
0,3; в) tg
x
=
–3,5; г) сtg
x
=
1.
Розв’яжіть рівнян ня
(654–657)
.
654.
а) sіn
x
=
1;
б) соs
x
=
–1;
в) tg
x
=
0;
г) сtg
x
=
1.
655.
а) sіn
x
=
0,5; б) соs
x
=
0;
в) tg
x
=
1;
г) сtg
x
=
0.
656.
а) sіn
x
=
–1;
б) соs
x
=
1;
в) tg
x
=
;
г) сtg
x
=
.
657.
а) 2 sіn
x
=
1;
б) 2 соs
x
=
1;
в) 3tg
x
=
; г) сtg 2
x
=
1.
Розв’яжіть рівнян ня
(658–660)
.
658.
а) соs
x
=
0,5; б) соs
x
=
1; в) sіn
x
=
–0,5; г) sіn
x
=
–1.
659.
а) 2sіn
x
=
; б) 2соs
x
=
; в) tg
x
=
1; г) tg
x
=
.
660.
а) 2соs
x
+
=
0; б) 2sіn
x
+
=
0.
661.
Укажіть абс ци си то чок пе ре ти ну графіків функцій
у
=
соs
x
і
y
=
0,5.
662.
Укажіть ко ор ди на ти то чок пе ре ти ну графіків функцій
у
=
tg
x
і
y
=
–1.
Розв’яжіть рівнян ня
(663–670)
.
663.
а) sin
2
x
=
3;
б) соs
2
x
=
2.
664.
а) sin
2
x
+ sin
x
=
0;
б) соs
x
– соs
2
x
=
0.
665.
а) 2 sin
x
+ sin 2
x
=
0;
б) соs 2
x
+ sin
2
x
=
0.
666.
а) sin
⋅
cos
=
0,25;
б) соs
⋅
sin
=
–1.
667.
а) соs
x
– соs
2
x
=
sin
2
x
;
б) sin
x
– sin
2
x
=
соs
2
x
.
668.
а) соs
2
– sin
2
=
0;
б) 2соs
–
=
0.
669.
а) соs
=
1;
б) sin
=
0.
670.
а) tg 2
x
=
;
б) tg
– 1
=
0.
671.
Знайдіть ку ти па ра ле лог ра ма, як що дов жи ни йо го сто-
рін дорівню ють 4 дм і 5 дм, а пло ща 10
дм
2
.
672.
Знайдіть ку ти ром ба, як що йо го пло ща дорівнює 18 дм
2
,
а пе ри метр 24 дм.
Розв’яжіть рівнян ня
(673–689)
.
673.
а) cos
x
=
0,43;
б) sin
x
=
0,8;
в) tg
z
=
–2,5.
674.
а) 2cos
=
;
б) 3tg
=
;
в)
=
1.
675.
а) соs
=
1;
б) sin
;
в)
.
À
Á
Ðîçäië
2
144
676.
а) cos (
– 2)
=
0; б) sin
; в) tg
2
(
ϕ
– 1)
=
0.
677.
а) б)
2cos
2
(
ϕ
–
π
)
=
1; в) tg
2
(
x
– 2)
=
1.
678.
а) sin
x
+ cos
x
=
–0,5;
б) sin
2
x
– cos
2
x
=
1.
679.
а) 2sin
2
x
– sin
x
=
0;
б) cos
2
x
– 2cos
x
=
0.
680.
а) sin
2
t
+ 2sin
t
=
3;
б) cos
2
ϕ
+ 2
=
3cos
ϕ
.
681.
а) 2sin
2
x
– cos
x
=
1;
б) 2cos
2
α
– 2sin
2
α =
1.
682.
а) sin
x
– tg
x
=
0;
б) cos
y
– cos 2
y
=
0.
683.
а) sin
+ cos
x
=
1;
б) cos 2
t
– sin
t
=
0.
684.
а) cos 2
x
=
2 sin
2
x
;
б) 2tg
ϕ
+ 3ctg
ϕ =
5.
685.
а) tg 2
x
+ tg
x
=
0;
б) tg 2
х
– tg
х
=
0.
686.
а) sin 6
x
– sin 4
x
=
0;
б) cos 4
х
+ cos
х
=
0.
687.
а) cos
x
+ cos 3
x
=
cos 2
x
;
б) sin 3
х
+ sin
х
=
sin 2
х
.
688.
а) cos
x
+ cos 2
x
+ cos 3
x
=
0;
б) sin
х
+ sin 2
х
+ sin 3
х
=
0.
689.
а) sin
x
+ cos 2
x
+ cos
x
sin 2
x
=
1;
б) sin
3
x
cos
x
+ cos
3
x
sin
x
=
1.
Знайдіть ко рені рівнян ня
(690–692)
.
690*.
а) sin
2
х
– 2sin
х
cos
х
=
8cos
2
х
;
б) 3 cos
2
х
=
2sin 2
х
– sin
2
х
;
в) 2sin
2
х
– 4sin
х
cos
х
+ 1
=
0;
г) 5sin
2
х
+ 3cos
2
х
=
4sin 2
х
.
691*.
а) 5sin 2
х
– 12cos 2
х
=
13; б) 4sin 2
х
+ 5cos 2
х
=
6;
в) 5sin
х
– 12cos
х
=
13; г) sin
х
+ 2cos
х
=
.
692*.
Розв’яжіть нерівність
(693–696)
.
693.
а) б)
cos
х
0,5;
в) tg
х <
.
694.
а) cos
х
< –
;
б) sin
х <
;
в) tg
х
695.
а) sin
х
< 1;
б) cos
х
> –1;
в) tg
х
> 1.
696.
а) 2cos
х
< 1;
б) 2sin
х
> –
;
в)
tg
х
< 1.
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
145
697.
Спростіть ви раз:
в) ;
г)
.
698.
Чи мож на ввімкну ти в ко ло при лад з опо ром 38
±
0,5 Ом,
щоб при нап рузі 215
±
15 В си ла стру му не пе ре ви щу ва ла 6,5 А?
699.
Які зна чен ня
х
до пус тимі для дро бу:
700.
Маємо 10 торбинок з мо не та ми, у дев’яти з них справ жні
мо не ти ва гою 10 г кож на, а в од но му фаль шиві мо не ти ва гою 9 г
кож на. Є ва ги, що по ка зу ють за галь ну ва гу мо нет. Як за до по мо -
гою од но го зва жу ван ня знай ти мішок із фаль ши ви ми мо не та ми?
Ðîçäië
2
146
Гра дус на
міра ку та
0
°
30
°
90
°
Радіан на
міра ку та
В а р і а н т 1
1.
За повніть таб ли цю.
2.
Спростіть ви раз:
а) (1 – sin
2
α
)(1 + tg
2
α
); б) sin 6
x
– sin 4
x
.
3.
Об числіть sin
х
, tg
х
, ctg
х
, як що соs
х
=
,
<
х
<
π
.
4.
По бу дуй те графік функції
у
=
соs
х
. Ус та новіть за до помо?
гою графіка, скіль ки ко ренів має рівнян ня соs
x
=
на проміжку
? А на проміжку
?