ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4922
Скачиваний: 5
§ 1
ДIЙСНI ЧИСЛА
7
Де сять ма різни ми циф ра ми за -
пису ють чис ла у
де сят ковій си -
стемі
, у якій ра ху ють оди ни ця ми,
де сят ка ми, сот ня ми та інши ми
степе ня ми чис ла 10. Існу ють та -
кож неде сят ко ві сис те ми чис лен -
ня. Найп ро сті ша з них –
двій ко ва
,
у якій ра ху ють оди ни ця ми, двій -
ка ми, четвірка ми та ін ши ми сте -
пеня ми чис ла 2. Для по з на чен ня
чи
сел у двій
ковій сис
темі до
сить
двох цифр: 0 і 1. На
п
рик
лад, за
-
писа не в де сят ковій сис темі чис -
ло 137 (або 1
⋅
10
2
+ 3
⋅
10 + 7)
можна по
да
ти у виг
ляді су
ми
1
⋅
2
7
+ 1
⋅
2
3
+ 1. То му в двій ковій
сис темі
йо го
за пи су ють
так:
10001001.
Нав чив шись за пи су ва ти на ту -
ральні чис ла за до по мо гою ли ше
двох цифр 0 і 1, учені одер жа ли
мож ливість по з на ча ти їх елек -
трич ним стру мом: циф ра 0 – струм
не про хо дить, 1 – про хо дить. Уявіть, нап рик лад, блок з де ся -
ти лам по чок. Як що в нь о му увімкне но тіль ки пер шу, п’яту,
вось му і дев’яту лам поч ки (мал. 2), то вва жа ють, що поз на -
чено чис ло 1000100110. Пе рек лю ча ти такі бло ки, тоб то «за -
пису ва ти і ви ти рати» чис ла, а от же, до да ва ти і відніма ти їх,
мож на за ти сячні част ки се кун ди. Удос ко на лю ючи такі «су ма -
то ри», фахівці ство ри ли швид ко діючі елект ронні об чис -
лювальні ма ши ни. Об’єднав ши ЕОМ з те левізо ра ми, ство ри ли
комп’ю тери. В ос нові ць о го – за пис чис ла тіль ки дво ма циф -
рами!
Крім на
ту
раль
них, відомі та
кож чис
ла цілі, раціональні,
дійсні та інші. Мно жи на
цілих чи
сел
містить усі на ту ральні
чис ла, усі про ти лежні їм чис ла і 0, тоб то це чис ла
..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Мал. 2
Ðîçäië
1
8
Цілі чис ла ра зом з дро бо ви ми ут во рю ють мно жи ну
ра ціо -
наль них чи сел
. Раціональ ним на зи ва ють кож не чис ло, яке
мож на по да ти у виг ляді дро бу
, де
m
– чис ло ціле, а
n
– на ту9
раль не. Кож не раціональ не чис ло мож на за пи са ти у виг ляді
скінчен но го або нескінчен но го періодич но го де сят ко во го дро бу.
Існу ють чис ла, відмінні від раціональ них. Нап рик лад, об чис9
лю ючи зна чен ня
діста ють нескінченні не пе ріо дичні
де сят кові дро би:
Ці чис ла – не раціональні.
Чис ла, які зоб ра жа ють ся нескінчен ни ми не періодич ни ми
де сят ко ви ми дро ба ми, на зи ва ють
ірраціональ ни ми
. Ірра ціо -
наль ний – зна чить не раціональ ний (ла т.
ir
відповідає за пе ре -
чу вальній частці
не
).
Ірраціональ ни ми
на зи ва ють чис ла, які не мож на ви ра зи ти
у виг
ляді відно
шен
ня двох цілих чи
сел. Усі раціональні й
ір ра ціональні чис ла ра зом на зи ва ють
дійсни ми чис ла ми
. Кож -
но му дійсно му чис лу на ко ор ди натній прямій відповідає єди на
точ ка і кожній точці ко орди нат ної пря мої – єди не дійсне чис ло.
Уявіть, що на ко ор ди натній пря мій поз на че но дві довільні
точ ки
А
і
В
з раціональ ни ми ко ор ди на та ми
а
і
b
(мал. 3). Скіль -
ки на відрізку
АВ
існує то чок з раціональ ни ми коор ди на та ми?
Безліч. А то чок з ірра ціональ ни ми ко ор ди на та ми? Знач но біль -
ше, ніж з раціональ ни ми!
Мно жи ни на ту раль них, цілих, раціональ них, дійсних і
комп-
лек с них чи сел
поз на ча ють відпо відно літерами
N
,
Z
,
Q
,
R
,
С
.
Кож на із цих мно жин нескінчен на і є підмно жи ною (час ти ною)
нас туп ної мно жи ни (мал. 4). То му будь9яке на ту раль не чис ло
мож на вва жа ти вод но час і цілим, і раціональ ним, і дійсним, і
навіть комп ле кс ним (про комплексні числа читайте на с. 78).
Мно жи ну
R
дійсних чи сел та кож на зи ва ють чис ло вою пря -
мою, а її еле мен ти (чис ла) – точ ка ми чис ло вої пря мої.
Мал. 3
Мал. 4
§1
ДIЙСНI ЧИСЛА
9
Дійсні чис ла мож на порівню ва ти.
З двох до дат них дійсних чи сел біль ше те, у яко го ціла час ти -
на біль ша. Як що цілі час ти ни рівні, біль шим вва жаєть ся те
чис ло, у яко го пер ший з не од на ко вих де сят ко вих знаків біль -
ший, а всі по пе редні од на кові.
П р и к л а д и. 1,4148... > 1,4139... ;
–1,4162... < –1,4139... ;
–0,0674... < 0,00176... .
Розг ля не мо де які в л а с т и в о с т і м н о ж и н и дійсних чи сел.
Мно жи на дійсних чи сел
R
нескінчен на, не містить ні най мен -
шо го, ні найбіль шо го чис ла. Мно жи ни
N
,
Z
і
Q
є її підмно жи на -
ми. Як і мно жи на
Q
, мно жи на дійсних чи сел скрізь
щіль на
,
тоб то для будь9яких двох різних дійсних чи сел завж ди мож на
наз ва ти та ке третє дійсне чис ло, яке біль ше за од не з да них, але
мен ше за дру ге. Це вип ли ває з то го, що ко ли
a
<
b
, то
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Як поз на ча ють на ту ральні чис ла? На ведіть прик ла ди.
2.
На ведіть прик лад не де сят ко вої сис те ми чис лен ня.
3.
Які ви знаєте наз ви для ве ли ких чи сел? За пишіть кіль ка ве ли ких
чи сел та назвіть їх.
4.
Назвіть най мен ше на ту раль не чис ло. Чи існує найбіль ше на ту раль -
не чис ло?
5.
Які чис ла на зи ва ють ціли ми? Як поз на чаєть ся мно жи на цілих чи сел?
6.
Як на зи ва ють ся цілі до датні чис ла?
7.
Назвіть ціле чис ло, яке біль ше від найбіль шо го цілого від’ємно го
чис ла, але мен ше від най мен шо го до дат но го ціло го чис ла.
8.
Сфор му люй те оз на чен ня раціональ но го чис ла. Як поз на чаєть ся
мно жи на раціональ них чи сел?
ПІФА ГОР СА МОСЬ КИЙ
(бл. 580–500 рр. до н. е.)
Давнь ог рець кий ма те ма тик, філо соф. Ор га -
нізу вав свою шко лу (піфа го рейсь кий со юз),
яка бу
ла вод
но
час і релігійним братством, і
політич ною партією. Досліджу вав проб ле ми
те орії чи сел, ге о метрії, гар монії, аст ро номії.
Вва жав, що все виз на ча ють чис ла. Досліджу -
вав різні ви ди чи сел: парні, три кутні, квад ратні,
дос ко налі, дружні то що. Ви я вив, що сто ро на
квад
ра
та і йо
го діаго
наль не ма
ють спіль
ної
міри.
Ðîçäië
1
10
1.
Од на подія ста ла ся в се ре дині
3 ст. н. е., а дру га – в се ре дині 2 ст.
до н. е. Скіль ки ча су пройш ло між
ци ми дво ма подіями?
Р о з в ’ я з а н н я.
1,5 + 2,5
=
4 ст.
(мал. 5).
Відповідь.
4 століття.
За у ва жен ня.
На тра диційній осі ча су відсутні нуль о вий вік і
нуль о вий рік, то му во на відрізняєть ся від ма те ма тич ної чис ло -
вої осі. І як що од на подія відбу лася в
m
9му році до н. e., а дру га –
в
n
9му році н. e., то між ци ми подіями пройш ло не
m
+
n
, а
m
+
n
– 1 років.
2.
До ведіть, що між будь9яки ми дво ма раціональ ни ми чис -
ла ми
а
і
b
на чис ловій прямій існує безліч раціональ них чи сел.
Р о з в ’ я з а н н я.
Не хай
а
<
b
. Тоді 2
а
<
а
+
b
і
а
+
b
< 2
b
,
звідси Як
що
а
і
b
раціональні, то чис ло
також
раціональ не. Поз на чив ши йо го літерою
m
, так са мо пе реко ну9
ємося , що чис ло
та кож раціональ не і т. д.
3.
По дай те у виг ляді де сят ко во го дро бу:
Р о з в ’ я з а н н я.
Щоб пе рет во ри ти зви чай ний дріб у де сят ко -
вий, потрібно чи сель ник да но го дро бу поділи ти на йо го зна мен -
ник. Маємо:
Відповідь.
а) 1,125; б) 0, 363636...; в) 1,1666... .
4.
Біль ше чи мен ше від міль яр да чис ло 2
30
?
Р о з в ’ я з а н н я.
2
30
=
(2
10
)
3
=
1024
3
> 1000
3
.
Відповідь.
Чис ло 2
30
біль ше від міль яр да.
1.
Які із чи сел 35, –128,
– раціональні, які –
ірраціональні, які – дійсні?
Мал. 5
§1
ДIЙСНI ЧИСЛА
11
2.
Яке з тверджень правильне:
а) кожне натуральне число є дійсним;
б) кожне ціле число є дійсним;
в) кожне раціональне число є дійсним;
г) кожне ірраціональне число є дійсним;
ґ) не кожне дійсне число є раціональним;
д) не кожне дійсне число є ірраціональним?
3.
Укажіть правильні твердження:
а) 2
π
– число дійсне; б) –
π
– число ірраціональне;
в) 1 +
π
– число ірраціональне; г)
π
: 2
π
– число раціональне.
4.
Чи правильні схеми на малюнках 6 і 7?
Мал. 6
Мал. 7
5.
Які із записів правильні?
а) –3
∈
N
;
б) 0
∈
R
;
в) 0,5
∈
Z
;
г)
ґ) –7
∈
Q
; д)
е)
є) 0,333
∈
Q
.
6.
Чи правильні твердження:
а) будь9яке натуральне число є раціональним;
б) будь9яке натуральне число є дійсним;
в) будь9яке ціле число є натуральним;
г) будь9яке раціональне число є цілим;
ґ) будь9яке ірраціональне число є дійсним?
7.
Для будь9яких дійсних чисел
а
,
b
,
с
правильні рівності
а
+
b
=
b
+
а
,
а
+ (
b
+
с
)
=
(
а
+
b
) +
с
,
аb
=
bа
,
а
(
bс
)
=
(
аb
)
с
,
(
а + b
)
с
=
ас
+
bс
.
Які закони дій виражають ці рівності?