ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4924
Скачиваний: 5
Ðîçäië
1
12
8.
На скільки число 3 більше від –2? А від 2?
9.
Назвіть кілька раціональних чисел. Чи є раціональними чис9
ла 5; –3;
0; 2,01?
10.
Назвіть кілька дійсних чисел, які не є раціональ ними.
Як називаються такі числа?
11.
Запишіть число, яке має 38 мільярдів, 7 тисяч і 5 оди ниць.
12.
Скільки хвилин пройшло від початку нашої ери до сьогодні?
13.
Серце здорової людини робить у середньому 70 скоро-
чень за хвилину. Скільки разів воно скорочується протягом
70 років?
14.
Обчисліть:
а) 432
⋅
(567 – 202) + 1001 : 13 + 28;
б) (43
⋅
19 – 26 928 : 33)
⋅
(16 112 : 53 – 304).
15.
Знайдіть суму всіх натуральних чисел, менших від 100.
16.
Розгляньте рівності. Чи правильні вони? Які законо мір -
ності ви помітили? Спробуйте продовжити записи.
а) 1 + 9
⋅
0
=
1, б) 1 + 8
⋅
1
=
9,
2 + 9
⋅
1
=
11,
2 + 8
⋅
12
=
98,
3 + 9
⋅
12
=
111; 3 + 8
⋅
123
=
987.
17.
Запишіть римськими цифрами число:
а) 47;
б) 109;
в) 1999;
г) 2009.
18.
Подайте у вигляді звичайного дробу числа:
а) 0,25;
б) 1,3; в) 0,333;
г) 7; ґ)
19.
Подайте у вигляді десяткового дробу числа:
20.
Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу числа:
21.
Порівняйте числа:
22.
Яке з чисел менше:
23.
Яке з чисел більше:
À
§1
ДIЙСНI ЧИСЛА
13
24.
З поданих нижче чисел випишіть: а) цілі; б) ірра ціо нальні.
25.
Які із чисел
раціональні?
26.
Чи є серед чисел –9; 1,21; 1;
3; 0;
; 0,41:
а) натуральні; б) дійсні?
27.
Числа 10 111, 1 101 110, 10 000 000 записано у двійковій
системі. Запишіть їх у десятковій системі числення.
28.
Спробуйте знайти суму й різницю чисел 1 011 101 і
110 100, записаних у двійковій системі числення.
29.
Уявіть, що якась жінка
М
на початку нашої ери наро -
дила двох дочок, кожна з яких до 33 років народила також не
менше двох дочок, а кожна з них – також не менше двох дочок
і т. д. Скільки нащадків жінки
М
жило б за таких умов у наші
дні? Чи могло б таке бути?
30.
Задумайте будь9яке трицифрове число. Допишіть до ньо -
го таке саме, щоб утворилося шестицифрове число. Поділіть це
шестицифрове число на 13, знайдену частку – на 11, а нову
частку – на задумане трицифрове число. Я знаю, яке число ви
одержали в результаті. На основі чого я безпомилково можу
вгадати результат?
31.
Поет Віргілій народився в 70 р. до н. е. У якому році тре -
ба було відзначати 20009річчя з дня його народження?
32.
За візантійською хронологією від створення світу до
Різдва Христового пройшло 5508 років. У літописі зазнача ється,
що якась подія відбулася 7168 року. Про який рік ідеться?
33.
Видатний український математик Михайло Пилипович
Кравчук народився 27 вересня 1892 року, а помер 9 березня
1942 року. Скільки років прожив наш співвітчизник? Скільки
часу пройшло від дня його народження дотепер?
34.
З’ясуйте роки життя видатних українських математиків
М.В. Остроградського, В.Я. Буняковського, Г.Ф. Вороного і за
цими даними складіть і розв’яжіть задачі.
35.
Яке з наведених чисел
є ірраціональним?
36.
Один учень говорить, що число
ірра ціо наль-
не, а другий, що раціональне. Хто з них має рацію?
Á
Ðîçäië
1
14
37.
Чи правильно, що сума двох раціональних чисел є число
раціональне? А чи завжди сума двох ірраціональних чисел є
число ірраціональне?
38.
Чи правильно, що сума, різниця, добуток і частка двох
дійсних чисел – числа дійсні?
39.
Чи може бути раціональним числом:
а) сума ірраціональних чисел;
б) різниця ірраціональних чисел;
в) добуток ірраціональних чисел;
г) степінь ірраціонального числа;
ґ) частка двох ірраціональних чисел?
Відповідь обґрунтуйте.
40.
Знайдіть значення виразу:
.
41.
Розв’яжіть рівняння:
а)
х
2
– 7
х
+ 6
=
0; б)
х
2
– 4
х
– 21
=
0.
42.
Спростіть вираз:
а) (
х
– 5)(2
х
+ 3) + 7
х
; б) (3
а
– 2)(
а
+ 4) – 3
а
2
.
Як ви вже знаєте, числа можна записувати в різних видах.
Відповідно й обчислення можна здійснювати по9різному. Якщо
дані числа раціональні, то дії над ними можна виконувати в
звичайних або десяткових дробах – усно, письмово чи за до по мо -
гою калькуляторів. Якщо серед даних чисел є й ірраціо нальні,
то обчислення можна вести у вигляді перетворень ірраціо наль -
них виразів або за допомогою десяткових наближень.
Для додавання і множення дійсних чисел
а
,
b
,
с
справ джу -
ються такі закони:
а
+
b
=
b
+
а
– переставний закон додавання;
(
а
+
b
) +
с
=
а
+ (
b
+
с
) – сполучний закон додаван ня;
а
⋅
b
=
b
⋅
а
– переставний закон множення;
(
а
⋅
b
)
⋅
с
=
а
⋅
(
b
⋅
с
) – сполучний закон множення;
(
а
+
b
)
⋅
с
=
а
⋅
с
+
b
⋅
с
– розподільний закон мно ження.
§ 2. Обчислення
§ 2
ОБЧИСЛЕННЯ
15
Віднімання означується як дія, обернена додаванню, ділен -
ня – як дія, обернена множенню.
У множині раціональних чисел
Q
завжди виконуються дії
додавання, віднімання, множення і ділення (за винят
ком
ділення на 0). Виконуваністю дії ділення множина
Q
істотно
відрізняється від множини цілих чисел
Z
, у якій ця дія вико -
нується не завжди.
На практиці, розв’язуючи прикладні задачі, обчислення ви -
конують не з абстрактними числами, а з числами, які вира жа ють
значення конкретних величин (маси, відстані, часу, швид кості,
площі, об’єму тощо). Існують різні одиниці вимірю вання цих
та інших величин. Для кількісної характерис
тики однієї ве
-
личини можна вико
ри
стовувати різні одиниці вимі
рювання.
Наприклад, у метричній системі дов жи ну вимі рюють у кіло -
мет рах, метрах, санти мет рах, міліметрах. Щоб порівнювати і
ви
ко
нувати дії над значеннями величин, по
трібно вміти пере
-
творювати одні одиниці виміру на інші. Для цього кори стуються
формулами або спеціальними таб ли цями. Наприклад:
1га
=
100 ар
=
10 000 м
2
;
1 л
=
1 дм
3
=
1000 см
3
=
0,001 м
3
.
Розв’язуючи прикладні задачі, переважно мають справу не з
точними, а з наближеними значеннями величин. Щоб мати
найменшу похибку в таких розрахунках, слід дотримуватися
такого правила округлення.
Якщо число округлюють до деякого розряду, то всі наступні
за цим розрядом цифри відкидають. Якщо перша з відкинутих
цифр 0, 1, 2, 3 або 4 (5, 6, 7, 8 або 9), то останню цифру, що
залишається, не змінюють (збільшують на 1).
Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа зви чай но
округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» де сятко вих зна -
ків. Наприклад, якщо треба знайти значення суми чисел
π
і
з точністю до тисячних, пишуть:
Аналогічно можна знайти наближене значення добутку даних
дійсних чисел:
Тепер науковцям часто доводиться виконувати обчислення
над числами, записаними в стандартному вигляді.
Запис числа у вигляді
а
⋅
10
n
, де 1
а
< 10,
n
– ціле, на зи -
вають
стандартним виглядом числа
. Число
n
у такому записі
називають
порядком даного числа
.
Запишемо в стандартному вигляді числа, якими вира жа ють-
ся маси Землі, Місяця і маленької мурашки.
Ðîçäië
1
16
5 980 000 000 000 000 000 000 т
=
5,98
⋅
10
21
т,
73 500 000 000 000 000 000 т
=
7,35
⋅
10
19
т,
0,0000015 кг
=
1,5
⋅
10
–6
кг.
Числа, записані в стандартному ви гля ді, можна додавати,
від ні мати, множити і ділити. Наприклад, якщо
а
=
4,2
⋅
10
5
і
b
=
1,5
⋅
10
5
, то
а
+
b
=
4,2
⋅
10
5
+ 1,5
⋅
10
5
=
(4,2 + 1,5)
⋅
10
5
=
5,7
⋅
10
5
;
а
–
b
=
4,2
⋅
10
5
– 1,5
⋅
10
5
=
(4,2 – 1,5)
⋅
10
5
=
2,7
⋅
10
5
;
а
⋅
b
=
4,2
⋅
10
5
⋅
1,5
⋅
10
5
=
(4,2
⋅
1,5)
⋅
10
5
⋅
10
5
=
6,3
⋅
10
10
;
а
:
b
=
(4,2
⋅
10
5
) : (1,5
⋅
10
5
)
=
4,2 : 1,5
=
2,8.
В останньому прикладі застосовано основну властивість
відношення.
Питання про обчислення в математиці здавна було одним з
найважливіших, а в окремі періоди – і найважчим. Відомий
вчений середньовіччя Беда Достойний писав: «У світі є чимало
важких речей, але немає нічого важчого за чотири дії ариф ме -
тики». Оскільки теперішніх алгоритмів дій навіть над
натуральними числами тоді люди не знали, одні рахували,
користуючися ква солинами, кісточками слив чи ка мінцями,
інші – «на лі ніях». На малюнку 8,
узятому з кни
жки ХVІ ст., муза
Арифметика спо
сте
рігає, як ді
ють
два обчислювачі: один на абаці,
другий – користу ючись пером.
Коли з’явились арифмометри,
стали і їх використовувати. З ви най -
денням ЕОМ і особливо мікрокаль -
куляторів навіть найскладніші об
-
числення стали доступні багатьом.
Сучасні комп’ютерні технології
дають змогу автоматизувати процес
обчислення. Доступною і простою для
виконання різного роду обчис
лень є
програма Excel, якою оснащено су -
час ні комп’ютери.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Які арифметичні дії вам відомі?
2.
Які дії завжди можливі в множині натуральних чисел? А в множи -
нах
Z
,
Q
,
R
?
3.
Які ви знаєте закони дій? Сформулюйте їх.
4.
Чому не можна ділити на 0?
5.
Що ви розумієте під сумою двох ірраціональних чисел? А під їх
добутком?
Мал. 8