ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4934
Скачиваний: 5
648.
Знайдіть мо ду, медіану і се реднє зна чен ня вибірки:
а) 2, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8;
б) 12, 17, 11, 16, 13, 14, 15, 12, 15, 16, 11, 13, 13.
649.
Пта хо фер ма збіль ши ла ви пуск про дукції за пер ший
рік на 10 %, а за дру гий – на 20 %. Як зріс ви пуск про дукції на
пта хо фермі за ці два ро ки?
650.
Розк ладіть мно гоч лен на множ ни ки:
а)
х
2
+ 5
х
+ 4; б)
х
2
+ 5
х
+ 6; в)
х
2
– 8
х
+ 15; г)
х
2
–
х
– 6.
Рівнян ня на зи ва ють
три го но мет рич ним
, як що йо го невідо -
мі вхо дять під зна ки три го но мет рич них функцій. Прик ла ди
три го но мет рич них рівнянь:
З а д а ч а. Сто ро ни три кут ни ка дорівню ють 15 см і 8 см. Знай -
діть кут між ни ми, як що пло ща три кут ни ка 30 см
2
.
Р о з в ’ я з а н н я.
Пло щу
S
три кут -
ни ка мож на виз начи ти за фор му лою
де
а
,
b
– йо го сто ро ни, а
α
– кут між ни ми. Як що шу ка ний кут
да но го три кут ни ка містить
х
гра дусів,
то 30
= ⋅
15
⋅
8
⋅
sіn
х
, звідси sin
x
=
.
Отрима ли три го но мет рич не рів -
няння. Розв’яже
мо йо
го. Си
нус ку
та
дорівнює 0,5, ко
ли кут має 30
°
або
150
°
(мал. 92).
Три кут ни ки з та ки ми ку та ми існу ють.
Відповідь.
30
°
або 150
°
.
У розг ля ну то му ви пад ку ку ти не мо жуть бу ти від’ємни ми
або більшими за 180
°
.
А вза галі рівнян ня sin
x
=
має безліч розв’язків: 30
°
+ 360
° ⋅
n
і 150
°
+ 360
° ⋅
n
, де
n
∈
Z
.
Розв’язу ю чи три го но мет рич не рівнян ня, най частіше зна хо -
дять усю мно жи ну йо го розв’язків. I ви ра жа ють їх здебіль шо го
§ 18. Тригонометричні рівняння і нерівності
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
137
Мал. 92
не в гра ду сах, а в абстра кт них чис лах. Нап рик лад, мно жи ну
розв’язків рівнян ня sin
x
=
записують так:
де
k
∈
Z
.
Те, що рівнян ня sin
x
=
має безліч розв’язків, вид но з йо го
графічно го розв’язан ня: графіки функцій
у
=
sіn
х
і
у
=
ма ють
безліч спіль них то чок (мал. 93).
Ðîçäië
2
138
Мал. 93
П р и к л а д и. Розв’яжіть рівнян ня:
а) 2соs
х
–
=
0; б) соs
х
=
0,6.
Р о з в ’ я з а н н я.
а) Пе рет во ри мо да не рівнян ня:
Ко си нус
х
дорівнює ко
ли
х
=
або
х
=
– .
Об’єдну ю чи дві знай дені рівності і вра хо ву ю чи періо дич ність
функції ко си нус, мо же мо за пи са ти відповідь:
±
+ 2
k
π
,
k
∈
Z
.
б) Рівнян ня cоs
х
=
0,6 мож на розв’яза ти за до по мо гою каль -
ку ля то ра:
0,6
≈
0,927.
От же, маємо мно жи ну наб ли же них розв’язків:
x
≈ ±
0,927 + 2
π
n
,
n
∈
Z
.
А як знай ти мно жи ну точ них розв’язків та ко го рівнян ня?
Не хай |
а
|
1.
Арк ко си ну сом
чис ла
а
на зи ва ють кут або чис -
ло з проміжку [0;
π
], ко си нус яко го дорівнює
а
.
Нап рик лад,
аrссоs 1
=
0, аrссоs 0,5
=
, аrссоs 0
=
, аrссоs (–1)
= π
.
Мно жи ну розв’язків рівнян ня cоs
х
=
0,6 мож на за пи са ти
так:
х
= ±
аrссоs 0,6 + 2
π
n
,
n
∈
Z
.
cos
arc
F
Уза галі рівнян ня cоs
х
=
a
при |
а
| >1 розв’язків не має, а при
|
а
|
1 мно жи на йо го розв’язків
х
= ±
аrссоs
a
+ 2
π
n
,
n
∈
Z
.
Подібно до арк ко си ну са оз на ча ють арк си нус і арк тан генс.
Не хай |
а
|
1.
Арк си ну сом чис ла а
на зи ва ють кут або чис ло
з проміжку
, си нус яко го дорівнює
а
.
Нап рик лад,
arсsin 1
=
, arсsin
=
, arсsin 0
=
0, arсsin (–1)
=
– .
Рівнян ня sin
х
=
0,5 має розв’яз ки
х
=
і
х
= π
– (мал.
94).
Оскіль ки функція sin
х
періодич на з най мен шим до дат ним пе?
ріодом 2
π
, то да не рівнян ня має дві серії розв’язків:
х
=
+ 2
n
π
і
х
=
+ 2
n
π
,
n
∈
Z
.
Розв’яже мо ще рівнян ня sin
х
=
–0,4. Два йо го розв’яз ки:
х
=
аrсsіn (–0,4) і
х
= π
– аrсsіn (–0,4) (мал. 95). Усі розв’яз ки:
х
1
=
аrсsіn (–0,4) + 2
π
n
і
х
2
= π
– аrсsіn (–0,4) + 2
π
n
,
n
∈
Z
.
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
139
Мал. 94
Мал. 95
π
– аrсsіn (–0,4)
–аrсsіn (–0,4)
Уза галі рівнян ня sin
х
=
а
не має розв’язків, як що |
а
| > 1; як -
що |
а
|
1, то мно жи на йо го розв’язків скла даєть ся з двох серій:
х
1
=
аrсsіn
a
+ 2
π
n
і
х
2
= π
– аrсsіn
a
+ 2
π
n
,
n
∈
Z
.
За у ва жен ня.
Дві ос танні фор му ли мож на об’єдна ти в од ну:
х
1
=
аrсsіn
a
+
π ⋅
2
n
,
х
2
=
–аrсsіn
a
+
π
(2
n
+ 1).
От же, ко ли множ ник при
π
пар ний чи не пар ний, то аrсsіn
a
бе реть ся відповідно з плю сом чи міну сом. Ці ви пад ки об’єднує
рівність
х
=
(–1)
n
аrсsіn
a
+
π
n
,
n
∈
Z
.
Та ка за галь на фор му ла розв’язків рівнян ня sin
х
=
а
, як що
|
а
|
1.
Рівнян ня sin
х
=
а
і cos
х
=
а
, як що
а
дорівнює 0, 1 або –1,
мож на розв’язу ва ти і за за галь ни ми фор му ла ми, але зручніше –
уяв ля ю чи оди нич не ко ло (мал. 96). Нап риклад, рівнян ня
sin
х
=
1 має мно жи ну розв’язків
х
=
+ 2
π
n
;
sin
х
=
0 має мно жи ну розв’язків
х
= π
n
;
cos
х
=
–1 має мно жи ну розв’язків
х
= π
+ 2
π
n
;
cos
х
=
0 має мно жи ну розв’язків
х
=
+
π
n
.
Тут і далі в подібних рівнос тях
n
– довіль не ціле чис ло.
Рівнян ня tg
х
=
а
має розв’яз ки при будь?яко му дійсно му
а
.
Один йо го розв’язок
х
=
arctg
а
, де arctg
α
– кут або чис ло з про?
між ку
тан генс яко го дорівнює
а
. Оскіль ки функція tg
х
періодич на з най мен шим до датним періодом
π
, то мно жи на всіх
розв’язків да но го рівнян ня
х
=
аrсtg
a
+
π
n
,
n
∈
Z
.
Фор му ли розв’язків найп ростіших три го но мет рич них рів нянь
да но в таб лиці.
Рівнян ня ctg
х
=
а
при
а
=
0 має мно жи ну розв’язків
х
=
+
π
n
.
У всіх інших ви пад ках во но рівно силь не рівнян ню tg
х
=
.
Рівнян ня
Фор му ла розв’язків
|
а
|
1
sin
х
=
а
,
|
а
| > 1
х
=
(–1)
k
аrсsin
а
+
k
π
,
k
∈
Z
розв’язків не має
|
а
|
1
cos
х
=
а
,
|
а
| > 1
х
= ±
аrсcos
а
+ 2
k
π
,
k
∈
Z
розв’язків не має
tg
х
=
а
x
=
аrсtg
а
+
k
π
,
k
∈
Z
Ðîçäië
2
140
Мал. 96
а)
б)
в)
г)
sin
х
=
1
sin
х
=
0
cos
х
=
0
cos
х
=
–1
Розв’язу ю чи складніші три го но мет ричні рівнян ня, зводять
їх до простіших, як це заз
ви
чай роб
лять при розв’язуванні
алгеб раїчних рівнянь. Де які три го но мет ричні рівнян ня зво -
дять до квад рат них.
П р и к л а д. Розв’яжіть рівнян ня 2соs
2
х
+ 3соs
х
– 2
=
0.
Р о з в ’ я з а н н я.
Не хай соs
х
=
у
. Рівнян ня 2
у
2
+ 3
у
– 2
=
0
має два ко рені:
у
=
–2 і
у
=
0,5. Зна чен ня ко си ну са не мо же до рів?
ню ва ти –2. От же, соs
х
=
0,5, звідси
х
= ±
+ 2
π
n
.
Відповідь. х
= ±
+ 2
π
n
, де
n
∈
Z
.
А як розв’яза ти, нап рик лад, нерів ?
ність sin
x
> ?
По ди ви мося на оди нич не ко ло
(мал. 97). Усі йо го точ ки, ор ди на ти
яких більші від , ле жать на виділеній
дузі
АА
1
. Точ ка
А
відповідає ку ту або
чис лу
, а точ ка
А
1
– ку ту або чис лу
.
От же, на проміжку [0; 2
π
] нерівність
sin
x
>
за до воль няє кож не з чи сел проміжку
Про те
це не вся мно жи на розв’язків. Оскіль ки при кож но му зна ченні
х
і ціло му
n
sin (
x
+ 2
π
n
)
=
sin
x
, то да ну нерівність за до воль ня -
ють усі чис ла безлічі проміжків:
Відповідь прий ня то за пи су ва ти так:
де
n
∈
Z
.
Да ну нерівність sin
x
>
мож на розв’яза ти і графічно. Для
ць о го тре ба по бу дувати в одній сис темі ко ор ди нат графіки функ?
цій
y
=
sin
x
і
(мал. 98). Ті зна чен ня
х
, при яких зна чен ня
sin
x
більші за , ут во рю ють безліч проміжків. Во ни і скла да ють
відповідь.
§ 18
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
141
Мал. 97