Файл: Fizika - V. F. Dmitriyeva.pdf

спостерігач, який перебуває на березі, фіксує початок і кінець світлового 
сигналу в різних точках простору

 фі

2

\ х

1

Фх

2

).

 Порівняємо інтервали 

часу т' і х, для цього скористаємось перетвореннями Лоренца: 

і[+{л>Іс

2

\х[ (

2

 +(і>/с

2

}х'

2 

1

 у[і -V

і

/С

1

 '

 2 

(і'

2

-і{) + {уіс

2

){х

2

-хр 

і") Ц

 —

 і

—-——-

1

--

VI-г>

2

 /с

2 

Оскільки

 Х

2

 —

 Ху

, то 

~

'

  а б

°

т =

т = 4 = т -

 (22

-

1  і } 

V1 —

 V

 /

С

 VI

 -V

і

 ІС

1 

З цієї формули видно, що тривалість того самого процесу різна в сис-

темах

 К

 і

 К'.

 У системі

 К

 тривалість процесу більша; отже, він відбу-

вається повільніше, ніж у системі

 К'.

 Таким чином, для спостерігача го-

динник, що рухається, йде повільніше, ніж його власний годинник, що 

перебуває в спокої, - це явище називається сповільненням часу. 

Час, який відлічують за годинником, що рухається разом з тілом, на-

зивають власним.

 Він найкоротший. 

Дуже довго не було експериментальних фактів, які б доводили реляти-

вістське сповільнення часу. Тільки в кінці 1930-х років це було експери-
ментально підтверджено в дослідах із збудженням водневими атомами, а 
пізніше - в процесі вивчення космічних променів, де частинки рухаються 
з великими швидкостями і сповільнення часу для них досягає помітних 
значень. Ефект сповільнення було підтверджено в дослідах на визначення 
середньої тривалості життя мезонів. Мезони, виявлені в космічних про-
менях, є зарядженими або нейтральними частинками, маса яких лежить 
між масою електрона і масою протона. Наприклад, ц -мезон, маса якого 
майже в 200 раз більша від маси електрона, розпадається на електрон, 
нейтрино і антинейтрино. Цей розпад спостерігали на знімках, добутих у 
камері Вільсона; він також фіксувався за допомогою лічильників іонізую-
чого випромінювання. Лічильники вимірюють середній час життя \і -ме-
зона, який перебуває в спокої. Для цього ц -мезони спиняють у спеціаль-
ному металевому блоці. За допомогою лічильників можна зареєструвати 
час влучання ц -мезона в блок і час виходу електрона, який виникає вна-
слідок розпаду. Досліди показують, що середній час життя \і -мезона, що 
перебуває в спокої, т

0

 «2,2-Ю

-6

 с. У верхніх шарах атмосфери ц -мезони 

рухаються з середньою швидкістю, близькою до швидкості світла, і до 

520 

свого розпаду проходять багато кілометрів; отже, середній час життя ру-
хомих мезонів значно більший від середнього часу жиггя тих, що перебу-
вають у спокої. Припустимо, що ц -мезон рухається із швидкістю світла, 

годі середньому часу життя т

0

, що вимірюється в його власній системі 

відліку, відповідає шлях 5

0

 ~ст

0

 =3-10

8

 м/с-2-1СГ

6

 с«600 м. У будь-

якій іншій системі відліку цей час збільшується, і в експериментах з кос-
мічними променями йому відповідає середній шлях до розпаду порядку 5 км. 

Дані дослідів підтверджують, що мезони, які рухаються, живуть довше, 
ніж ті, що перебувають у спокої. Отже, чим швидше рухається мезон від-

носно Землі, тим більший час його життя за земним годинником. 

Поняття про ефект Доплера 

З акустики відомо, що 

при відносному русі джерела і приймача звукових сигна-

лів змінюється частота звукових коливань, що сприймаються. 

Цей ефект, передбачений X. Доплером (1845) для акустичних хвиль, по-

яснюється з позицій класичної фізики. Ефект Доплера в оптичному діапа-

зоні вперше спостерігав А. Фізо, який помітив зміщення спектральних лі-

ній у випромінюванні небесних тіл. Ефект Доплера в оптичному діапазоні 
однозначно визначається релятивістським ефектом сповільнення годинників. 

Внаслідок зміни реєстрованої частоти зміщуються спектральні лінії 

відносно їх нормального положення. Якщо джерело світла і приймач 
зближуються, то лінії зміщені до фіолетового кінця

 (фіолетове зміщен-

ня

), якщо віддаляються - до червоного (

червоне зміщення).

 Ефект Допле-

ра дає можливість визначити швидкості наближення або віддалення різ-

них небесних тіл. Доплерівське тлумачення червоного зміщення веде до 

уявлення про те, що тепер 

метагалактика розширюється і окремі галактики віддаляються 

одна від одної. 

§ 217. Релятивістський 

закон додавання швидкостей 

У класичній механіці закон додавання швидкостей має виг-

ляд [див. (22.5), (22.6)] 

ц' = о. ± V, 

де її і и' - відповідно швидкості тіла в інерціальних системах відліку

 К

 і 

відносна швидкість руху цих систем. Покажемо, що він не є прав-

521 

Рис. 22.6 

дивим при русі із швидкостями, близь-

кими до швидкості світла. Нехай спо-
стерігач, який перебуває на косміч-
ному кораблі, що рухається із швид-
кістю

 V

 відносно Землі, посилає світ-

ловий сигнал у напрямі свого руху 
(рис. 22.6). За класичним законом 
додавання швидкостей, швидкість 
світлового сигналу для спостерігача, 

який перебуває на Землі, має дорівнювати с + V, що суперечить другому 
постулату Ейнштейна. Отже, новим уявленням про простір і час має від-

повідати і новий закон додавання швидкостей. Закон додавання швидко-
стей у релятивістській механіці є наслідком перетворень Лоренца. 

Нехай швидкість

 у

 напрямлена вздовж осі

 Х(Х').

 У системі

 К

' 

вздовж осі

 X'

 рухається точка

 М

 із швидкістю ії

х

 =(1x7сі/'. Щоб знайти 

швидкість

 и

х

 = Ах! &

 цієї точки в системі

 К

, треба записати співвідно-

шення, яке пов'язує

 и

х

 і

 и

х

. З перетворень Лоренца маємо 

Ах-

бх' + уйґ

 Ф

' +  ( У / С

2

) < І Х ' 

У1І-(У/С)

2 

дх 

4\ + У

2

/С

2 

6х' 4-

 УАҐ 

& йґ + (у/с

2

)йх'" 

Поділивши чисельник і знаменник правої частини цього співвідно-

шення на

 йґ

, дістанемо

 релятивістський закон додавання швидкостей: 

(Ат

 !&') + У

 _ 

1 + [у/с

2

 ) • (дх/ді) 1 + \уи'

х

 )/с

2 

(22.12) 

Повернемось до прикладу, розглянутого на початку параграфа (рис. 22.6). 

Згідно з (22 Л 2), швидкість світлового сигналу для спостерігача, що пере-
буває на Землі, 

с(с + у) 

С + У 

1 + {УС)!С

2

 С + У 

(22.13) 

Цей результат відповідає

 принципу сталості швидкості світла: 

при додаванні будь-яких швидкостей результат не перевищує 

швидкості світла у вакуумі, ш саме світло поширюється з однаковою 
швидкістю

 с

 з точки зору будь-якого спостерігача. 

522 

Легко переконатися, що у випадку руху з малими швидкостями 

(и

х

 <с,

 V <с)

 формула (22Л2) перетворюється в класичний закон дода-

вання швидкості. 

§ 218. Поняття релятивістської 

динаміки - маса, імпульс 

Із спеціальної теорії відносності випливають два важливих 

висновки. Ці висновки стосуються взаємозв'язку між масою й енергією та 
масою і швидкістю. До Ейнштейна інертну масу розглядали як величину 
сталу. Але в 1901 р. фізики-експериментатори встановили, що маса елек-

тронів, які швидко рухаються, зростає при збільшенні швидкості. Поки 

швидкість частинки, яка рухається, мала порівняно із швидкістю світла, 
маса практично не зростає. Тому в класичній механіці, де вивчають малі 
швидкості великих тіл, зростання маси не було помічене. 

За теорією відносності, 

маса того самого тіла мас різні значення залежно від швидкості 

його

 руху

 і від вибору системи відліку, в якій її вимірюють. 

Залежність маси

 т

 тіла, яке рухається, від швидкості

 V

 руху виража-

ється такою формулою: 

т

лл 

т • 

і \ - г >

2

 іс

1 

(22.14) 

ШІ 

де

 т

0

 - маса спокою, тобто маса тіла в системі відліку, відносно якої во-

но

 перебуває в спокої. 

При

 V < с

 релятивістська маса

 т

 прямує до ш

0

. Графік залежності 

маси від швидкості подано на рис. 22.7. 

Як

 у

 класичній механіці, так і в релятивістській маса - міра 

інертності. 

У релятивістській динаміці інертність зростає 

із зростанням швидкості, тобто, чим більша 
швидкість, тим важче збільшити її. Якщо V = с, 

го маса прямує до нескінченності. Звідси випли-

ває, що жодне тіло, яке має ненульову масу спо-
кою

 (т

0

 Ф

 0), не може рухатись із швидкістю, 

яка дорівнює швидкості світла у вакуумі. Теорія 
відносності не заперечує існування частинок, які 
рухаються із швидкістю

 с.

 Такими частинками є 

фотони

, в яких

 маса спокою дорівнює нулю. 

т-т

д 

їм: 

Рис. 22.7 

523 

У вакуумі фотони завжди рухаються із шви-

дкістю, що дорівнює швидкості світла. 

У класичній фізиці імпульс визначається

 р -ми, 

де

 т

 - маса тіла;

 V

 - швидкість його руху. Але маса 

рухомого тіла залежить від швидкості [див. (20.14)], 
тому

 релятивістський імпульс 

ЇМ

 4} 

р =

 т

у=—

 0

 (22.15) 

Рис. 22.8 VI >

2

ІС

2 

Крива 1 на рис.

 22.8

 характеризує залежність імпульсу від швидкості світ-

ла. Як випливає з формули (22.15), при швидкостях руху

 V

 , малих порівняно 

з

 с,

 імпульс визначають за класичною формулою

 р = т

0

і>

 (крива 2), тобто 

графіки, які зображають релятивістський і класичний імпульси, збігаються. 

При швидкостях руху, порівнянних з

 с,

 релятивістський і класичний 

імпульси не збігаються. Значення релятивістського імпульсу прямує до 
нескінченності. Слід зазначити, що для замкненої системи і в релятивіст-
ській динаміці справджується закон збереження імпульсу. Саме користу-
ючись законом збереження імпульсу і теоремою додавання швидкостей, і 
виводять формулу (22.14), яка визначає залежність маси від швидкості. 

§ 219. Закон взаємозв'язку маси й енергії. 

Зв'язок між імпульсом та енергією тіла 

Зміна швидкості

 V

 в релятивістській механіці зумовлює змі-

ну маси

 гп,

 а отже, і повної енергії

 Е,

 тобто між масою й енергією існує 

взаємозв'язок. Цей взаємозв'язок установив Ейнштейн: 

Е = тс

2

, 

або 

Е =  -

Т

^ = . (22.16) 

VI

 -V

і

/с

2 

З (22.16) випливає, що будь-якій масі (рухомій

 т

 або тій, що перебуває 

у спокої,

 т

0

)

 відповідає певне значення енергії, Якщо тіло перебуває в 

стані спокою, то його енергія спокою визначається співвідношенням 

Е

0

 = т

0

с

2

. (22.17) 

Енергія спокою є внутрішньою енергією тіла. 

Внутрішня енергія тіла складається з кінетичної енергії всіх части-

нок відносно центра мас, потенціальної енергії їх взаємодії і суми енергій 
спокою всіх частинок. 

524