Далее проводятся две независимые регрессии для первых из оставшихся (после выполненного исключения) средних наблюдений и двух последних из этих оставшихся средних наблюдений. После этого строятся два соответствующих остатка. Наконец, составляется F-статистика Фишера и, если верна исследуемая гипотеза, то F действительно является распределением Фишера с соответствующими степенями свободы. Тогда большая величина этой статистики означает, что проверяемую гипотезу необходимо отвергнуть. Без шага исключения наблюдений мощность данного теста уменьшается.

Тест Бреуша — Пагана применяется в тех случаях, когда априорно предполагается, что дисперсии зависят от некоторых дополнительных переменных. Сначала проводится обычная (стандартная) регрессия и получается вектор остатков. Затем строится оценка дисперсии. Далее проводится регрессия квадрата вектора остатков деленного на эмпирическую дисперсию (оценку дисперсии). Для нее (регрессии) находят объясненную часть вариации. А для этой объясненной части вариации, деленной пополам, строится статистика. Если верна нулевая гипотеза (справедливо отсутствие гетероскедастичности), то эта величина имеет распределение χ². Если же тест, напротив, выявил гетероскедастичность, то исходная модель преобразуется делением компонентов вектора остатков на соответствующие компоненты вектора наблюдаемых независимых переменных.

Тема 9. Многофакторная регрессия

План темы

9.1. Понятие многофакторной модели и этапы ее построения

9.2. Спецификация модели

9.3. Анализ факторов на мультиколлинеарность

9.4. Последствия мультиколлинеарности. Способы устранения мультиколлинеарности

9.5. Нахождение регрессионной модели. Прогноз на основании линейной модели

1. Понятие многофакторной модели и этапы ее построения

Реальные экономические процессы, как правило, зависят не от одного, а от нескольких факторов: . Процесс нахождения такой зависимости и получения полезных выводов из нее следующий:

1. Знакомство с экономической теорией, выдвижение гипотез о виде взаимосвязи. Постановка задачи.

2. Спецификация модели – теоретические представления и принятие гипотезы в виде математических уравнений, которые устанавливают связь между независимыми переменными.

3. Формирование массивов входной информации согласно задачам исследования.

4. Исследование исходных статистических данных на наличие зависимости между факторами (автокорреляция), влияния отклика у на факторы (авторегрессия), эффектов, связанных с запаздыванием реакции рынка (лаговые эффекты).

5. Оценка параметров модели на основании статистических данных.

6. Проверка полученной модели на адекватность.

7. Прогноз на основании уравнения регрессии и расчет доверительного интервала для прогноза.

2. Спецификация модели

Экономическая модель основана на объединении двух аспектов – теоретического, качественного анализа и опытной информации. Теоретическая информация находит свое отображение в спецификации модели. Спецификация модели – это аналитическая форма экономической модели.

Из опыта эконометрических исследований можно привести примеры функций, которые могут описывать взаимосвязь между показателем У и факторами :

1. Линейная функция .

2. Степенная функция или .

3. Гиперболическая функция .

4. Квадратическая функция

Во всех моделях - зависимая переменная, показатель; - независимые переменные, факторы; - параметры модели.

Линейные функции наиболее распространены, и приведенные выше нелинейные функции сводятся к линейным, поэтому рассмотрим линейную модель.

Имея в виду, что выбор аналитической формы эконометрической модели не может рассматриваться без конкретного перечисления факторов, спецификация модели предусматривает отбор факторов для эконометрического анализа.

На этом этапе требуется хорошее понимание экономического процесса. Предварительно анализируется, от чего зависит у. Например, объем продаж может зависеть от рекламы, имиджа, среднего заработка людей в регионе и т.д. Собираются статистические данные. Выборочные сведения оформляются в виде таблицы:

После выявления всех факторов нужно исключить те факторы, для которых мало наблюдений.

Ошибки спецификации могут быть трех видов:

1) игнорирование важного фактора при построении эконометрической модели;

2) ввод в модель фактора, который существенно не влияет на показатель;

3) выбор несоответствующей математической формы зависимости.

3. Анализ факторов на мультиколлинеарность

Одним из условий применения МНК является то, что факторы должны быть независимыми друг от друга. Однако очевидно, что в экономике очень трудно выделить такой массив факторов, которые были бы совсем не зависимы друг от друга. Поэтому каждый раз необходимо выяснять, не влияет ли зависимость факторов на оценку параметров модели.

Факторы Х1, Х2, …, Хр интерпретируются как векторы разномерности п: .

Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны: . Если выполняется это условие, то коэффициент корреляции между факторами Х1 и Х2 равен 1: . Факторы Х1 и Х2 коллинеарные.

Мультиколлинеарностью называется линейная зависимость между факторами Х1, Х2, …, Хр. Вектор является линейно зависимым, если его можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: , причем хотя бы один множитель .

Коллинеарность является частным случаем мультиколлинеарности.

4. Последствия мультиколлинеарности. Способы устранения мультиколлинеарности

Если в условии задачи присутствует совершенная мультиколлинеарность, то есть формула выполняется точно, то при определении коэффициентов уравнения линейной регрессии по МНК возникает неопределенность типа , то есть коэффициенты определить невозможно – задача не имеет решения.

Если мультиколлинеарность не совершенная, то есть , то неопределенность не возникает. Коэффициенты по МНК возможно определить, но среднеквадратические погрешности очень велики. Как следствие: доверительные интервалы очень широкие, и прогнозы теряют практическую ценность.

Наиболее простой способ устранения мультиколлинеарности в эконометрической модели – исключение одного из факторов. Однако, если в слепую устранять мультиколлинеарность по предложенному алгоритму, не задумываясь над экономическим смыслом задачи, можно выхолостить модель настолько, что она потеряет ценность.

В этой ситуации можно преобразовать данные:

1. Взять - отклонение от среднего.

2. Вместо абсолютных значений взять относительные.

3. Нормализовать фактор .

4. Заменить одну переменную на другую.

Если ни один их способов не дает возможности устранить мультиколлинеарность, то МНК использовать не рекомендуется.

5. Нахождение регрессионной модели. Прогноз на основании линейной модели

Линейная многофакторная модель имеет вид: . Параметры линейной многофакторной модели определяются по МНК. Только получаем систему р уравнений. Эту систему решают специальными методами матричной алгебры.

На этом этапе анализа появляются следующие сведения:

1. Коэффициент множественной корреляции: .

2. Коэффициент детерминации .

3. Уточненный коэффициент детерминации с учетом степеней свободы: .

4. Наблюдаемое значение и степени свободы критерия Фишера. Критерий Фишера в случае многофакторной регрессии имеет тот же смысл, что и в случае однофакторной регрессии, то есть отношение двух дисперсий, однако число степеней свободы меняется: . Здесь р – количество факторов модели; п – объем выборки. Для многофакторной регрессии Н0: все коэффициенты , кроме .

5. Статистическая значимость коэффициентов .

Получается модель: . В полученной модели коэффициенты - случайные величины. Их математические ожидания при выполнении некоторых условий равны, соответственно, точным значениям . При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг точных значений, то есть дисперсия. Можно доказать, что: , , где – дисперсия остатков.

Формально значимость (отличие от нуля) коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента. Вычисляют . Если , то коэффициент равен 0.

Во многих пакетах программ статистическая значимость коэффициентов считается автоматически.

Целью регрессионного анализа является получение прогноза. Прогноз делается по уравнению регрессии .

Точка прогноза с координатами (х1; х2; …; хр) из р-мерного пространства выбирается из области прогноза, которая определяется системой неравенств:

Если, например, модель двухфакторная , то область прогноза является прямоугольником.

Тема 10. Эластичность экономических моделей

План темы

10.1. Коэффициент эластичности для однофакторной модели

10.2. Коэффициент эластичности для многомерных моделей

1. Коэффициент эластичности для однофакторной модели

Эластичностью в экономике называют способность показателя откликаться на изменение того или иного фактора.

Пусть точке фактор измениться на величину . Соответственно, изменится на величину . Относительное изменение равно . В процентах (темп роста) . Соответственно, для . Чтобы узнать, на сколько процентов изменится при изменении на величину , возьмем соотношение . Так как - произвольная точка, то можно записать: . При . Отсюда - формула для расчета коэффициента эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится (если ) или уменьшится (если ) показатель , если фактор изменится на 1%.

Вычислим коэффициент эластичности для некоторых моделей:

1. Линейная: .

2. Степенная: .

3. Экспоненциальная: .

2. Коэффициент эластичности для многомерных моделей

Если показатель зависит от нескольких факторов, то, используя коэффициент эластичности, можно определить степень влияния каждого фактора на показатель.

- формула для расчета коэффициента частной эластичности.

Коэффициент частной эластичности показывает, на сколько процентов изменится при изменении фактора на 1% при прочих неизменных факторах.

Например, для моделирования зависимости между объемом выпущенной продукции , трудозатратами и объемом основных средств производства используется функция Кобба-Дугласа . Так как эта функция степенная, то коэффициенты частной эластичности равны степени соответствующего фактора: . Если , то больше влияет на , то есть, если увеличивать основные средства, то объем выпускаемой продукции будет расти быстрее, чем при увеличении трудозатрат.