Файл: Методичка к лабораторным и практическим.doc

Обозначим вычисляемую сумму через S, счетчик ряда — I, очередной член ряда — С.

Вычисление суммы ряда — это цикл с известным (заданным) числом повторений (от 1 до К), в котором не только вычисляются текущие значения членов ряда, но и накапливается их сумма путем прибавления полученного значения члена ряда к сумме предыдущих. В нашем примере формулой для накопления суммы нескольких слагаемых является формула S_i := S_i-1 + С_i. Таким образом, значению суммы на i-м шаге присваивается значение частичной суммы на предыдущем шаге плюс слагаемое С_i. Поскольку надобности в запоминании значений всех промежуточных сумм и членов ряда нет, в качестве S нужно использовать простую переменную и накопление суммы вести по формуле S:=S+С.

До ввода в цикл вычисления суммы S его надо подготовить, т.е. присвоить S нулевое значение (“обнулить”) — S = 0, а перед накапливанием вычислить очередное слагаемое С — очередной член ряда.

Будет совершенно нерационально использовать для вычисления очередного члена ряда общую формулу, указанную в постановке задачи. Действительно, например, для 5-го номера получим:

C₅ = + , а для шестого – С₆ = -.

Отсюда следует, что для вычисления очередного слагаемого можно использовать оператор присваивания:

C := -С*I/X.

Начальное значение переменной С надо определить до входа в цикл: С = -1.

После выхода из цикла необходимо вывести полученные результаты. Форма вывода результатов в постановке задачи не определена, выбираем ее сами, например, в виде:

Результаты вычислений

Число членов ряда: * * *

Аргумент ряда: **.**

Сумма ряда: ****.***

Этот макет реализуется необходимой последовательностью операторов вывода. Таким образом мы достаточно детализировали алгоритм решения задачи.

Текст программы

PROGRAM Prim110;

{Вычисление суммы ряда }

VAR X, C, S : REAL;

K, I : INTEGER;

{К—число членов ряда }

{X — аргумент }

{С—очередной член ряда }

{I—номер члена ряда }

{S - вычисляется сумма }

BEGIN

{Этап ввода исходных данных }

WRITE(‘Число членов ряда-‘);

READLN(К);

WRITE(‘Аргумент (больше 0)');

READLN( Х);

{Этап вычислений }

{Подготовка цикла}

S:=0;

C:= -1;

FOR I:=1 TO K DO

BEGIN

{Вычисление значения члена ряда}

С:= -C*I/X;

{Накопление суммы}

S:=S+C;

END;

{Этап вывода }

WRITELN(‘Результаты вычислений');

WRITELN(‘Число членов ряда: ‘ ,К:3);

WRITELN(‘Аргумент ряда: ‘, Х:5:2);

WRITELN(‘Сумма ряда: ‘, S:7:3);

END.

Формальное исполнение программы

Принимаем К=4. Значение аргумента можно не конкретизировать, записывая каждый раз выражение для вычисления слагаемого. Результаты формального исполнения:

Подготовка: S = 0, С = -1

i = l c = +l/x , s = + l/x;

i = 2 c= -l · 2/x², s = +l /x – l · 2/x²;

i = 3 с = +1 · 2 · 3/х³,

s = +l/x – l · 2/x² + 1 · 2 · 3/x³;

i = 4 с = -1 · 2 · 3 · 4/х⁴,

s = +1/x – 1 · 2/х² + 1 · 2 · 3/х³ – 1 · 2 · 3 · 4/x⁴.

Результаты, полученные при формальном исполнении программы, сви­детельствуют о правильности составленного алгоритма.

Пример 1.11. Вычислить факториал p= n!, (n! = 1 · 2 · 3 … n) при n = 6.

Решение.

Вариант программы будет иметь вид:

PROGRAM Prim111;

VAR

N, P, I : INTEGER;

BEGIN

N:=6;

P:=1;

For I:=1 TO N DO

P:=P*I;

WRITELN(‘P=’,P)

End.

Пример 1.12. Найти и напечатать все делители натурального числа N.

Решение.

Перед составлением программ по обработке целых чисел необходимо ознакомиться с арифметическими операциями DIV и MOD.

Напомним, что операция DIV является операцией целочисленного деле­ния и выделяет целую часть от деления одного целого числа на другое.

Операция MOD выделяет остаток от деления одного целого числа на другое.

Например:

А:=5 DIV 2;

WRITE(A);

На экране появится «2».

М:=5 MOD 2;

WRITE(M);

На экране появится «1».

Если даны 2 числа А и В, то по определению В является делителем числа А, если А делится на В без остатка.

Минимальное количество делителей у каждого целого числа равно двум — это единица и само число.

Число, имеющее только два делителя, называется простым.

В данном алгоритме делители определяются перебором всех чисел в диапазоне от 2 до N/2. Если заданное число N делится без остатка на какое-либо из этих чисел, то это число будет являться одним из делителей числа N.

Диапазон делителей ограничен сверху величиной N/2, так как ни одно чис­ло не делится без остатка на число, большее своей половины.

Вариант программы

PROGRAM Prim112;

TYPE

NATUR = 1 .. MAXINT;

VAR

N : NATUR;

I : INTEGER;

BEGIN

WRITE(‘Введите число‘);

READLN(N);

WRITELN(‘Делители числа’,N, ‘:');

WRITE( 1);

FOR I:=2 TO N DIV 2 DO

IF N MOD I = 0 THEN WRITE( I:5);

WRITELN(N); END.

В приведенной программе делители только выводятся на экран, но не запоминаются. В ряде случаев необходимо запоминать делители в оператив­ной памяти. Для этого создается одномерный массив, имеющий размерность, достаточную для запоминания всех делителей числа.

Пример 1.13. Ввести с клавиатуры границы диапазона трехзначных натураль­ных чисел, из которых напечатать только простые. Определить количество таких чисел и их сумму.

Решение.

Обозначим:

А - нижняя граница диапазона;

В - верхняя граница диапазона;

S - сумма простых чисел;

KOL - количество простых чисел;

FL - признак простого числа (0 - простое число, 1 - непростое).

В приведенном алгоритме простые числа определяются перебором всех чисел данного диапазона и вычислением делителя каждого из них (во вло­женном цикле FOR I:=...).

Если у числа только два делителя (единица и само число), то число про­стое (FL=0), если больше, то число непростое (FL=1).

Вариант программы

PROGRAM Prim113;

VAR

A, B, N : 100 ..999;

FL, D, S, KOL : INTEGER;

BEGIN

WRITE(‘Нижняя и верхняя границы диапазона трехзначных чисел‘);

READLN(А, В);

S:=0;

KOL:=0;

FOR N:=A TO В DO

BEGIN

FL:=0;

FOR D:=2 TO N DIV 2 DO

IF N MOD D=0 THEN BEGIN FL:=1; BREAK END;

IF FL=0 THEN BEGIN KOL:=KOL+1; S:=S+N END;

END;

WRITELN(‘Сумма ‘,S,’ и количество простых чисел ’, KOL)

END.

Задача 1.14. В произвольной последовательности N вещественных чисел оп­ределить максимальное количество подряд идущих нулей.

Решение.

Обозначим объекты задачи:

N - количество чисел последовательности,

S - счетчик подряд идущих нулей,

МАХ - максимальное количество подряд идущих нулей,

Х - переменная с очередным числом последовательности.

Возможный вариант программы

PROGRAM Prim114;

VAR

N, I, S, MAX : INTEGER;

X : REAL;

BEGIN

WRITE(‘Количество чисел в последовательности’);

READLN(N);

S:=0;

МАХ:=0;

FOR I:=1 ТО N DO

BEGIN

WRITE(‘Значение ‘, I:4, ‘-го числа последовательности ’);

READLN( X);

IF Х=0 THEN S:=S+1

ELSE S:=0;

IF S > MAX THEN MAX:=S

END;

WRITELN(‘Максимальное количество подряд идущих нулей = ', МАХ:4);

END.

Цикл с неизвестным числом повторений

Цикл с неизвестным числом повторений называется также итерационным циклом. В языке Турбо Паскаль имеются два оператора цикла - WHILE и REPEAT, которые используются для организации цикла с неизвестным числом повторений.

Общая форма конструкции, образующей цикл WHILE, имеет вид:

WHILE <выражение> DO <оператор>

Здесь WHILE (пока); DO — ключевые слова языка; <выражение> — логическое выражение, которое определяет условие продолжение цикла. Первая строка (оператор WHILE) конструкции называется заголовком цикла.

<Оператор> образует тело цикла, состоящее из простого или составного оператора.

Выполнение оператора WHILE происходит следующим образом:

1. Вычисляется выражение, указанное в заголовке цикла.

2. Если выражение истинно, то один раз выполняется тело цикла и вновь вычисляется выражение.

3. Пункт 2 повторяется до тех пор, пока выражение истинно.

4. Если выражение ложно, то тело цикла не выполняется, осуществляет­ся выход из цикла, т.е. управление передается оператору, который следует за оператором WHILE.

Общий вид записи оператора REPEAT:

REPEAT <оператор> UNTIL <выражение>

где <оператор> - тело цикла, состоящее из простого или составного оператора; <выражение> - логическое выражение, определяющее окончание цикла.

Выполнение оператора WHILE происходит следующим образом:

1. Выполняется тело цикла.

2. Вычисляется выражение, указанное во фразе UNTIL.

3. Если выражение ложно, то повторяются пп. 1 и 2.

4. Если выражение истинно, то выходим из цикла, т.е. управление передается оператору, который следует за оператором REPEAT.

Из сказанного следует важное правило: операторы тела цикла WHILE и REPEAT долж­ны изменять выражение, указанное в операторе. В противном случае будет иметь место бесконечный цикл, что противоречит определению ал­горитма.

В тело итерационного цикла допускается включать другие циклы. Это может быть другой итерационный цикл или цикл с известным числом по­вторений. Другими словами, в итерационных циклах никаких ограничений на вложенные циклы не накладывается.

Примеры реализации итерационного цикла

Пример 1.15. Составить программу для вычисления функции, заданной рекурсивными формулами:

Y₀=(1+X)/3

Y_{k +1} =Y_k+ (X/Y_k ·Y_k - Y_k)/3 при k=l, 2, 3.... Вычисления закончить при выполнении условия:

|Y_k+l -Y_k | < е,

где е — точность вычислений (малое положительное число). Аргумент функции Х—произвольное число.

Решение.

Анализ постановки задачи

Исходные данные для решения: аргумент функции — Х и точность вычисления — Е.

То, что заданы рекурсивные формулы для вычислений, означает по­вторяемость (цикличность) вычислений: каждое новое значение функции вычисляется по ее предыдущему значению. Число вычислений неизвестно, но известно условие продолжения вычислений: пока |Y_k+1 - Y_k | Е.

Введем обозначения объектов программы: Y0 — предыдущее (в том числе начальное) значение функции; Y —очередное (в том числе конечное) значение функции; Z — модуль разности значений.

Для решения задачи будем использовать цикл WHILE.

Как и любой другой, этот цикл требует подготовки. В первую очередь необходимо обеспечить истинность выражения ZE.

Значение Е определим на этапе ввода исходных данных, а значение Z определим до входа в цикл, присвоив ему любое значение, которое больше Е, например Z:=2*E.

Также до входа в цикл необходимо вычислить начальное значение функции Y0:=(1+X)/3.

Наконец, тело цикла. В нем вычисляется очередное значение функции

Y:=Y0+(X/Y0/Y0-Y0)/3.

Здесь же необходимо обеспечить изменение значения выражения в заголовке цикла Z:=ABS(Y-Y0).

Наконец, необходимо подготовить следующую итерацию Y0:=Y.

Выход из цикла произойдет при достижении заданной точности вычислений. После этого можно выводить полученные результаты.

С целью большей информативности результатов дополним алгоритм вычислением числа выполненных итераций К:=К+1

Начальное значение К присвоим до цикла К:=1

Результаты вычислений выведем в следующем виде:

Результаты вычислений

Аргумент: **.**

Заданная точность: *.*****

Значение функции: ****.***

Число итераций: ***

Поскольку алгоритм уже достаточно детализирован, составим текст программы:

Текст программы

PROGRAM Prim115;

{Вычисление функции с заданной точностью}

VAR

X, Y0, Y, E, Z : REAL;

K : INTEGER;

{Х – Аргумент функции}

{Y0, Y – Начальное и конечное значения функции}

{Е – Заданная точность}

{Z=ABS(Y-Y0)}

{K – число итераций}

BEGIN

{Этап ввода исходных данных}

WRITE(‘Аргумент функции’);

READLN(X);

WRITE(‘Заданная точность вычислений’);

READLN(E);

{Этап вычислений}

Z:=2*E;

Y0:=(1+X)/3;

K:=1;

WHILE Z>=E DO

BEGIN

Y:=Y0+(X/Y0/Y0-Y0)/3;

Z:=ABS(Y-Y0);

Y0:=Y;

K:=K+1

END;

{Этап вывода результатов}

WRITELN(‘Результаты вычислений');

WRITELN(‘Аргумент:’,X:5:2);

WRITELN(‘Заданная точность:',E:7:5);

WRITELN(‘Значение функции:’,Y:8:3);

WRITELN(‘Число итераций:’,K:3);

END.

Пример 1.16. Вычислить сумму при х =0,5.

Суммирование прекращать, когда очередной член суммы будет меньше заданного е = 0.0001.

Решение.

В приведенной ниже программе используется цикл REPEAT:

PROGRAM Prim116;

VAR

X, Eps, S, A : REAL;

N : INTEGER;

BEGIN

X := 0.5;

Eps:=0.0001;

S:=0;

N:=1;

REPEAT

A:=cos(n*x)/n;

S:=s+a;

N:=N+1;

UNTIL a<Eps;

WRITELN( ‘Сумма равна ‘,S:8:5);

End .

Пример 1.17. Определить приближенное значение суммы элементов ряда:

S = l + x/1! + x³/3! + x⁵/5! +...

Суммирование выполнять до тех пор, пока очередное слагаемое не ста­нет меньше заданной величины Е.

Решение.

Анализ условия задачи

Исходными данными для решения задачи являются значения Х и Е, где Е — точность вычислений.

Вычисление суммы элементов ряда — цикл с неизвестным числом по­вторений.

Очевидно, что условие выполнения операторов тела цикла можно запи­сать в виде

WHILE A>=E DO,

где А — очередной элемент ряда;

Е — заданная точность вычислений.

В теле цикла следует:

— накапливать в переменной S значение предыдущего элемента ряда;

• получать новое значение элемента ряда.

Для вычисления нового элемента ряда необходимо определить законо­мерность изменения последующего элемента по сравнению с предыдущим.

Чтобы найти эту закономерность, попарно сравним соседние элементы и проанализируем выражение, на которое в каждом цикле нужно умножать предыдущий элемент. Результаты сравнения представлены в таблице.

Из приведенной таблицы видно, что числитель выражения от цикла к циклу не меняется: X ².

Знаменатель — произведение двух соседних натуральных чисел, то есть если первое число обозначим переменной К, то в общем виде выражение можно записать: P=X · Х/(K · (K + 1)), а значение К изменяется в каждом цикле на 2.

Итак,

WHILE A>=E DO

Begin

S:=S+A;

Р:=Х*X/(К*(К+1)) ;

А:=Р*А ;

К:=К+2 ;

END;

И последнее. До входа в цикл следует определить значения переменных S, А, К:

S:=1;

А:=Х;

К:=2;

(см. условие примера)

Возможный вариант программы

PROGRAM Prim117;

VAR

X, E, S, A, K, P: REAL;

{X – переменная для ввода и хранения аргумента

Е – переменная для ввода и хранения точности вычислений

S – переменная для получения суммы элементов ряда

A – переменная для получения очередного элемента ряда

К – переменная для получения знаменателя

P – переменная для вычисления значения выражения, на которое умножается предыдущий элемент}

{Блок ввода информации}

BEGIN

WRITE (‘Введите значение аргумента’);

READLN(Х);

WRITE (‘Введите точность вычислений’);

READLN(Е);

{Блок вычисления суммы}

S:=1;

А:=Х;

K:=2;

WHILE A>=E DO

BEGIN

S:=S+A;

P:=X*X/(К*(К+1)) ;

A:=А*Р ;

К:=К+2 ;

END ;

WRITELN(‘При значении аргумента = ’ , X);

WRITELN(‘Сумма элементов ряда = ’, S)

END.

Пример 1.18. Вычислить сумму

S =

для значений x, изменяющихся в пределах от 0.2 до 1 с шагом 0.2. Суммирование прекращать, когда очередной член суммы по абсолютной величине станет меньше е = 0.0001.

Решение.

Задача сводится к организации вложенных циклов. Внешний цикл по счетчику обеспечивает изменение х. Во внутреннем цикле по условию осуществляется вычисление сум­мы.

Член суммы a_n целесообразно представить в виде двух сомножителей: