Файл: Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1 Долгов АН. ОПТИКА ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ АТОМНАЯ ФИЗИКА ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА Москва 2009
2
УДК ??????
ББК ?????? Д ????? Долгов АН. Оптика. Основы теории относительности. Атомная физика. Физика атомного ядра. – М НИЯУ МИФИ – 172 с. Аннотация будет ???
ISBN ?????
3 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Геометрическая оптика ...................................................................... 4
§ 1. Законы геометрической оптики (Введение. 4
§ 2. Прямолинейное распространение света (Задачи) .......................... 10
§ 3. Преломление света. Полное внутреннее отражение (Задачи. 19
§ 4. Тонкие линзы (Введение) .................................................................. 29
§ 5. Линзы (Задачи) ................................................................................... 33 Глава 2. Физическая оптика ........................................................................... 52
§ 6. Волновая оптика (Введение) ............................................................. 52
§ 7. Скорость света в среде (Задачи) ...................................................... 59
§ 8. Интерференция (Задачи) ................................................................... 62
§ 9. Дифракция (Задачи) ........................................................................... 77
§ 10. Квантовая оптика (Введение) .......................................................... 84
§ 11. Фотоны (Задачи) ............................................................................... 89
§ 12. Давление света (Задачи) ................................................................. 97
§ 13. Фотоэффект (Задачи) ..................................................................... 102 Глава 3. Элементы теории относительности. Атомная физика. Физика атомного ядра .................................................................... 110
§ 14. Элементы теории относительности (Введение) .......................... 110
§ 15. Относительность времени и расстояния (Задачи) ...................... 115
§ 16. Кинетическая энергия и импульс релятивистской частицы (Задачи) ................................................ 123
§ 17. Атомная физика (Введение) .......................................................... 127
§ 18. Атомная физика (Задачи) .............................................................. 131
§ 19. Физика атомного ядра (Введение) ................................................ 146
§ 20. Строение атома (Задачи) ............................................................... 151
§ 21. Дефект массы (Задачи) .................................................................. 162
4 Глава 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 1. Законы геометрической оптики. Световой луч. Прямолинейное распространение света. Обратимость хода светового луча. Законы отражения света. Относительный и абсолютный показатель преломления. Законы преломления света (законы Снел- лиуса). Полное внутреннее отражение. Принцип Ферма. Изображение в оптической системе. Плоское зеркало. Для описания распространения и взаимодействия электромагнитного излучения с веществом используют различные приближения, те. упрощенные, идеализированные теоретические представления геометрической оптики, волновой оптики и квантовой оптики. Приближение геометрической оптики используется в тех случаях, когда длина волны электромагнитного излучения мала по сравнению с характерными размерами тех областей, в которых исследуются свойства излучения ив которых изменяются характеристики среды. В этом случае электромагнитные волны можно приближенно считать плоскими и рассматривать их как совокупность световых лучей – линий, совпадающих с направлением распространения электромагнитной волны в каждой точке. Представления геометрической оптики справедливы, если можно пренебречь дифракцией электромагнитных волн. А поскольку все дифракционные явления ослабевают с уменьшением длины волны, то геометрическая оптика отвечает случаю малых длин волн
λ → 0. В рамках приближения геометрической оптики могут быть поняты простейшие оптические явления, такие как возникновение теней и получение изображений в оптических приборах. В основе геометрической оптики лежат четыре закона, установленных опытным путем
1. закон прямолинейного распространения света
2. закон независимости световых пучков
3. закон отражения света
4. закон преломления света. Согласно закону прямолинейного распространения света, световой луч в прозрачной однородной среде распространяется по прямой линии.
5 Закон независимости световых пучков состоит в том, что распространение всякого светового пучка в среде совершенно не зависит оттого, есть в ней другие пучки света или нет, те. световой пучок, прошедший через какую-либо область пространства, выходит из нее таким же, независимо оттого, заполнена она другой световой волной или нет. При наложении, пересечении нескольких световых пучков, они не искажают друг друга или, как принятого- ворить, они не возмущают друг друга. На основе законов прямолинейного распространения света и независимости световых пучков и сложилось представление о световых лучах как о линиях, вдоль которых распространяется свет. В таком понимании луч является чисто математическим понятием. В физическом смысле под лучом понимают конечный достаточно узкий световой пучок. Падая на поверхность какого-либо предмета, свет частично отражается. Остальная его часть либо поглощается предметом (и превращается в тепло, либо (если предмет прозрачен) проходит сквозь предмет. Согласно закону отражения (иногда говорят о законах отражения
1) падающий (AO), отраженный
(OC) лучи и перпендикуляр к границе раздела двух сред (BE), восстановленный в точке падения луча (O), лежат водной плоскости (эта плоскость называется плоскостью падения
2) угол падения
α (угол между перпендикуляром нормалью – к поверхности и падающим лучом) равен углу отражения
β (углу между перпендикуляром к поверхности и отраженным лучом, те.
α = β (см. рис. 1.1); Когда свет переходит из одной прозрачной среды в другую, причем свет падает под некоторым углом к поверхности раздела двух сред, то наблюдается явление преломления света. Согласно закону преломления (иногда говорят о законах преломления
1) лучи падающий (AO), преломленный (OD) и перпендикуляр к границе раздела двух сред (BE), восстановленный в точке падения луча (O), лежат водной плоскости Рис. 1.1
6 2) отношение синусов углов падения
α и преломления γ (угла между перпендикуляром к поверхности, разделяющей две среды, и отраженным лучом) есть величина постоянная для заданных среди заданной длины
21
sin sin
n
α =
γ
, (1.1) где
21
n
называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой (см. рис. 1.1). Отношение скорости света в вакууме (c = 2,998
⋅ 10 8
мс) к скорости света (v) в данной среде называют абсолютным или, просто, показателем преломления этой среды
c
n
=
v
. (1.2) Среда называется однородной, если показатель преломления ее везде одинаков. Как показывает опыт (можно теоретически доказать в рамках волновой оптики) отношение (абсолютных) показателей преломления
2
n
и
1
n
двух сред, на границе раздела которых происходит преломление светового луча, равно относительному показателю преломления этих сред
2 21 1
n
n
n
=
. (1.3) Для запоминания, а в ряде случаев и для решения задач, математическое выражение закона преломления удобнее представить в виде
1 1
2 2
sin sin
⋅
ϕ =
⋅
ϕ
n
n
, (1.4) где
1 1
,
ϕ
n
и
2 2
,
ϕ
n
– (абсолютный) показатель преломления и угол между перпендикуляром к границе раздела двух среди световым лучом, впервой и второй среде, соответственно. Из закона преломления следует, что если свет переходит из среды оптически менее плотной в среду оптически более плотную, те.
1 2
<
n
n
, то
α > γ и световой луч при пересечении границы раздела сред будет приближаться к нормали. Когда свет переходит их среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную, те.
1 2
>
n
n
, то световой луч при пересечении границы раздела сред будет отклоняться от нормали и может оказаться, что при некотором
7 угле падения кр, который называют критическим углом падения (или предельным углом полного внутреннего отражения, будет выполнено условие кр sin
1
γ =
⋅
α =
n
n
, (1.5) что означает для угла преломления
2
γ = π , те. световой луч распространяется, не проникая во вторую среду. Если выполняется условие кр ≥ α , то преломленный луч отсутствует и весь свет отражается. Это явление получило название полного внутреннего отражения. Если свет переходит из вещества с показателем преломления
1
=
n
n
в воздух, для которого
2 1,
≅
n
то условие полного отражения примет вид кр = . (1.6) Световой луч обладает свойством обратимости хода. Если световой луч, испущенный из точки A, двигаясь в определенной среде, попадает в точку B, в которой его направление распространения изменяют на противоположное, то он вновь попадет в исходную точку A, пройдя по той же самой траектории. Каждая точка S источника света в геометрической оптике считается центром расходящегося пучка лучей, который называется гомоцентрическим. Если после отражений и преломлений в различных средах пучок остается гомоцентрическим, то его центр S
′ называют изображением точки S в оптической системе. Изображение
S
′ называют действительным, если в точке S
′ пересекаются сами лучи пучка, и мнимым, если в ней пересекаются продолжения этих лучей (в направлении, противоположном направлению распространения лучей. Простейшая оптическая система – плоское зеркало. На рис. 1.2 показано, как формируется изображение плоским зеркалом. Рассмотрим два луча, выходящих из точки S, являющейся источником света, и попадающих в точки A и C зеркала. После отражения от зеркала эти лучи идут расходящимся пучком, и мы, видим изображение точки как точку пересечения за зеркалом продолжений этих лучей. Нетрудно увидеть, что точка
S и ее мнимое изображение S
′ располагаются симметрично, относительно плоскости зеркала. Таким образом, для того, чтобы найти изображение точки (S) в плоском зеркале, достаточно на продолжении перпендикуляра (SO), опущенного из точки на зеркало, отложить за зеркалом в качестве продолжения такой же отрезок прямой (OS
′). Геометрические размеры протяженного источника света и его мнимого изображения в плоском зеркале одинаковы. Законы отражения и преломления света могут быть объединены в рамках принципа Ферма, который дает наглядное объяснение законам распространения света. Согласно принципу Ферма, свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения. Покажем, что из принципа Ферма законы отражения и преломления вытекают как следствия. Пусть луч света попал из точки A в точку B, отразившись от плоского зеркала в точке E. DE – нормаль к поверхности зеркала. Точки A и B лежат в плоскости
XOY, плоскость зеркала совпадает с плоскостью XOZ. Среда однородная за пределами зеркала, и скорость света везде одинакова. Тогда условие минимальности времени прохождения пути равносильно условию минимальности самого пути. Длина ломаной линии
AEB см. рис. 1.3):
2 2
2 2
(
)
=
+
+
−
+
A
B
B
L
x
y
x
x
y
, где x – координата точки E, которую можно варьировать. Рис. Рис. 1.3
9 Функция
( )
x
L сверху никак не ограничена, поэтому, если у нее имеется экстремум, то это минимум. Запишем условие экстремума через производную
2 2
2 2
2(
)
1 2
1 0
2 2
(
)
−
= ⋅
− ⋅
=
+
−
+
B
A
B
B
x
x
dL
x
dx
x
y
x
x
y
,
2 2
2 2
(
)
−
⇒
=
+
−
+
B
A
B
B
x
x
x
x
y
x
x
y
, а это и есть условие равенства углов падения и отражения, так как
2 2
sin
α =
+
A
x
x
y
и
2 2
sin
(
)
−
β Пусть теперь луч света попал из точки A в точку B и пересек при этом в точке E границу раздела двух сред с показателями преломления и
2
n
(см. рис. 1.4). Граница раздела сред совпадает с плоскостью. Точки A и B лежат в плоскости XOY. Время распространения света вдоль ломаной AEB можно выразить следующим образом, где c – скорость света в вакууме x – координата точки E, которую можно варьировать. Функция
( )
x
t
сверху никак не ограничена, поэтому, если у нее имеется экстремум, то это минимум. Запишем условие экстремума через производную
1 2
2 2
2 2
2(
)
1 2
1 0
2 2
(
)
−
=
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
=
+
−
+
B
A
B
B
n
n
x
x
dt
x
dx
c
c
x
y
x
x
y
,
1 2
2 2
2 2
(
)
−
⇒
⋅
=
⋅
+
−
+
B
A
B
B
x
x
x
n
n
x
y
x
x
y
, Риса это и есть соотношение для углов падения и преломления, так как
2
sin
α =
+
A
x
x y
и
2 2
sin
(
)
−
γ =
−
+
B
B
B
x
x
x
x
y
§ 2. Прямолинейное распространение света. Отражение света. Плоское зеркало ЗАДАЧИ. Источник света S находится над круглой непрозрачной пластинкой на расстоянии a
= 1 мот нее (рис. 2.1). Расстояние от пластинки до экранам а диаметр тени от пластинки на экране d
= 2,7 м. Определить радиус пластинки r. Решение. На рис. 2.2 приведена схема образования тени на экране согласно закону прямолинейного распространения света. В силу подобия треугольников
1
SAA
и
1
SBB
можем записать соотношением. На какой высоте H находится точечный источник света над горизонтальной поверхностью стола, если тень от вертикально поставленного на стол карандаша длиной h
= 15 см оказалась равной
l
= 10 см Расстояние от основания карандаша до основания пер-
Рис. 2.1 Рис. 2.2
11 пендикуляра, опущенного из источника света на поверхность стола см. Ответ
(
)
⋅ +
=
=
h l L
H
l
150 см.
2.3. Диаметр источника света d = 20 см, расстояние от него до экранам. На каком наименьшем расстоянии l от экрана нужно поместить мяч диаметром
1
=
d
8 см, чтобы он не отбрасывал тени на экрана давал только полутень Прямая, проходящая через центры источника света и мяча, перпендикулярна плоскости экрана. Источник света имеет форму шара. Указание. На рис. 2.3 представлена схема образования на экране области тени AB, те. области, в которую свет от источника не попадает. Полутень – область на экране, для которой световой поток от источника частично перекрыт мячом (на рис. 2.3 –
1
AA
и Ответ
1
⋅
=
=
S d
l
d
80 см.
2.4. Колышек высотой h = 1 м, поставленный вертикально вблизи уличного фонаря, отбрасывает тень длиной
1
=
l
0,8 м. Если перенести колышек на расстоянием дальше от фонаря (в той же плоскости, то он будет отбрасывать тень длиной
2
=
l
1,25 м. На какой высоте H подвешен фонарь Источник света можно считать точечным. Ответ
2 1
2 1
(
)
+ − ⋅
=
=
−
d l
l
h
H
l
l
3,2 м.
2.5. Плоское зеркало повернули вокруг оси, проходящей через точку падения на небо луча света и перпендикулярно плоскости Рис. 2.3
12 падающего и отраженного лучей. На какой угол повернули зеркало, если отраженный от него луч повернулся на угол
α = 42°? Решение. На рис. 2.4 представлена схема поворота отраженного луча при повороте зеркала в соответствии с законом отражения света
β – углы падения и отражения луча до поворота зеркала ϕ –
угол поворота зеркала штрихпунктирной линией показана нормаль к поверхности зеркала, проведенная в точку падения луча на поверхность. Как следует из рис. 2.4, г угол поворота отраженного луча при повороте зеркала составляет
(
) (
) 2
α = ϕ − β + β + ϕ = ϕ
2 21 .
⇒
ϕ = α = °
2.6. Солнечный луч составляет с поверхностью Земли угол
ϕ = 40°. Под каким углом к горизонту α следует расположить плоское зеркало, чтобы солнечный луч падал на дно глубокого колодца Ответ
α = 65°.
2.7. Человек ростом
=
h
175 см, находится на расстоянии
=
l
6 мот столба высотой
=
H
7 м. На каком расстоянии от себя человек должен положить на землю маленькое плоское зеркало, чтобы увидеть в нем изображение верхушки столба Решение. Чтобы человек мог увидеть в зеркале отражение верхушки столба (точка
1
C
на рис. 2.5), луч (отрезок
1
C B
), идущий из вершины столба к зеркалу, которое в силу его малости можно считать точечным объектом (точка B на рисунке, после отражения Рис. 2.4
13 отрезок
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
BA
) должен проходить через органы зрения человека (точка
1
A
). BD – нормаль к поверхности зеркала и одновременно к поверхности земли. Согласно закону отражения углы
1
C BD
и
1
A равны, следовательно, равны углы
1
A и
1
C BC
. Таким образом, прямоугольные треугольники
1
AA B
и
1
CC B
оказываются подобными
1 1
:
:
,
=
⇒
=
=
−
h
H
A A AB C C BC
x
AB
x
e x
⇒
=
=
+
hl
x
h H
1,2 м.
2.8. Человек ростом
=
H
1,8 м видит Луну по направлению, составляющему угол
60
α = ° с горизонтом. На каком расстоянии от себя человек должен положить на землю маленькое плоское зеркало, чтобы в нем увидеть отражение Луны Ответ ctg
= ⋅
α =
x H
1,04 м.
2.9. Построить изображение отрезка прямой в плоском зеркале (рис. 2.6). Указание. Плоское зеркало дает неискаженные изображения предметов. Таким образом, изображение отрезка AB в зеркале будет представлять собой отрезок прямой, проходящей через изображения точек A и B.
2.10. Две лампочки находятся в точках A и B перед зеркалом, укрепленным на вертикальной стене. Построением показать, где расположен глаз человека, увидевшего в зеркале изображения лампочек совмещенными
2.11. Почему на поверхности водоема образуется лунная дорожка Можно ли ее наблюдать на идеально гладкой поверхности воды Почему она всегда направлена к наблюдателю Рис. 2.5 Рис. 2.6 Рис. 2.7
14 Указание. Идеально гладкая поверхность воды представляет собой горизонтально расположенное плоское зеркало. При наличии небольшого волнения роль зеркал выполняют отдельные участки водной поверхности. Поверхность воды хорошо отражает падающий на нее свет при малых углах между поверхностью и падающим лучом, те. при больших (близких к 90
°) углах падения. При наблюдении вдоль направления к Луне при условии, что угол между лучом зрения и поверхностью водоема мал, отдельные блики практически сливаются. Руководствуясь вышеизложенными соображениями, можно ответить на поставленные вопросы.
2.12. На поверхности плоского экрана находится точечный источник света. Параллельно экрану расположено зеркало в форме равностороннего треугольника со стороной
=
a
20 см. Центр зеркала находится напротив источника. Определить площадь светового пятна, образованного на экране отраженными от зеркала лучами. Ответ 688 см 2.13. Параллельный пучок лучей падает на полусферу, лежащую на плоском зеркале, под углом
α к зеркалу. Определите размеры тени на вертикальном экране. Поверхность полусферы свет не отражает. Радиус полусферы равен R. Какую форму имеет тень Решение. Н рис. 2.8 показана схема формирования тени. Вертикальный размер тени на экране (длина отрезка) составляет 2R/cos
α из рассмотрения треугольника
ABC. Горизонтальный размер тени не превышает 2R, как нетрудно догадаться. Тень имеет форму эллипса, вытянутого по вертикали.
2.14.* Солнечные лучи, проходя сквозь маленькие отверстия в листве, дают на поверхности земли светлые пятна в виде эллипсов одинаковой формы, но разных размеров. Большая ось самых крупных эллипсов
=
a
16 см, а Рис. 2.8
15 малая ось
=
b
12 см. Какова высота дерева, если угловой размер солнечного диска
2 10
−
α =
радиан Указание. Так как по условию задачи светлые пятна на земле имеют одинаковую форму, а отверстия, сквозь которые прошел образующий их свет, маленькие, то можно рассматривать указанные отверстия в качестве точечных источников света, испускающих лучи в пределах конуса с углом раствора равным
α каждый, причем оси симметрии этих конусов параллельны друг другу. Самые крупные светлые пятна соответствуют отверстиям в листьях на вершине дерева. На рис. 2.9 представлена схема формирования на поверхности земли светлых пятен эллиптической формы. Угол, который составляет с вертикалью ось симметрии конического пучка лучей, обозначен как
β. Угол между образующими конуса AC и AD – угол раствора, равный
α << 1 радиан. По построению отрезок CE перпендикулярен оси симметрии конуса, следовательно углы BAG и ECD равны, как углы (оба острые) со взаимно перпендикулярными сторонами. В силу того обстоятельства, что угол
α – мал (α = 10
–2
радиан <<
<< 1 радиан, хорду CE можно аппроксимировать дугой окружности радиуса AC, тес большой степенью точности заменить длину указанной дуги длиной хорды CE в выражении для величины плоского угла CAE, выраженной в радианах
α Одновременно можно заметить, что в силу малости угла
α, углы
≅
= β
BAC BAG
, те. Из рассмотрения треугольника
CDE следует, что cos
=
⋅
β
CE CD
, где CD – большая ось самых крупных эллипсов. Нетрудно догадаться, что малая ось самых крупных эллипсов равна
CE. Ответ
2
≅
≅
α ⋅
b
H
a
9 м. Рис. 2.9
16 2.15. Показать построением область пространства на плоскости чертежа, в котором изображение отрезка прямой
AB в плоском зеркале CD будет видно полностью (см. рис. 2.10). Решение. На рис. 2.11 показаны все необходимые построения и
,
′′
′′ ′
=
BB
B B таким образом, отрезок
′ ′
A B
является изображением отрезка
AB
в плоском зеркале CD. Прямые, проходящие через точки
′
A
и C,
′
A
и D, ограничивают область пространства, в которой будет видно изображение точки A отрезка AB. Пересечение двух вышеуказанных областей пространства (на рис. 2.11 заштриховано) – это та область пространства, в которой будут видны одновременно изображения обоих концов отрезка и, следовательно, изображение отрезка AB полностью.
2.16. Какой минимальной высоты h должно быть вертикальное плоское зеркало, чтобы человек мог, не изменяя положение головы, видеть в нем себя в полный рост H? На каком расстоянии S от пола должен находится нижний край зеркала в этом случае Зависит ли искомый размер зеркала от расстояния между зеркалом и человеком Ответ
2
=
h H
;
2
=
S H
; не зависит.
2.17. В комнате длиной
L и высотой H на стене висит плоское зеркало. Человек смотрит в него с расстояния l. Какова высота зеркала, если человек видит противоположную стену вовсю высоту На каком расстоянии S от пола находится зеркало, если рост человека равен
1
h ? Ответ
≥
+
H l
h
L l
;
1
≥
+
h L
S
L Рис. 2.10 Рис. 2.11
17 2.18. Девочка приближается к зеркалу перпендикулярно его поверхности со скоростью
=
υ
0,5 мс. С какой скоростью изображение девочки приближается к зеркалу
1
( )
υ
? к девочке
2
( )
υ
? Указание. Проделав необходимые построения можно убедиться в том, что насколько девочка зафиксированный интервал времени приблизилась к зеркалу, ровно настолько же приблизилось к зеркалу за тот же интервал времени ее изображение. Ответ
1
= =
υ υ
0,5 мс
2 мс.
2.19. Точка
S движется со скоростью
1
=
υ
3 см/с параллельно поверхности плоского зеркала. Зеркало движется в направлении, перпендикулярном его поверхности, поступательно со скоростью
2
=
υ
2 см/с. С какой скоростью движется изображение точки
S? Указание. Необходимо воспользоваться принципом сложения скоростей в нерелятивистской механике. Скорость точки
S есть результат векторного сложения скорости изображения точки
S относительно зеркала и скорости зеркала относительно земли. Ответ
2 2
1 1
2 4
=
+
=
υ
υ
υ
5 мс.
2.20. Отражающая поверхность зеркала составляет с плоскостью стола угол
135 .
α =
° По направлению к зеркалу по столу катится шар со скоростью
=
υ
2 мс. В каком направлении и с какой скоростью движется изображение шара Ответ Вертикально вверх стой же скоростью
=
υ
2 мс.
2.21. Маленькое плоское зеркало З расположено параллельно стене С (рис. 2.12). Свет от укрепленного на стене точечного источника
S падает на зеркало и, отражаясь, дает на стене зайчик. С какой скоростью
υ
будет двигаться зайчик по стене, если а) приближать к ней зеркало со скоростью
1
υ
, б) перемещать зеркало параллельно стене со скоростью
2
υ
? Ответа б)
2 2
=
υ
υ
2.22.* Два зеркала образуют двугранный прямой угол. На систему зеркал падает луч, перпендикулярный ребру угла. Как изменится направление распространения света после отражения от двух зеркал Рис. 2.12
18 Указание. Необходимо воспользоваться законом отражения света (см. рис. 2.13). Ответ Направление распространения света изменится на противоположное.
2.23.* Два зеркала образуют двугранный угол
2
α < π . На одно из них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Найти угол отклонения этого луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Решение. Схема последовательного отражения падающего на систему из двух плоских зеркал луча показана на рис. 2.14 с учетом закона отражения,
ϕ – искомый угол отклонения падающего луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Рассмотрим треугольники
ABC и ACD:
(
)
,
2 2
2 2
π
π
⎧⎛
⎞
⎛
⎞
− β + α +
− γ = π
⎪⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎨
⎪ β + γ + π − ϕ = Вышеприведенная система уравнений составлена на основании того обстоятельства, что сумма внутренних углов треугольника равна
π радиан.
2 .
2 2(
)
α = β + γ
⎧
⇒
⇒
ϕ = α
⎨ϕ = β+ β+ γ
⎩
2.24.* Два зеркала образуют двугранный угол
2
α > π . На одно из них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Найти угол отклонения падающего луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Ответ 2 2
ϕ = π − α . Рис. 2.13 Рис. 2.14
19 2.25.* Построить луч, который, выйдя из точки
A, в результате последовательного отражения в двух взаимно перпендикулярных зеркалах, придет в точку
B (рис. 2.15). Указание. Необходимо построением определить положение изображений точек
A ив указанных зеркалах (см. рис. 2.16) и указать траекторию луча, удовлетворяющую закону отражения.
§ 3. Преломление света. Полное внутреннее отражение ЗАДАЧИ. Построить ход преломленного луча вплоть до выхода из кубика, составленного из двух призм (рис. 3.1), если
0 1
2
< <
n
n
n , где
0
n ,
1
n и
2
n – показатели преломления окружающей среды и материала призм, соответственно. Решение. Требуемое построение выполнено на рис. 3.2. Пунктирными линиями показаны продолжения падающих на границу раздела двух сред лучей, штрихпунктирными линиями указаны нормали к границе раздела сред. Согласно закону преломления при нормальном падении луча угол между лучом и нормалью, те. угол падения, равен нулю) Рис. 2.15 Рис. 2.16 Рис. 3.1 Рис. 3.2
20 преломленный луч является продолжением падающего луча, те. угол преломления равен нулю. Так как синус угла для острых углов является монотонно возрастающей функцией (с возрастанием аргумента возрастает значение функции, тов соответствии с законом преломления при переходе луча из среды с меньшим показателем преломления в среду с бóльшим показателем преломления величина угла между лучом и нормалью к границе раздела сред уменьшается, те. угол падения оказывается больше угла преломления. И наоборот, если световой луч проходит из среды с бóльшим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления, то величина угла между лучом и нормалью к границе раздела сред возрастает, те. угол падения оказывается меньше угла преломления.
3.2. Построить ход преломленного луча вплоть до выхода из кубика, составленного из двух призм (рис. 3.1), если
0 2
1
<
<
n
n
n , где
0
n ,
1
n и
2
n – показатели преломления окружающей среды и материала призм, соответственно.
3.3. При падении луча на границу раздела двух оптических сред под углом
45
α = ° угол преломления
60 .
β = ° Каков будет угол преломления
δ, если угол падения 30
γ = ° при распространении в том же направлении Решение. Согласно закону преломления на границе двух оптических сред с показателями преломления
1
n и
2
n можем записать следующие соотношения
1 2
1 2
sin sin sin sin sin
0,61 sin
38 .
sin sin sin
⋅
α = ⋅
β
⎧
γ ⋅
β
⇒
δ =
≅
⇒
δ ≅ °
⎨ ⋅ γ = ⋅ δ
α
⎩
n
n
n
n
3.4. Луч падает на границу раздела двух оптических сред под углом 30 .
α = ° Показатель преломления первой среды
1
=
n
2,4. Определить показатель преломления второй среды, если преломленный и отраженный луч взаимно перпендикулярны. Указание. 90 ,
α + β = ° где β – угол преломления. Ответ
2 1
tg
= ⋅ α ≅
n
n
1,4.
21 3.5. Световой луч падает на поверхность воды под углом
1 40 .
α = ° Под каким углом он должен упасть на поверхность стекла, чтобы угол преломления остался таким же Показатели преломления воды истекла в и c
1,50
n
=
соответственно. Ответ
2 46 .
α = °
3.6. Под каким углом должен падать луч света на поверхность материала с показателем преломления
1,73
n
=
, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения Ответ
2arccos
60 .
2
n
⎛ ⎞
α =
= °
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3.7. Столб вбит в дно реки так, что часть столба высотой
1,00
h
=
м возвышается над водой. Найти длину тени столба на дне реки, если высота солнца над горизонтом 30 ,
γ = ° а глубина реки
2,00
H
=
м. Показатель преломления воды Решение Луч SO, определяющий длину тени от столба, будет по условию проходить через его вершину
S под углом
γ к горизонту (рис. 3.3). Следовательно, угол падения этого луча будет равен 90 60 .
α = ° − γ = ° На поверхности воды (на границе раздела двух оптических сред – воздуха и воды) в точке O этот луч преломится ив воду войдет под углом, определяемым из закона преломления Длина тени L от столба будет равна сумме отрезков DB и BC. Так как DB
= AO длину отрезка DB найдем из треугольника SAO: ctg
DB AO h
=
= ⋅
γ . Длину отрезка BC найдем из треугольника OBC: Рис. 3.3
22 2
2 2
sin cos tg
1 sin cos
BC H
H
H
n
β
γ
= ⋅ β = ⋅
= Окончательно для длины тени от столба на дне реки имеем
2 2
cos ctg cos
L h
H
n
γ
= ⋅
γ + ⋅
=
−
γ
3,45 м.
3.8. Палка с изломом посередине погружена в пруд (рис. 3.4) так, что наблюдателю, находящемуся на берегу и смотрящему вдоль надводной части, она кажется прямой, составляющей угол cos 30
= ° с горизонтом. Какой угол излома
γ имеет палка Показатель преломления воды равен Ответ cos arccos
20 .
n
n
⎛
⎞
γ =
− α ≅ °
⎜
⎟
⎝
⎠
3.9. На дне водоема лежит небольшой камень. Мальчик хочет попасть в него концом палки. Прицеливаясь, мальчик держит палку в воздухе под углом 45
α = ° к поверхности воды. На каком расстоянии от камня воткнется палка в дно водоема, если его глубина
50
H
=
см Показатель преломления воды равен Ответ
2 2
cos ctg cos
S H
n
⎛
⎞
α
Δ = ⋅
α −
=
⎜
⎟
⎝
⎠
−
α
19 см.
3.10. На пути параллельного пучка лучей поместили стеклянную призму с малым углом раствора граней 4 .
α = ° Показатель преломления стекла n
= 1,5. Свет падает на призму под прямым углом к грани (рис. 3.5). Определить ширину темной полосы на экране Э, расположенном параллельно передней грани призмы на расстоянии
S
= 10 см от нее. Указание. Для малых углов
1
α << радиан рад.
≅ 57°) с большой точностью выполняются равенства sin tg
α ≅ α ≅ α , Рис. 3.4 Рис. 3.5
23 где угол
α выражен в радианах. Таким образом, значения синусов и тангенсов малых углов можно заменить значением самих углов, выраженных в радианах. Ответ
(
)
1
l
n
S
Δ ≅ − ⋅α ⋅ = 3,5 мм.
3.11. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом 45 .
α = ° Определить толщину пластинки, если луч при выходе из нее сместился на расстояние d
= 2,0 см (рис. 3.6). Показатель преломления стекла равен 1,5. Ответ
2 2
sin sin cos
n
l d
−
α
= ⋅
=
α
α
5,3 см.
3.12.* На стопку плоскопараллельных пластинок с различными показателями преломления падает луч под углом 60
α = ° риск нормали и преломляясь проходит сквозь всю стопку. Показатели преломления первой и последней пластинок в стопке равны
1 1
n
= и
2 4 3
n
=
. Определить угол
β между нормалью и лучом в последней пластинке. Указание. Использовать закон преломления в виде
1 1
2 2
sin sin
n
n
⋅
ϕ = ⋅
ϕ . Ответ 40 .
β = °
3.13. На дне водоема глубиной H находится точечный источник света. На поверхности воды плавает непрозрачный диск, причем центр диска находится над источником При каком минимальном радиусе диска ни один луч света не выйдет через поверхность воды из водоема Дно водоема свет практически не отражает. Показатель преломления воды равен n. Решение. Ни один луч света от источника S не покинет пределы водоема, если для луча SA, идущего от источника к краю диска, при пересечении поверхности воды угол преломления окажется равным
90°, так как любой луч
1 2 3 4 5 6 7 8 9
SB, идущий от источника к точке поверхности воды B, лежащей за пределами диска, будет испытывать полное внутреннее отражение (см. рис. 3.8). Рис. 3.6 Рис. 3.7
24 При указанных условиях радиус диска R окажется минимальным необходимым. Если угол падения луча SA на поверхность воды обозначить, то согласно закону преломления можно будет записать соотношение
2 1
sin
1 sin
1
cos
n
n
n
n
⋅
α = ⇒
α =
⇒
−
⇒
α Далее рассмотрим треугольник
SOA: так как SO H
= и
,
OA R
=
то
2
sin
1
tg cos
1
R
H
n
α
= α =
=
⇒
α
−
min
2 1
H
R
n
⇒
=
−
3.14. Тело в форме конуса с углом между осью и образующей
60
α = ° погружено целиком в прозрачную жидкость вершиной вниз так, что ось симметрии тела вертикальна. При этом боковую поверхность тела нельзя видеть ни из какой точки пространства над поверхностью жидкости. Чему равен показатель преломления жидкости Ответ
n
≥ 1,15.
3.15. Широкий параллельный пучок световых лучей падает на плоское основание стеклянного полушара с показателем преломления перпендикулярно плоскости основания. Каков максимальный угол отклонения прошедших через полушар лучей от их первоначального направления Указание. Угол отклонения
ϕ прошедшего через полушар луча от первоначального направления будет максимальным, если угол падения
α на гра-
Рис. 3.8 Рис. 3.9
25 ницу стекло-воздух окажется предельным углом внутреннего отражения, те. соответствующий ему угол преломления будет равен
90°. Ответ max
1 90
arcsin
45 .
n
ϕ
= ° −
= °
3.16.* На полушар радиусом
r
= 2,0 см изготовленный из стекла с показателем преломления
n
= 1,4; падает параллельный пучок лучей (рис. 3.10) перпендикулярно плоскости основания полушара. Определить радиус светлого пятна на экране Э, расположенном на расстоянии
L
= 3,8 см от центра полушара и параллельном основанию полушара. Ответ
2 1
R
n
L n r
=
− ⋅ − ⋅ ≅ 1,0 см.
3.17. Пучок длинных тонких нитей, выполненных из материала с показателем преломления
7 2
n
=
образует светопровод. В каждой из нитей свет распространяется, испытывая многократные полные отражения на боковой поверхности (см. рис. 3.11). Определите угол зрения такого световода (те. определите, под каким максимальным углом
ϕ коси нити может падать световой луч на торец, чтобы пройти по световоду без ослабления. Ответ
(
)
2
max arcsin
1 60 .
n
ϕ
=
− = °
3.18.* Каким должен быть внешний радиус изгиба световода толщиной l (рис. 3.12), чтобы свет, вошедший в световод перпендикулярно поперечному сечению, распространялся не выходя через боковую поверхность световода Показатель преломления материала световода равен n. Рис. Рис. Рис. 3.12
26 Указание. Нетрудно увидеть из рис. 3.13, что при последующих отражениях от боковой поверхности световода происходит увеличение угла падения, что, в свою очередь, облегчает условия для полного внутреннего отражения. Ответ
1
nl
R
n
−
3.19. Определить кажущуюся глубину водоема h, если смотреть на него сверху, практически перпендикулярно к поверхности воды. Фактическая глубина водоема H, показатель преломления воды n. Решение. Условие задачи означает, что в глаз наблюдателя попадают лучи света, распространяющиеся под малыми углами к перпендикуляру, восстановленном к поверхности воды, те. углы
α,
β << 1 радиан (см. риса. Для малых углов справедливы соотношения sin tg
,
sin tg
,
α ≅ α ≅ α
β ≅ β ≅ где
α и β выражены в радианах. Рис. 3.14, б демонстрирует схему формирования изображения точки A дна водоема в глазу наблюдателя. При этом луч AB распространяется по вертикали и не испытывает преломления на границе раздела двух сред воды и воздуха, а луч AC испытывает преломление. Прямая CD является продолжением преломленного луча. Рассмотрим треугольники BCD и BCA, и, принимая во внимание закон преломления, запишем следующие соотношения sin sin ,
tg tg .
n
h
H
⋅
α =
β
⎧
⎨ ⋅ β = ⋅ Учитывая малость углов
α − β можем привести указанные соотношения к виду Рис. 3.13 Рис. 3.14
27
,
n
H
h
h
H
n
⋅α = β
⎧
⇒
=
⎨ ⋅β = ⋅α
⎩
3.20. Пловец, нырнувший в бассейн, смотрит из-под воды на лампу на потолке, находящуюся на расстоянии h
= 4,00 мот поверхности воды практически над головой пловца. Каково кажущееся расстояние от поверхности воды до лампы Показатель преломления воды равен n
= 1,33. Ответ кажущееся расстояние от поверхности воды до лампы составляет 5,32 мВ сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости с показателями преломления
1
n
= 1,3 и
2
n
= 1,5. Сверху находится жидкость с показателем преломления
1
n
. Толщина слоя верхней жидкости см. На каком расстоянии от поверхности верхней жидкости будет казаться расположенным дно сосуда, если смотреть на него сверху вниз через обе жидкости Ответ
1 2
1 2
h
h
h
n
n
=
+
≅ 5,6 м.
3.22.* На высоте h от поверхности воды расположен точечный источник света. Где будет находится изображение этого источника, даваемое плоским горизонтальным зеркальным дном сосуда при наблюдении под малыми углами к вертикали, если толщина слоя воды равна d. Показатель преломления воды равен n. Ответ изображение будет находиться на расстоянии
2 от источника.
3.23.* Между наблюдателем и точечным источником света помещают плоскопараллельную пластинку толщиной h с показателем преломления n. На какое расстояние
Δx источник покажется приближенным к наблюдателю, если угол зрения с нормалью к поверхности пластинки считать малым Указание. Условие задачи подразумевает, что в глаз наблюдателя попадают лучи, составляющие малые углы с нормалью к поверхности пластинки. Ответ
1
h n
x
n
⋅
Δ =
−
28 3.24. Тонкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара, фокусируется в точке, отстоящей от центра шара на расстоянии, равном двум его радиусам. Определить показатель преломления стекла. Указание. Используя закон преломления с учетом малости рассматриваемых углов пучок узкий, те. его диаметр много меньше радиуса шара) можем записать следующие соотношения (см. рис. 3.15),
n
⇒
α = ⋅β = γ . Далее следует рассмотреть треугольники воспользоваться теоремой синусов. Ответ
4 .
3
n
=
3.25. Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой стеклянной призмы, поперечное сечение которой – равносторонний треугольник. Показатель преломления стекла n
= 1,5. Определить угол
ϕ между падающими вышедшим из призмы лучами. Ответ
60 .
ϕ = °
3.26. Световой луч падает на одну из боковых граней прямой стеклянной призмы в плоскости, параллельной основаниям призмы, и параллельно другой боковой грани. Сечение призмы – равносторонний треугольник рис. 3.16). Определить угол
ϕ между падающими вышедшим из призмы лучами. Показатель преломления стекла n
= 1,5. Ответ
47 .
ϕ ≅ ° Рис. 3.16 Рис. 3.15
29
§ 4. Тонкие линзы. Построение изображений в тонких линзах. Формула тонкой линзы. Оптическая сила тонкой линзы Линза – прозрачное осесимметричное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Прямая (ось симметрии, проходящая через центры сферических поверхностей, называется главной оптической осью. Линза считается тонкой (тонкая линза, если ее толщина много меньше, чем радиус ее поверхностей. Можно считать, что главная оптическая ось пересекает тонкую линзу водной точке, называемой (оптическим) центром линзы. Прямые, проходящие через центр линзы и не совпадающие с главной оптической осью, называются побочными оптическими осями. Во всех оптических инструментах используются тонкие пучки те. пучки малого по сравнению с радиусами сферических поверхностей линз диаметра, состоящие из практически параллельных лучей, идущие вблизи главной оптической оси системы. Такие пучки называются параксиальными. Лучи параксиального светового пучка, распространяющегося параллельно главной оптической оси системы, пересекаются в точке, лежащей на этой оси и называемой фокусом линзы. У всякой тонкой линзы имеются два фокуса, лежащие по разные стороны от линзы. Расстояние от фокуса до центра тонкой линзы называется фокусным расстоянием. Фокусы равноудалены от центра линзы, если оптическая среда по обе стороны линзы одинакова. Плоскость, проведенная через фокус линзы перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной. Лучи, проходящие через центр линзы, не преломляются. Лучи, падающие на линзу параллельно какой-либо побочной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в точке, лежащей в фокальной плоскости (в точке, в которой указанная побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость. Тонкие линзы по своим свойствам делятся на собирающие и рассеивающие. Особенности прохождения лучей в собирающих, линзах показаны на рис. 4.1. Луч 1–1
′, проходящий через центр тонкой линзы Сне преломляется. Луч 2–2
′, падающий параллельно главной оптической оси
OO
′, после преломления пересекает главную оптическую ось в фокусе. Если падающий луч 3–3
′ проходит через фокус, то после