Файл: Долгов ан. Оптика основы теории относительности атомная физика физика атомного ядра москва 2009 2.pdf

AA
′ и BB′ пересекаются в центре линзы O. Луч, идущий до линзы вдоль прямой AB после преломления в линзе должен идти вдоль прямой
A B
′ ′ Следовательно, точка K, лежащая на пересечении прямых AB и AB
′ принадлежит линзе (или прямой KL, идущей вдоль линзы. Очевидно, что линза – собирающая. Главная оптическая ось MN линзы проходит через ее центр, точку, перпендикулярно прямой KL. Рис. 5.8 Рис. 5.9 Рис. 5.10 Рис. 5.11

37 Для нахождения одного из фокусов проводим луч AC параллельно главной оптической оси MN. После преломления он должен проходить через изображение точки A, те. точку
,
A
′ и пересекать
MN в фокусе F. Второй фокус нетрудно построить отложив на прямой отрезок, равный отрезку OF, но слева от точки O.
5.10.* Задано положение предмета – отрезка прямой AB – и его изображения в тонкой линзе A B
′ ′ (рис. 5.12). Построением определить положение линзы, ее главной оптической оси и фокусов.
5.11. Имеется точечный источники его изображение в тонкой линзе. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из источника и его изображения на главную оптическую ось линзы, те. точками, принадлежащими этой оси, равно l. Кроме того известно, что а) источники его изображение лежат по одну сторону от главной оптической оси, расстояние от источника до главной оптической оси в 2 раза больше расстояния от изображения до главной оптической оси б) источники его изображение лежат по одну сторону от главной оптической оси, расстояние от источника до главной оптической оси в 2 раза меньше расстояния от изображения до главной оптической оси в) источники его изображение лежат по разные стороны от главной оптической оси, расстояние от источника до главной оптической оси в 2 раза больше расстояния от изображения до главной оптической оси. Для каждого из указанных случаев определить фокусное расстояние линзы. Ответа б)
2
F
l
= ; в)
2 9
F
l
=
5.12. Две линзы – собирающая с фокусным расстоянием
1
F
=
= 30 см и рассеивающая с фокусным расстоянием
2
F
= 10 см – расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Линзы преобразуют параллельный пучок света, падающий вдоль главной Рис. 5.12

38 оптической осина собирающую линзу, в параллельный же пучок другого диаметра. Определить расстояние между линзами и отношение диаметров входящего ивы- ходящего пучка. Указание. Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, лучи которого пересекаются в заднем фокусе линзы. Рассеивающая линза превращает сходящийся в ее переднем фокусе, который находится за линзой, пучок в параллельный пучок лучей (см. рис. 5.13, MN – главная оптическая ось. Ответ
1 2
l F
F
=
−
= 20 см вх.
вых.
D
D
= 3.
5.13. Две линзы – рассеивающая с фокусным расстоянием
1
F
= 20 см и собирающая с фокусным расстоянием
2
F
= 50 см – расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Линзы преобразуют параллельный пучок света, падающий вдоль главной оптической осина рассеивающую линзу, в параллельный же пучок другого диаметра. Определить расстояние между линзами и отношение диаметров входящего и выходящего пучка. Ответ l
= 30 см вх.
вых.
D
D
= 0,4.
5.14. На собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей. Определить фокусное расстояние линзы, если без линзы он сходится на расстоянии, которое в 2 раза больше и равно l
= 50 см. Решение. Рис. 5.14 иллюстрирует условие задачи. MN – главная оптическая ось, O – центр линзы
A – точка, в которой сходится пучок после преломления в линзе,
B – точка, в которой сходится пучок без линзы. Воспользуемся формулой тонкой линзы. Фигурирующая в условии задачи линза собирающая, Рис. Рис. 5.14

39 поэтому соответствующее слагаемое, содержащее фокусное расстояние линзы, войдет в формулу со знаком «+». Источник в данном случае мнимый (точка B), поэтому расстояние от линзы до источника равное l войдет со знаком «–». Изображение (A) является действительным, так как формируется в результате схождения самих лучей пучка, а не пересечением их продолжений. Следовательно, расстояние от линзы до изображения войдет в формулу со знаком «+». Итого имеем
1 1 2 2
l
F
F
l
l
= − +
⇒
= .
5.15. С помощью тонких собирающей и рассеивающей линз с одинаковым по величине фокусными расстояниями см получают параллельный пучок света. Точечный источник света S см. рис. 5.15) находится на расстоянии 2F от собирающей линзы. На каком расстоянии от нее находится рассеивающая линза Решение. Для того, чтобы после прохождения заданной оптической системы формировался параллельный пучок лучей, необходимо, чтобы изображение источника S, формируемое собирающей линзой в точке
1
S
на главной оптическое оси MN (рис. 5.15), совпадало с передним фокусом рассеивающей линзы, который расположен за линзой. Определим расстояние от собирающей линзы до формируемого ей изображения
1
S
источника S для чего воспользуемся формулой тонкой линзы
1 1 1 1
1 1
F
SO
O S
=
+
, где
1 2 ,
SO
F
=
1 1 2 .
O Таким образом
1 2 1 1 2 1 2
O O
O S
O S
F F
F
=
−
=
− = = 20 см.
5.16. В фокусе рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
F
= 20 см находится точечный источник света. На каком расстоянии от этой линзы надо поставить собирающую линзу с фокусным Рис. 5.15

40 расстоянием 2F, чтобы на выходе такой системы лучи были параллельны Ответ на расстоянии
3 2
F
= 30 см.
5.17. Перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием см на ее главной оптической осина расстоянии 2F находится точечный источник. На каком расстоянии от собирающей линзы между ней и источником необходимо разместить рассеивающую линзу с таким же по величине фокусным расстоянием и совпадающей главной оптической осью, чтобы получить на выходе параллельный пучок лучей. Ответ на расстоянии
3 5
2
F
−
≅ 8 см.
5.18. Автомобиль движется со скоростью
=
υ
72 км/ч на расстоянии м поперек луча зрения фотографа. Фокусное расстояние объектива F
= 50 см. Какова должна быть экспозиция, чтобы размытие изображения не превышало x
Δ = 0,1 мм Указание. В качестве предмета в данном случае следует рассматривать перемещение какой-либо точки автомобиля, а в качестве изображения предмета – перемещение изображения указанной точки, те. размытие. Экспозиция – время регистрации изображения. Объектив можно считать тонкой линзой. Ответ эксп 10
(
)
a F
t
a F
−
⋅
=
≅
⋅
−
⋅
υ
с.
5.19. Расстояние между двумя источниками света l
= 24 см. На каком расстоянии от источников следует поставить собирающую линзу с фокусным расстоянием F
= 9 см, чтобы изображения обоих источников оказались водной точке Указание. Одно из изображений будет действительным, другое мнимым. Ответ линзу следует поставить между источниками на расстоянии см от одного и на расстоянии
2 1
1 2
l
F
l
⎛
⎞
−
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
6 см от другого источника.

41 5.20. Точечный источник света находится на расстоянии
a
= 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием
F
= 30 см на ее главной оптической оси. На каком расстоянии от линзы нужно установить экран, чтобы получить на нем световое пятно радиусом r
= 1 см Радиус линзы R = 2 см. Указание. Схема формирования светового пятна на экране представлена на рис. 5.16. MN – главная оптическая ось, O – центр линзы и S
′ – источники его изображение. Формирование светового пятна заданного радиуса возможно при двух положениях экрана. Ответ
1
(
)
(
)
aF R r
x
R a F
−
=
=
−
60 см
2
(
)
(
)
aF R r
x
R a F
+
=
=
−
180 см.
5.21. Отрезок AB составляет угол
α с главной оптической осью
MN собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно F. Расстояние от точки A до центра линзы равно
a > F (см. рис. 5.17). Какой угол составляет с главной оптической осью изображение отрезка AB? Решение. Проведем луч через точки A и B вплоть до пересечения с плоскостью линзы в точке С. Через центр линзы О проведем вспомогательный луч DE параллельно лучу AC, что позволит нам построить продолжение луча AC за линзой. Рис. Рис. 5.17

42 Падающие на линзу параллельные лучи AC и DE после прохождения линзы пересекаются в точке K на задней фокальной плоскости рис. 5.17), причем луч DE, идущий через центр линзы O не испытывает преломления. Луч CK, так как он является продолжением за линзой луча AC, проходящего через точки A и B, проходит через точки A
′ и ,
B
′ являющиеся изображением точек A и B. Следовательно, изображение отрезка AB лежит на луче CK, а искомым является угол
CA O
′ Обозначим величину указанного угла β. Рассмотрим треугольники ACO и
A CO
′
Длину общей стороны треугольников OC можно выразить следующим образом tg tg
OC
AO
A O
′
=
⋅ α =
⋅ β . Длина отрезка AO равна a по условию задачи, длину отрезка A O
′ можно определить используя формулу тонкой линзы, учитывая, что длина отрезка A O
′ – это расстояние от линзы до точки ,
A
′ являющейся изображением точки A:
1 1 1
F
a b
= + , где b A O
′
=
a F
b
a F
⋅
⇒
=
−
tg tg arctg tg
a F
F
a
a F
a F
⋅
⎛
⎞
⋅ α =
⋅ β ⇒ β =
⋅ α
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
5.22. Отрезок AB составляет угол
α с главной оптической осью тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F. Расстояние от точки A, лежащей на главной оптической оси, до центра линзы равно a. Точки A и B лежат по одну сторону от линзы. Какой угол составляет с главной оптической осью изображение отрезка AB? Ответ arctg tg
F a
a
+
⎛
⎞
β =
α
⎜
⎟
⎝
⎠
5.23. Отрезок длиной l
= 20 мм лежит на главной оптической оси тонкой собирающей линзы так, что его середина находится на двойном фокусном расстоянии от центра линзы. Фокусное расстояние линзы F
= 5 см. Определить размер изображения отрезка. Указание. Используя формулу тонкой линзы необходимо найти на каком расстоянии от линзы находятся концы изображения отрезка и затем рассчитать размер изображения. Ответ
2 2
2 4
F
l
l
l
F
⋅
′ =
≅
−
21 мм.

43 5.24. Предмет в виде тонкого стержня расположен вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линзы так, что его концы удалены от линзы на расстояния
3 2
F и
5
,
4
F где F – фокусное расстояние линзы. Во сколько раз длина изображения больше длины самого предмета Ответ
l
l
′
= 8.
5.25. Определить минимальное расстояние между точечным источником и его действительным изображением, формируемым тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием равным F. Решение. Запишем формулу тонкой линзы
1 1 1
F
a b
= + , где a – расстояние от источника до линзы, b – расстояние от линзы до изображения источника. Введем обозначение x a b
= + для расстояния между источником и его изображением. Нетрудно убедиться, что источник должен находиться на главной оптической оси линзы, чтобы расстояние от него до изображения было минимальным. Перепишем формулу тонкой линзы с учетом введенного обозначения и выразим расстояние между источником и его изображением как функцию параметра a:
2 1
1 1
a
x
F
a
x a
a F
= +Исследуем полученную функцию на экстремумы, в области значений ее аргумента F < a < +
∞, соответствующей формированию действительного изображения используя производную
(
)
2
экстр.
2 0
2 .
a a F
a
dx
a
F
da
a В силу того обстоятельства, что при стремлении аргумента рассматриваемой функции к F и к +
∞, те. на краях указанной области, функция неограниченно возрастает, найденный экстремум является минимумом.
(
)
min экстр.
4 .
x
x a
F
⇒
=
=
5.26. На каком расстоянии от тонкой линзы с оптической силой
D
= 4 дптр надо поместить предмет, чтобы его изображение получилось в n
= 4 раза меньше предмета

44 Указание. В условии задачи идет речь об отношении поперечных размеров предмета и его изображения, те. задано отношение длин отрезков AB и A B
′ ′ (см. рис. 5.18). Лучи BC, параллельный главной оптической оси MN, BO, проходящий через центр линзы, – вспомогательные при построении изображения. Если ввести следующие обозначения AO a
= , A O b
′ = ,
1
D
F
− = , то можно условие задачи и формулу тонкой линзы записать в виде (изображение – мнимое из подобия треугольников и ,
1 1
AB
AO
a
n
ABO A B O
A B
A O
b
D
a b
⎧
′ ′
=
= =
⎪⎪ ′ ′
′
⎨
⎪ = Ответ
1 n
a
D
−
=
= 0,75 м.
5.27. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F
=
= 30 см. Расстояние от предмета до фокуса l = 10 см. Поперечный размер предмета h
= 5 см. Каков поперечный размер изображения Указание. Необходимо рассмотреть два решения а) предмет расположен между фокусом и линзой б) предмет расположен от линзы на расстоянии большем фокусного. Ответ в обоих случаях
hF
H
l
=
= 15 см.
5.28.* Четкое изображение предмета на экране получается при двух положениях линзы. Расстояние между предметом и экраном
l
= 2 м, между двумя положениями линзы l
Δ = 40 см. Определить фокусное расстояние линзы. Указание. В случае формирования действительного изображения тонкой собирающей линзой формула тонкой линзы симметрична относительно двух параметров расстояния между предметом и линзой и расстояния между линзой и изображением предме-
Рис. 5.18

45 тате. если их поменять местами, точнее сказать взаимно поменять их величину, то уравнение останется в силе. Ответ
( )
2 2
4
l
l
F
l
− Δ
=
= 48 см.
5.29.* Предмет находится на расстоянии l
= 90 см от экрана. Между предметом и экраном поместили тонкую линзу. При одном положении линзы на экране появляется увеличенное изображение предмета, при другом – уменьшенное. Найти фокусное расстояние линзы, если известно, что линейные размеры го изображения в
n
= 4 раза больше линейных размеров го. Ответ
(
)
2 1
n l
F
n
⋅
=
=
+
20 см.
5.30.* Вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F
= 5 см ползет жук со скоростью
=
υ
1 м/мин. С какой скоростью надо перемещать экран в момент времени, когда расстояние от жука до линзы равно 2F, чтобы на нем оставалось четкое изображение жука Указание. Необходимо выразить зависимость расстояния от линзы до изображения как функцию расстояния от предмета (жука) до линзы. Затем следует взять производную от полученной функции повремени (как от сложной функции, так как расстояние между предметом и линзой зависит от времени) с учетом того обстоятельства, что производная повремени от расстояния между предметом и линзой по величине (по модулю) равна скорости предмета жука, и подставить указанное значение расстояния между предметом и линзой. Ответ. Необходимая в указанный момент времени скорость перемещения экрана составляет величину
(
)
(
)
2 2
( )
2 2
a
d a
F
db
d
a F
F
dt
dt
dt a F
a F
a F
⋅
⋅
⋅
⎛
⎞
′ =
=
=
=
⎜
⎟
−
⎝
⎠
−
−
υ
υ
, где a – расстояние между предметом и линзой, b – расстояние между линзой и изображением. При
2
a
F
=
получим
′ = =
υ υ
1 м/мин.

46 5.31. Точечный источник движется по окружности со скоростью
=
υ
2 мс в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси тонкой собирающей линзы, причем центр окружности лежит на указанной оси, а ее плоскость находится на расстоянии l
= 12 см от линзы. Фокусное расстояние линзы F
= 20 см. Определить скорость изображения. Ответ
F
F l
′ = ⋅
=
−
υ υ
5 мс.
5.32. Увеличение предмета тонкой собирающей линзой равно
n
= 3. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Определить расстояние между предметом и изображением. Ответа) изображение действительное
(
)
2 1
n
S
F
n
+
=
⋅ ≅ 53 см б) изображение мнимое
(
)
2 1
n
S
F
n
−
=
⋅ ≅ 13 см.
5.33. С помощью тонкой линзы получено в n
= 1,5 раза увеличенное действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на l
Δ = 12 см и получают мнимое изображение такого же размера. Определить фокусное расстояние линзы. Ответ
2
n l
F
⋅
=
= 9 см.
5.34. Расстояние от заднего фокуса тонкой линзы до действительного изображения враз больше расстояния от переднего фокуса до предмета. Найти линейное увеличение. Ответ
Γ = α = 3.
5.35. Слева от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием см на расстоянии
2
F
на главной оптической осина- ходится точечный источник света. Справа от линзы на таком же расстоянии находится плоское зеркало, перпендикулярное главной оптической оси. Где соберет лучи эта система Решение. Собирающая линза, при прохождении через нее прямых лучей от источника S (рис. 5.19) формирует мнимое изображение, расстояние от которого до зеркала можно рассчитать, используя формулу тонкой линзы

47 1
1 1
1 1
2
S O F
F
F
S D
=
−
⇒
= . Пучок лучей от источника после линзы будет распространяться таким образом, как если бы он был испущен источником, находящимся в точке
1
S
. Следовательно, падающий на зеркало расходящийся пучок лучей при отражении породит также гомоцентрический пучок с центром в точке
2
S
, где находится мнимое изображение точки, даваемое зеркалом, причем с учетом правил построения изображений в плоском зеркале расстояние от точки
2
S
до зеркала равно расстоянию от зеркала до точки
1
S
, те. расстояние от точки
2
S
до линзы оказывается равным
2 3
1 2 .
2 2
S Пучок, падающий на линзу после отражения от плоского зеркала, будет собран в некоторой точке
3
S
, положение которого можно найти с помощью формулы тонкой линзы (мы ищем изображение точки
2
S
, формируемое линзой
3 2
3 3
1 1
1 1
1 1
2 2
S O
F
F
S O
S O
F
F
S O
=
+
⇒
=
+
⇒
=
= 100 см.
5.36. Точечный источник света расположен на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы на ее главной оптической оси. За линзой перпендикулярно оси размещено плоское зеркало. На каком расстоянии от линзы нужно поместить зеркало, чтобы лучи, отраженные от зеркала, после вторичного прохождения через линзу стали параллельными Фокусное расстояние линзы равно
F
= 50 см. Рис. 5.19

48 Указание. Схема формирования параллельного пучка лучей на выходе из заданной оптической системы показана на рис. 5.20. Ответ. На расстоянии
75 см от линзы.
5.37. Плоскую поверхность тонкой плосковыпуклой собирающей линзы с фокусным расстоянием F
= 24 см посеребрили. На линзу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси линзы (рис. 5.21). В какой точке пересекутся эти лучи. Указание. Посеребренная поверхность линзы приобретает свойства плоского зеркала, расположенного вплотную к линзе. Ответ. Лучи пересекутся на расстоянии
l
= 12 см слева от линзы (см. рис. 5.21).
5.38. Тонкая собирающая линза обладает в воздухе фокусным расстоянием F
= 10 см. Показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, составляет
1
n
= 1,50. Линзу и точечный источник света, находящийся на ее главной оптической осина расстоянии поместили вводу. Где будет находиться изображение источника Показатель преломления воды
2
n
= 1,33. Решение. Воспользуемся формулой, определяющей оптическую силу тонкой линзы л
ср.
1 2
1 1
1
n
D
n
R
R
⎛
⎞⎛
⎞
=
−
−
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎝
⎠
⎝
⎠
, где ли ср.
n – показатели преломления материала линзы и окружающей среды, соответственно
1
R
и
2
R
– радиусы сферических поверхностей, ограничивающих тело линзы. Так как при помещении линзы в иную среду ее форма и размеры не изменяются, то можно записать, что л
ср.
1
n
D
n
⎛
⎞
=
− ⋅ α
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
, где
1 2
1 1
R
R
⎛
⎞
α Рис. Рис. 5.21

49 Согласно условию задачи D > 0 в воздухе, атак как л
ср.
n
n
>
в этом случае, то
α > 0. При помещении линзы вводу условие л
ср.
n
n
>
также выполняется, следовательно линза остается собирающей. Расчитаем фокусное расстояние F
′ линзы вводе, с этой целью запишем систему уравнений
(
)
1 1
2 1
1
,
1 1
,
n
F
n
F
n
⎧ = − ⋅α
⎪⎪
⎨
⎛
⎞
⎪
=
− ⋅ решая которую получаем
(
)
1 2
1 2
1 4 .
n
n
F
F
F
n
n
−
′ = Так как расстояние от источника до линзы оказывается меньше ее фокусного расстояния вводе, то изображение будет мнимым. Далее воспользуемся формулой тонкой линзы
1 1 1 2
4 4
4 2
a F
F
F
b
F
F
a b
F
a
F
F
′
⋅
⋅
= − ⇒ =
=
=
=
′
′ −
−
40 см.
5.39. Тонкая собирающая линза обладает в воздухе фокусным расстоянием F
= 5,0 см. Показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, составляет
1
n
= 1,40. Линзу и точечный источник света, находящийся на ее главной оптической оси, поместили вводу. Показатель преломления воды
2
n
= 1,33. На каком расстоянии от линзы надо поместить источник, чтобы получить параллельный пучок лучей после линзы Ответ на расстоянии a
= 40 см от линзы.
5.40. Тонкая рассеивающая линза обладает в воздухе фокусным расстоянием F
= 10 см. Показатель преломления материала, из которого изготовлена линза, составляет
1
n
= 1,20. Линзу и точечный источник света, находящийся на ее главной оптической оси, поместили в жидкость с показателем преломления
2
n
= 1,50. На каком расстоянии от линзы сформируется изображение, если расстояние между линзой и источником
2
a
F
=
?

50 Указание. Линза в жидкости станет собирающей, так как л
1
ср.
2 1
1 0
n
n
n
n
− =
− < ! Ответ
2 2
F F
b
F F
′
⋅
=
=
′
−
20 см, где
(
)
1 2
2 1
1
n
n
F
F
n
n
−
′ = ⋅
−
5.41.* Полая двояковыпуклая стеклянная линза помещена вводу. Внутри полости линзы находится воздух, стенки – тонкие. Найти длину изображения стрелки, расположенной на главной оптической оси линзы вплотную к линзе, если длина самой стрелки равна фокусному расстоянию линзы F вводе. Указание. Линза вводе является рассеивающей Ответ длина изображения равна F/2.
5.42. На поверхности жидкости, налитой в цилиндрический сосуд, плавает тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием в воздухе равным F (рис. 5.22). Найти высоту h жидкости в сосуде, если изображение точечного источника S, расположенного на расстоянии l от линзы на ее главной оптической оси, находится на дне сосуда. Показатель преломления жидкости равен n. Расстояние l много больше диаметра сосуда. Решение. На рис. 5.23 показана схема формирования изображения источника S. α и β – углы падения и преломления, соответственно, луча, пересекающего границу раздела линза – жидкость. В силу того обстоятельства, что расстояние l много больше диаметра сосуда, углы
α и β можно считать малыми. Следовательно, используя закон преломления светового луча на границе раздела двух среди тригонометрические соотношения в треугольниках ABC и
SBC на рис. 5.23, можем записать Рис. Рис. 5.23

51 л
л л sin tg b
b tg
n
n
n
n
n
d
d
b b
b
n
d
d
b
⎧ ⋅ α = ⋅ β
⋅ α = β
⎧
⎪
⎪
⎪
′
= β
⇒
= ⋅β
⇒
= ⋅
⎨
⎨
⎪
⎪
′
= ⋅α
⎩
= α
⎪⎩ ′
, где n ил показатели преломления жидкости и материала линзы, соответственно. Из последнего выражения видно, что, если изображение S
′ источника формируется вводе и параметр «b» принимает значение равное h согласно условию задачи, то при формировании изображения в воздухе расстояние «b» между линзой и изображением окажется равным h/n. При формировании изображения в воздухе мы имеем право записать уравнение тонкой линзы в виде
1 1 1
F
a b
= + , где a l
= ,
h
b
n
= .
hFl
h
l F
⇒
=
−
5.43.* Полая двояковыгнутая тонкостенная стеклянная линза помещена вводу на глубину h так, что ее главная оптическая ось перпендикулярна поверхности воды. Внутри полости линзы находится воздух. Снизу на линзу направлен узкий параллельный пучок света. Пучок распространяется вдоль главной оптической оси. Найти расстояние от линзы до точки пространства, в которой соберутся лучи света. Фокусное расстояние линзы вводе равно F, причем
F > h. Показатель преломления воды равен n. Считать, что углы между лучами и главной оптической осью малы. Ответ
(
)
1 1
F
l
h
n
n
=
+ ⋅ −

Глава 2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
§ 6. Волновая оптика. Интерференция света. Когерентные источники. Принцип Гюйгенса – Френеля. Условия интерференционного максимума и минимума. Опыт Юнга. Дифракция. Дифракционная решетка. Дисперсия света. Если характерные свойства среды изменяются на расстояниях порядка длины волны излучения, то необходимо принимать во внимание его волновые свойства. Поскольку электрическое и магнитное поля обладают энергией, то электромагнитная волна, в частности свет, переносит энергию в направлении своего распространения. Энергия, переносимая волной в единицу времени через поверхность единичной площади, ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, называется интенсивностью волны. Когерентными называются волны одинаковой частоты, разность фаз которых остается все время постоянной. Источники таких волн также называются когерентными (те. согласованными. При наложении некогерентных световых волн происходит только усиление света, те. сложение интенсивностей этих волн. Результатом наложения когерентных волн является интерференция, при этом становится возможным наблюдение интерференционной картины, те. устойчивого перераспределения интенсивности света в пространстве, например, в виде чередующихся темных и светлых полос, концентрических темных и светлых колец. Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления, те. создающие их волны поляризованы водной плоскости
( )
(
)
( )
(
)
1 1
1 2
2 2
cos
,
cos
,
m
m
E t
E
t
E t
E
t
=
⋅
ω + α
=
⋅
ω + α
(6.1) где
1
E
и
2
E
– напряженность электрического поля, создаваемого волной в рассматриваемой точке пространства (точнее проекция вектора напряженности на ось, лежащую в плоскости поляризации и перпендикулярную направлению распространения волны. Параметр можно представить как проекцию вектора длиной, равной

амплитуде колебания
m
E
, вращающегося с угловой скоростью
ω вокруг точки, проходящей через начало вектора, тогда фаза колебания будет равна значению угла между вектором и осью, на которую проецируется вектор. Воспользуемся указанной аналогией для сложения гармонических колебаний одного направления. При сложении векторов их проекции также складываются. Следовательно, сложение двух гармонических колебаний мы можем рассматривать как проецирование вектора, являющегося суммой двух векторов, изображающих складываемые колебания. Так как угловая скорость складываемых векторов одинакова (совпадают частоты складываемых колебаний, то угол между складываемыми векторами сохраняется постоянным. Из построений, приведенных на рис. 6.1, используя теорему косинусов, получим
(
)
[
]
(
)
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 2
cos
2
cos
2
cos
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
=
+
−
⋅
⋅
π − α − α =
=
+
+
⋅
⋅
α − α где
2 1
Δϕ = α − α – разность фаз складываемых колебаний. Интенсивность волны, или другими словами плотность потока энергии излучения, можно представить как произведение плотности электромагнитной энергии на скорость распространения волны. Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности поля. Плотность энергии магнитного поля пропорциональна квадрату магнитной индукции. Плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей. В волне напряженность электрического поля пропорциональна магнитной индукции E B, следовательно интенсивность волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля I E
2
. Суммируя вышеизложенное Рис. 6.1

можем записать для интенсивности волны, полученной путем сложения двух электромагнитных волн
1 2
1 2
2
cos
I
I
I
I I
= + +
⋅ ⋅
Δϕ , (6.3) где
Δϕ – разность фаз колебаний, возбуждаемых в заданной точке пространства каждой из складываемых волн в отдельности. Если волны некогерентны, то разность фаз
Δϕ возбужденных колебаний хаотически меняется и среднее значение третьего слагаемого справа оказывается равным нулю, а результирующая наблюдаемая интенсивность оказывается равной сумме интенсивности складываемых волн (время, за которое скачком изменяется фаза возбуждаемых независимым источником света колебаний в заданной точке пространства, очень мало и составляет примерно
10
–8
с. Если же волны когерентны, то const
Δϕ =
и интенсивность света, наблюдаемая в заданной точке пространства может оказаться как больше, таки меньше суммы интенсивностей складываемых волн. В частности, если интенсивности складываемых волн равны, то интенсивность результирующей волны прибудет равна нулю, а прибудет в два раза превышать сумму интенсивностей складываемых волн. Наблюдать интерференцию света, используя два независимых источника, невозможно, так как нет путей сделать их излучение когерентным. Единственная возможность получения двух когерентных световых волн – это расщепление волны от одного источника на две когерентные. По сути, в этом решении проблемы получения когерентных волн заложен принцип Гюйгенса – Френеля, который утверждает, что каждая точка среды, до которой дошла волна, становится самостоятельным источником вторичных волн новый фронт волны образуется в результате интерференции вторичных волн. Введем понятие оптической длины пути – это произведение n l
⋅ показателя преломления среды n на геометрическую длину пути. Разность
δ оптических путей двух лучей (те. плоских волн, испущенных двумя источниками, называется оптической разностью хода Если лучи испущены одним источником, то
2 1
2 1
2 1
l
l
t
t
t
c
c
c
n
n
δ =
−
= − = Δ , (6.5) где c – скорость света в вакууме, t
Δ – разность времени прохождения волнами пути от источника до точки их наложения. Тогда разность фаз колебаний, возбуждаемых этими волнами в точке их наложения, составит
2 2
t
c
ω⋅ δ
πνδ
δ
Δϕ = ω⋅ Δ =
=
= π
λν
λ
, (6.6) где
λ – длина волны в вакууме.
Условие (максимального) усиления волн от двух когерентных источников (условие интерференционного максимума cos
1 2 k
Δϕ = ⇒ Δϕ = π , где
0, 1, 2...
k
=
±
±
,
k
⇒ δ = λ . (6.7) Условие (максимального) ослабления двух волн от двух когерентных источников (условие интерференционного максимума
(
)
cos
1 2
1 ,
k
Δϕ = − ⇒ Δϕ = π ⋅
+
(
)
2 1
2
k
λ
⇒ δ =
+
. (6.8) Примером использования метода расщепления волны от одного источника на две когерентные волны служит опыт Юнга. Схема опыта приведена на рис. 6.2. Свет от протяженного источника падает на диафрагму
1
D
, в которой сделано отверстие A в виде щели. Свет от освещенной щели A падает на диафрагму
2
D
, в которой сделаны две узкие щели B и C. Так как щели B и C располагаются симметрично относительно щели A, то свет от щели A до них доходит одновременно. Щели B и C являются когерентными источниками света. От них свет падает на экран ЭВ середине экрана в области наложения волн относительно высокой интенсивности EK наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых (радужных) полос. К краям интерференционная картина размывается и пропадает, те. освещенность экрана делается однородной (без светлых и темных полос. Контрастность интерференционной картины повышается при помещении перед щелью цветного светофильтра, который резко сужает диапазон длин волн формирующего интерференционную картину света. На практике интерференционные полосы наблюдаются только в небольшой области экрана, так называемом поле интерференции. Рассмотрим схему опыта Юнга и наблюдаемую картину интерференции немного подробнее. Пусть среда между щелями B и C однородная с показателем преломления равным n. Щели B ивы- ступают в роли практически точечных когерентных источников и
2
S
(см. рис. 6.3). Расстояние между щелями d для получения картины интерференции приходится делать много меньше расстояния между второй диафрагмой и экраном L. Пусть в некоторой точке экрана P наблюдается максимум освещенности, те. выполняется условие интерференционного максимума
2 1
nl
nl
k
−
= λ , где
0, 1, 2...
k
=
(6.9) Применим теорему Пифагора к треугольниками учтем, что
2
MO NO d
=
=
:
(
)
(
)
2 2
2 1
2 2
2 2
2 ,
2 ,
k
k
l
L
x
d
l
L
x
d
=
+
−
=
+
+
(6.10) где
k
x
– расстояние от точки наблюдения P до центра экрана O.
(
)(
)
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
k
k
l
l
dx
l
l
l
l
dx
⇒
− Рис. 6.3 Рис. 6.2

Используя условия d << L и
k
x
L
<< , получим
2 1
2
l
l
L
+
. (6.11) Кроме того, из условия интерференционного максимума имеем
2 1
k
l
l
n
λ
− =
, (6.12) следовательно
2 2
k
k
L
dx
n
λ ⋅ =
, (6.13)
k
L
x
k
nd
λ
⇒
= ⋅
, (6.14) те. нашли расстояние от центра светлой полосы до центра экрана. Можно отметить, что
n
λ
– это длина волны света в среде с показателем преломления n (напомним, что в данном случае
λ – длина волны и света в вакууме. Отсюда находим расстояние между серединами соседних светлых полос
1
k
k
L
x x
x
nd
+
λ
Δ =
−
=
. (6.15) Нетрудно убедиться, что расстояние между серединами соседних темных полос, те. между точками экрана, в которых выполняется условие интерференционного минимума, оказывается точно таким же. Расстояние между соседними максимумами или минимумами интерференционной картины, обычно, называют шириной интерференционной полосы (иногда, расстоянием между интерференционными полосами. Наряду с интерференцией другим известным явлением, обусловленным волновой природой света, является дифракция, под которой понимают огибание волнами препятствий и проникновение в область тени (в этих случаях, обычно, говорят об области геометрической тени, те. отклонение света от прямолинейного распространения. Качественно поведение света в этом случае может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса – Френеля. Устройство, состоящее их большого числа регулярно расположенных щелей, получило название дифракционной решетки. По

принципу Гюйгенса – Френеля каждая щель при падении на решетку световой волны является источником когерентных вторичных волн, способных интерферировать друг с другом. Если на дифракционную решетку ДР перпендикулярно к ней падает пучок параллельных лучей света плоская световая волна, то под углом дифракции на экране Э, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы Л, будет наблюдаться интерференционная картина (см. рис. 6.4). Интерференционные максимумы при дифракции на решетке будут наблюдаться под углами дифракции
ϕ, удовлетворяющими условию sin
d
k
⋅
ϕ = ⋅λ , (6.16) где
0, 1, 2...
k
=
называется порядком максимума или порядком спектра, d называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Если свет, падающий на дифракционную решетку, не монохро- матичен, то во всех порядках, кроме
0
k
= , для каждой длины волны максимумы будут возникать под своим углом дифракции. Картину, получаемую при разложении света на составляющие, соответствующие различным длинам волн, называют спектром. Поэтому дифракционную решетку часто называют спектральным прибором. Еще одно явление, характерное для волн – это дисперсия – зависимость скорости распространения волн в среде от их частоты или длины волны. Для света – это зависимость показателя преломления от частоты или длины волны. Рис. 6.4

59
§ 7. Скорость света в среде ЗАДАЧИ. Луч света переходит из воздуха в стекло. Насколько процентов при этом изменится скорость света Показатель преломления стекла n
= 1,5. Решение. Скорость света в воздухе практически равна скорости света в вакууме
8 3 10
c
= ⋅
мс. Скорость света в стекле составит
c n
=
υ
, таким образом искомая величина
1 1
0,33 33
c
c
n
− = − =
=
υ
%.
7.2. При переходе светового луча из воздуха в некоторое вещество скорость света изменяется на
20
k
=
%. Определить показатель преломления этого вещества. Ответ
1 1
n
k
=
=
−
1,25.
7.3. Луч света проходит через слой воды в некоторое вещество. Определить абсолютный показатель преломления этого вещества, если скорость света в этом веществе на
8 10
Δ мс меньше, чем вводе. Показатель преломления для воды
1
n
= 1,33. Скорость света в вакууме
8 3 10
c
= мс. Ответ
1 2
1
n c
n
c n
⋅
=
=
− ⋅ Δ
υ
2,4.
7.4. В сосуд налиты скипидар и вода, которые образуют несме- шивающиеся слои. Найти отношение толщины слоев жидкостей, если время прохождения света в них одинаково. Свет падает перпендикулярно границам раздела сред. Показатели преломления воды и скипидара
1
n
= 1,33 и
2
n
= 1,47, соответственно. Ответ
1 2
h
h ≅ 1,11.
7.5. Пучок света падает нормально на флинтглассовую пластинку, поверх которой налито масло. Толщина слоя масла в 2 раза меньше толщины пластины. Найти отношение времени распространения света в пластине ив масле. Показатели преломления масла и флинтгласса
1
n
= 1,50 и
2
n
= 1,80, соответственно. Ответ
2 1
t
t = 2,4.
7.6. Луч света падает на поверхность раздела двух сред под углом. Определить угол преломления β, если скорость света впервой среде
8 2
1 2,50 10 мс ,
=
⋅
υ
а во второй среде
8 2
2 2,14 10 мс Решение. Так как скорость света в среде может быть выражена следующим образом
c
n
=
υ
, где c – скорость света в вакууме, n – показатель преломления среды, то закон преломления на границе раздела двух сред можно записать как
1 2
sin sin
c
c
⋅
α =
⋅
β
υ
υ
,
2 1
arcsin sin
48 .
⎛
⎞
⇒
β =
⋅
α ≅ °
⎜
⎟
⎝
⎠
υ
υ
7.7. Луч света падает на границу раздела двух сред под углом
30 .
α = ° Скорость распространения света впервой среде
8 1
1,25 10 мс. Определить показатель преломления второй среды, если известно, что отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. Ответ
1 1
tg
c
n
=
⋅ α ≅
υ
1,4.
7.8. Для полного внутреннего отражения необходимо, чтобы световой луч падал на границу раздела среда – вакуум под углом не менее
60 .
α = ° Определить скорость света в данной среде и ее показатель преломления. Ответ
1
sin
n
=
≅
α
1,15;
8
sin
2,6 10 мс ⋅
α ≅
⋅
υ
7.9. Определить предельный угол полного внутреннего отражения для границы раздела скипидар – воздух и скорости распространения света в скипидаре, если известно, что при угле падения света из воздуха
45
α = ° угол преломления
30 .
β = °

Ответ
8
sin
2,12 10 мс sin
c
β
= ⋅
≅
⋅
α
υ
; пред arcsin
45 .
sin
β
⎛
⎞
ϕ
=
= °
⎜
⎟
α
⎝
⎠
7.10. Точечный источник света находится на дне широкого сосуда с жидкостью. Толщина слоя жидкости h
= 30 см, показатель преломления n
= 5/4. Определить минимальное и максимальное время, которое свет, идущий от источника и выходящий из жидкости в воздух, затрачивает на прохождение слоя жидкости. Указание. Необходимо учесть эффект полного внутреннего отражения. Наибольшее время затрачивается, если луч света распространяется от источника к поверхности жидкости под углом, близким к предельному углу падения (практически совпадающим с ним. Ответ
9
min
1,25 10 с n
t
c
−
⋅
=
=
⋅
;
2 9
max
2 2,08 10 c
1
h n
t
n
c
−
⋅
=
≅
⋅
− ⋅
7.11. Какой частоты колебания соответствуют наиболее длинноволновой красной части
(
)
max
0,76 мкм и наиболее коротковолновой фиолетовой части
(
)
min
0,40 мкм видимого спектра Решение. Скорость волны в среде, длина волны и частота колебаний связаны между собой соотношением
= λ ⋅ В условии задачи речь идет о электромагнитных волнах, распространяющихся в вакууме. Поэтому красной границе видимого спектра соответствует частота колебаний
14
кр.гр.
min max
3,9 10 Гц ν
=
=
⋅
λ
; фиолетовой границе видимого спектра
14
ф.гр.
max min
7,5 10 Гц ν
=
=
⋅
λ
7.12. Вода освещена красным светом, для которого длина волны в воздухе
0
λ = 0,70 мкм. Какой будет длина волны этого света вводе Показатель преломления воды n
= 1,33. Какой цвет видит человек, открывший глаза под водой Ответ
λ ≅ 0,53 мкм человек видит красный цвет, поскольку цветовое восприятие человеческого глаза определяется частотой регистрируемого глазом излучения.

62 7.13. Определить показатель преломления среды, если известно, что свет с частотой
14 4, 4 10 Гц =
⋅
имеет в ней длину волны
λ = 0,51 мкм. Ответ n
≅ 1,33.
7.14. Два световых луча одинаковой длины волны распространяются один – в вакууме, другой – в стекле. Насколько отличаются их частоты, если частота света в вакууме
14 6 10 Гц = ⋅
? Показатель преломления стекла n
= 1,33. Ответ
(
)
14 1
2 10 Гц ν
Δν =
= ⋅
7.15. Два световых луча одинаковой длины волны
7 5 10 м = распространяются один – вводе, другой – в скипидаре. Насколько отличается частоты света этих лучей Показатели преломления воды и скипидара
1
n
= 1,33 и
2
n
= 1,47, соответственно. Ответ
(
)
3 2
1 1
2 4, 2 10 Гц n
n
n n
−
Δν =
≅
⋅
λ ⋅ ⋅
7.16. Монохроматический свет с длиной волны
0
λ = 0,50 мкм падает нормально на стеклянную пластинку толщиной h
= 0,20 мм, находящуюся в воздухе. Сколько длин волн укладывается на длине пластинки Показатель преломления стекла n
= 1,5. Указание. Учесть, что свет распространяется в среде с отличным от единицы показателем преломления. Ответ
0
n h
N
⋅
=
=
λ
600.
§ 8. Интерференция ЗАДАЧИ. На пути одного из параллельных световых лучей поместили нормально ему, плоскопараллельную пластинку толщиной
h
= 10 мкм из вещества с показателем преломления n = 1,2. Какую оптическую разность хода вносит пластинка Какую разность фаз вносит пластинка Длина волны излучения в вакууме составляет
λ = 0,5 мкм.

Решение. Оптическая длина пути луча в пластинке
1
l
n h
= ⋅ ; оптическая длина пути второго лучане пересекающего пластинку, на том же участке (имеется ввиду, что он распространяется в вакууме или среде, имеющей показатель преломления близкий к единице мрад. Два интерферирующих луча монохроматического света с длиной волны в вакууме
λ = 0,5 мкм распространяются в кюветах длиной S
= 10 см каждая, один – в воздухе, другой – в аммиаке. Показатели преломления воздуха и аммиака в 1,00027 и а 1,00038, соответственно. Определить возникающую оптическую разность хода лучей и разность фаз колебаний. Ответ
5 1,1 10 м =
⋅
;
44
Δϕ = π .
8.4.* На пути одного из параллельных световых лучей поместили плоскопараллельную пластинку толщиной h
= 10 мкм из вещества с показателем преломления n
= 1,4. Угол падения луча на пластинку Какую оптическую разность хода вносит пластинка Какую разность фаз вносит пластинка Длина волны излучения в вакууме
λ = 0,5 мкм. Решение. Искомая оптическая разность хода (см. рис. 8.1)
l
AC n CD AE
Δ =
⋅ +
−
,
ACD – траектория распространения луча с учетом преломления на границах пластинки, AE – траектория того же луча в случае, когда пластинка отсутствует, и преломление не происходит. Рис. 8.1

С учетом того обстоятельства, что AB h
= , используя закон преломления можно записать cos cos
AB
h
AE
=
=
α
α
из треугольника ABE, cos cos
AB
h
AC
=
=
β
β
из треугольника ABC, cos sin
2
CD CE
CE
π
⎛
⎞
=
⋅
− α =
⋅
α
⎜
⎟
⎝
⎠
из треугольника CDE, tg tg
CE BE CE h
h
=
−
= ⋅ α − ⋅ β из треугольников ABE им рад −
α ≅ ⋅
Δ
Δϕ = π⋅
≅ π
λ
8.5.* Два параллельных монохроматических луча падают нормально на грань стеклянной призмы и выходят из нее параллельно главной оптической оси тонкой линзы, поставленной на пути лучей с целью наблюдения в фокальной плоскости линзы картины интерференции. Какую оптическую разность хода имеют лучи, падающие на линзу, если при попадании на призму их оптическая разность хода была равна нулю. Расстояние между лучами, падающими на призму, равно a, преломляющий угол призмы (угол раствора граней) равен
α, показатель преломления стекла равен n. Указание. Искомая оптическая разность хода лучей
l
Δ =
=
⋅ +
−
⋅
AB n BC DE n
(см. рис. 8.2). Ответ l
Δ = 0.
8.6. Два когерентных световых луча достигают некоторой точки с разностью хода l
Δ = 2 мкм. Что произойдет в этой точке – усиле-
Рис. 8.2

65
ние или ослабление света – если света) красного цвета
(
λ = 760 нм б) желтого цвета (λ = 580 нм в) фиолетового цвета
(
λ = 400 нм Решение. В условии задачи подразумевается, что электромагнитная волна в обоих лучах плоскополяризована, и плоскости поляризации совпадают. В точке наблюдения интенсивность результирующей волны связана с интенсивностями складываемых волн соотношением
1 2
1 2
2
cos
I
I
I
I I
= + +
⋅ ⋅
Δϕ , где
2
l
Δ
Δϕ = π
λ
– разность фаз складываемых колебаний в точке наблюдения. Интенсивность результирующей волны необходимо сравнивать с суммой интенсивностей складываемых волн, так как при сложении волн от некогерентных источников, когда интерференционная картина отсутствует, интенсивности складываемых волн суммируются, те. третье слагаемое в вышеприведенном соотношении отсутствует. Таким образом, ответ на вопрос, что происходит при сложении световых волн – усиление или ослабление света – зависит от знака cos
Δϕ : при cos
0
Δϕ < происходит ослабление света, при cos
0
Δϕ > – усиление. Следует принимать во внимание в расчетах, что в силу периодичности функции косинуса имеет место упрощающее выражение
(
)
cos
2
cos
k
α + π =
α , где k – целое число. а)
1,26 4 cos
0,68
Δϕ =
π + π ⇒
Δϕ = −
⇒ ослабление света б)
0,9 6 cos
0,95
Δϕ =
π + π ⇒
Δϕ = −
⇒ ослабление света в)
10 cos
1
Δϕ = π ⇒
Δϕ = ⇒ усиление света.
8.7. Оптическая разность хода волн от двух когерентных источников в некоторой точке пространства l
Δ = 0,872 мкм. Каков будет результат интерференции в этой точке, если длина волны будет равна а)
λ = 581 нм б) λ = 436 нм в) λ = 698 нм. Ответа интерференционный минимум интенсивности света б) cos
1
Δϕ = + ⇒ интерференционный максимум интенсивности света

в) cos
0
Δϕ = ⇒ интенсивность света в точке наблюдения равна сумме интенсивностей складываемых волн
Δϕ – разность фаз результирующих колебаний электромагнитного поля в точке наблюдения.
8.8. Световые волны от двух когерентных источников с длиной волны
λ = 400 нм приходят в одну и туже точку пространства, имея разность хода а) l
Δ = 2,0 мкм б) l
Δ = 2,2 мкм. Каков будет результат интерференции Ответа) интерференционный максимум б) интерференционный минимум.
8.9. Найти все длины волн видимого света (0,38 мкм <
λ <
< 0,76 мкм, которые будут а) максимально усилены б) максимально ослаблены при оптической разности хода интерферирующих волн от когерентных источников l
Δ = 1,80 мкм. Указание. Найти величину отношения l
Δ
λ для краев рассматриваемого спектрального интервала
2,4 Максимальное усиление света (интерференционный максимум) наблюдается при условии
l
k
Δ =
λ
, максимальное ослабление света (интерференционный минимум) наблюдается при условии
1 2
l
k
Δ = +
λ
, где k – целое число. Ответа мкм
2
λ = 0,60 мкм б)
1
λ = 0,40 мкм
2
λ = 0,51 мкм
3
λ = 0,72 мкм.
8.10. На диафрагму D падает параллельный монохроматический световой поток с длиной волны
λ = 560 нм. В диафрагме имеются две узкие параллельные щели на расстоянии
4 10 модна от другой (рис. 8.3). На расстоянии l
= 1 мот диафрагмы параллельно ей располагается экран Э. Определить расстояние между соседними интерференционными максимумами (ширину интерференционной полосы) на экране.

Решение. Согласно принципу Гюйгенса щели являются источниками, и за ними свет распространяется во всех направлениях. Так как излучение этих источников получено путем выделения из одной волны, то они являются когерентными источниками, а способ наблюдения интерференции – аналогичен опыту Юнга. Таким образом мы можем воспользоваться расчетными соотношениями, полученными для опыта Юнга, например, для ширины интерференционной полосы
3 5,6 10
l
x
d
−
λ ⋅
Δ м.
8.11. От двух когерентных источников красного света получили на экране интерференционную картину. Как изменится картина интерференции, если воспользоваться источниками фиолетового света Ответ интерференционные полосы станут уже.
8.12. Как изменится интерференционная картина от двух когерентных источников на экране, если не изменяя других условий опыта а) удалить источники от экрана б) сблизить источники света Ответа) интерференционные полосы станут шире б) интерференционные полосы станут шире.
8.13. От двух когерентных источников наблюдают интерференцию света на экране в воздухе. Как изменится картина интерференции, если наблюдения производить вводе, сохраняя все остальные условия опыта неизменными Показатель преломления воды
n
= 1,33. Ответ Ширина интерференционных полос уменьшится в n
= 1,33 раза.
8.14. Два когерентных источника
1
S
ирис) испускают монохроматический свет с длиной волны
λ = 600 нм. На каком расстоянии от точки O будет находится первый максимум освещенности на экране AB, параллельном прямой Рис. Рис. 8.4

68 1 2
S S
, если OC
= 4 м,
1 2
S S
= 1 мм.
1 2
S C CS
=
, CO перпендикулярно
AB. Указание. Для волн, идущих от источников
1
S
ив точку O оптическая разность хода равна нулю, следовательно, в точке O на экране будет наблюдаться интерференционный максимум освещенности (так называемый нулевой максимум. Ответ на расстоянии равном
1 2
OC
S S
λ ⋅
= 2,4 мм.
8.15. Расстояние на экране между двумя соседними максимумами освещенности a
= 1,2 мм. Определить длину волны света, излучаемого когерентными источниками
1
S
и
2
S
, если
1 2
S S
b
= = 1 мм,
OC L
= = 2 м (см. рис. 8.4). Ответ
a b
L
⋅
λ =
= 0,6 мкм.
8.16. Два когерентных источника
1
S
и
2
S
, излучающих свет с длиной волны
λ = 0,6 мкм, находятся на расстоянии d = 2 мм друг от друга (рис. 8.5). Параллельно линии, соединяющей источники, расположен экран на расстоянии L
= 2 мот них. Что будет наблюдаться в точке A экрана минимум или максимум освещенности Решение. Разность хода лучей, идущих от источников
1
S
ив некоторую точку на экране, в опыте Юнга (при условии
d << L) может быть выражена следующим образом
xd
l
L
Δ =
, где x – координата точки на экране, отсчитанная от центра интерференционной картины, те. нулевого максимума освещенности точка O на рис. 8.4) в направлении, параллельном прямой
1 2
S В данном случае координата точки A составляет
2 2
2
d
d
x
l
L
=
⇒
Δ Рис. 8.5

Рассчитаем величину параметра
l
Δ
λ . Если окажется, что
l
k
Δ =
λ
, где k – целое число, то для точки A выполняется условие интерференционного максимума. Если
1 2
l
k
Δ = +
λ
, то интерференционного минимума.
2 2
2
l
d
L
Δ =
=
λ
λ
,
⇒ в точке A будет наблюдаться максимум освещенности.
8.17. На диафрагму с двумя узкими щелями, находящимися на расстоянии d
= 2,5 мм, падает по нормали к ней монохроматический свет. Интерференционная картина образуется на экране, отстоящем от диафрагмы на расстоянии L
= 100 см и параллельном ей. Куда и на какое расстояние сместятся интерференционные полосы, если одну из щелей закрыть стеклянной пластинкой толщиной мкм Показатель преломления стекла n = 1,5. Указание. Достаточно определить перемещение нулевого интерференционного максимума, который образуется при сложении волн от двух источников, каковыми являются щели в диафрагме, обладающих оптической разностью хода равной нулю. Так как ширина интерференционной картины всегда много меньше расстояния от источников света до экрана, то можно принять, что световые лучи, идущие от щели к экрану через стеклянную пластинку и дающие вклад в формирование интерференционной картины, падают на поверхность пластинки практически нормально. Если обозначить
1
S
и
2
S
,
1
l
и
2
l
геометрическую длину пути и оптическую длину пути лучей от соответствующей щели, то для определения смещения нулевого максимума можно записать следующую систему уравнений
(
)
1 1
2 см 1
1 2
0
l
S
b
bn
l
S
x
L
S
S
d
l
l
=
− +
⎧
⎪ =
⎪
⋅
⎨ − =
⎪
⎪ − =
⎩
⇒ см 2 мм. Ответ интерференционные полосы сместятся в сторону щели, закрытой стеклянной пластинкой.

70 8.18. Опыт Ллойда состоит в получении на экране Э интерференционной картины от точечного монохроматического источника S при наложении прямых и отраженных тот зеркала З лучей рис. 8.6). Определить ширину интерференционной полосы на экране, если длина волны света
λ = 0,7 мкм, расстояние от источника света до плоскости зеркала h
= 1 мм, до экранам. Указание. Интерференционную картину на экране можно рассматривать как результат сложения волн от двухточечных когерентных источников – действительного и его мнимого изображения в зеркале. Ответ
2
L
x
h
λ
Δ =
= 1,4 мм.
8.19.* Пучок параллельных монохроматических световых лучей падает перпендикулярно на основание стеклянной равнобедренной призмы с малым углом преломления
2 5 10
−
α = рад. Размер основания призмы 2a
= 3 см (рис. 8.7). Показатель преломления стекла
n
= 1,5. На каком максимальном расстоянии от призмы можно будет наблюдать интерференционную картину Какова максимально возможная ширина интерференционной картины на экране, параллельном основанию призмы Какова ширина интерференционных полос Длина волны света
λ = 0,6 мкм. Рис. 8.7 Рис. 8.6

Решение. Преломление исходного пучка света в двух половинах призмы приведет к формированию за ней двух пересекающихся пучков параллельных световых лучей. В области пересечения указанных пучков ABCD (см. рис. 8.7) можно наблюдать картину интерференции, так как в этой области происходит сложение двух когерентных волн, образованных путем деления одной и той же исходной волны. Максимальное расстояние от призмы, на котором еще возможно наблюдение картины интерференции равно длине отрезка AC. В силу малой толщины линзы и малости угла
ϕ отклонения лучей линзой от первоначального направления tg
a
a
AC
AC
= ϕ ≅ ϕ Запишем закон преломления для луча, выходящего из призмы, и воспользуемся малостью углов падения и преломления
(
)
(
)
sin sin
= +
1
n
n
n
⋅
α =
α + ϕ ⇒
⋅ α α ϕ ⇒ ϕ = α −
(
)
1
a
AC
n
⇒
=
=
α −
0,6 м. Максимально возможная ширина интерференционной картины достигается на середине отрезка AC, так как треугольник ABC – равнобедренный, и равна длине отрезка BD:
BD a
= = 1,5 см. Для вычисления ширины интерференционной полосы воспользуемся расчетными параметрами схемы Юнга. В силу того обстоятельства, что ширина интерференционной картины всегда много меньше расстояния от экрана, на котором она наблюдается, до источников когерентного излучения, можно считать, что угол между лучами, идущими от источников в одну точку на экране
d
L
Θ ≅ , где d – расстояние между источниками, L – расстояние от источников до экрана. Ширина интерференционной полосы в схеме Юнга может быть, таким образом, представлена как
L
x
d
λ
λ
Δ =
=
Θ

Полученное выражение мы можем использовать для расчета ширины интерференционной полосы в области пересечения двух пучков параллельных лучей света в случае малого угла между направлениями распространения пучков, так как пучок параллельных лучей может рассматриваться как излучение очень удаленного точечного источника. В нашем случае
(
)
2 2
1
x
n
λ
Θ = ϕ ⇒ Δ =
=
α −
12 мкм.
8.20* Тонкую собирающую линзу диаметром D
= 5 см с фокусным расстоянием F
= 50 см разрезали по диаметру пополам и раздвинули на расстояние d
= 1 см. На половинки линзы падает пучок монохроматического света от удаленного источника, параллельный главной оптической оси. На каком расстоянии L от линзы надо размещать экран Э, параллельный линзе (рис. 8.8), чтобы наблюдать интерференционную картину Щель между половинками линзы закрыта. Ответ min
D d
L L
F
D
+
>
= ⋅
= 60 см.
8.21.* Два плоских зеркала образуют между собой угол
π – α, где
2 2 10
−
α = рад. На биссектрисе угла на равных расстояниях от зеркал расположен точечный монохроматический источник света S рис. 8.9). Определить ширину интерференционных полос на экране Э, расположенном на расстоянии a
= 200 см от точки пересечения зеркал. Длина световой волны
λ = 0,6 мкм. Расстояние от точки пересече-
Рис. 8.8 Рис. 8.9

73
ния зеркала до источника b
= 20 см. Ширма Ш препятствует непосредственному падению света от источника S на экран. Ответ
(
)
2
a b
x
b
λ +
Δ =
=
α
0,55 мм.
8.22. Два когерентных источника испускают электромагнитные волны син- фазно, те. фазы испускаемых волн совпадают. Расстояние между источниками
d
= λ, где
λ – длина волны испускаемого излучения (рис. 8.10). Определить направления, в которых можно наблюдать интерференционный максимум. Направление задается углом
Θ, который отсчитывается от линии, соединяющей источники. Расстояние от источников до точки наблюдения много больше расстояния. Решение. В силу удаленности точки наблюдения от источников мы можем считать лучи, проведенные от источников к точке наблюдения параллельными. Если опустить перпендикуляр
1
S A
к прямой
2
,
S A
то отрезок
2
S O
будет определять оптическую разность хода лучей, идущих от источников в точку наблюдения
2 1 2
cos cos
S A
l S S
d
= Δ =
⋅
Θ = ⋅
Θ из треугольника
1 2
S S Условие интерференционного максимума запишем следующим образом cos
l d
k
Δ =
Θ = λ , где k – целое число. cos
1, 0, +1
, , 0 2
π
⇒
Θ = −
⇒
Θ = π
8.23. Два когерентных источника испускают электромагнитные волны синфазно. Расстояние между источниками d
= λ, где
λ – длина волны испускаемого излучения (рис. 8.1). Определить направления, в которых можно наблюдать интерференционный минимум. Направление задается углом
Θ, который отсчитывается от линии, соединяющей источники. Расстояние от источников до точки наблюдения много больше расстояния d. Ответ
3
π
Θ = ;
2 3
π. Рис. 8.10

74 8.24.* Какую наименьшую толщину должна иметь пластинка, изготовленная из материала с показателем преломления n
=1,54, чтобы при ее освещенности красным светом с длиной волны
λ =750 нм она в отраженном свете на воздухе казалась а) красной б) черной Свет падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Решение. При наблюдении в отраженном свете будет оказывать влияние интерференция. световых волн, отраженных от двух границ пластинки. Для ответа на поставленный вопрос достаточно рассмотреть результаты сложения двух волн, появляющихся в результате однократного отражения, так как при отражении света, падающего перпендикулярно к границе раздела двух оптически прозрачных сред, интенсивность отраженной волны много меньше интенсивности падающей волны. Первая из указанных волн появляется в результате отражения от лицевой (по отношению к наблюдателю) поверхности пластинки, те. происходит отражение от границы раздела среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной (показатель преломления материала пластинки больше показателя преломления воздуха. Поэтому фаза волны претерпевает изменение на
π

1   2   3   4   5   6   7   8   9