ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
Запишемо закон збереження імпульсу системи у векторній формі:
R |
R |
R |
|
m1V1 |
+ m2V2 |
= (m1 + m2 )U , |
(1.16) |
де m1 і m2 – маси куль.
Знайдемо проекцію рівняння (1.16) на вісь ОХ (рис. 1.2):
m1V1 + m2V2 = (m1 + m2 )U . |
(1.17) |
Звідси одержимо швидкість куль після удару:
|
U = |
m1V1 |
+ m2V2 |
(1.18) |
||
|
m1 |
+ m2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Розглянемо центральний абсолютно пружний удар двох |
||||||
куль (рис.1.3). |
|
|
|
|
|
|
До удару |
|
|
Після удару |
|||
R |
R |
|
R |
|
|
R |
V1 |
V2 |
|
U1 |
m1 |
U2 |
|
m1 |
m2 |
|
|
m2 |
||
O |
|
|
|
|
|
X |
|
|
Рис.1.3 |
|
|
|
|
Нехай перша куля має масу m1 і швидкість до удару V1, а друга куля – масу m2 і швидкість V2. Визначимо швидкості куль U1 і U2 після удару, використовуючи закони збереження імпульсу та енергії:
R |
R |
R |
R |
|
m1V1 |
+ m2V2 |
= m1U1 |
+ m2U2 |
(1.19) |
m V 2 |
m V 2 |
m U 2 |
m U 2 |
|||||
1 1 |
+ |
2 2 |
= |
1 1 |
+ |
2 2 |
. |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Спроектуємо рівняння (1.19) на вісь ОХ (рис. 1.3):
m1V1 − m2V2 = −m1U1 + m2U 2 .
Перепишемо рівняння (1,20), (1.21) таким чином: m1 (V1 + U1 ) = m2 (V2 + U 2 )
m1 (V12 −U12 ) = m2 (U 22 −V22 ) .
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
15
Поділивши почленно рівняння (1.23) на рівняння (1.22), маємо:
|
|
|
V1 -U1 = U 2 -V2 , або |
(1.24) |
|
|
|
|
U 2 =V1 +V2 -U1 |
(1.25) |
|
Підставимо в рівняння (1.21) значення U2 та знайдемо U1 : |
|||||
U1 |
= |
|
2m2V2 + (m2 − m1 )V1 |
. |
(1.26) |
|
|
||||
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
Із рівнянь (1.25) і (1.26) маємо: |
|
||||
U 2 |
= |
2m1V1 + (m1 − m2 )V2 |
. |
(1.27) |
|
|
|||||
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
Приклад: Знайти швидкості тіл після абсолютно пружного удару (рис. 1.3), якщо їх маси m1 = 6 кг , m2 = 2кг та швидкості до удару V1 = 4 м / с , V2 = 3м / с .
U1 |
= |
|
2m2V2 |
+ (m2 − m1 )V1 |
|
= |
2 × 2 ×4 + (2 - 6) ×3 |
|
= -0.5 м / с , (1.28) |
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
6 + 2 |
|
|
||||
U 2 |
= |
2m1V1 |
+ (m1 − m2 )V2 |
|
= |
2 ×6 ×4 + (6 - 2) ×3 |
= 7.5 м / с . (1.29) |
|||
|
m1 + m2 |
|
||||||||
|
|
|
|
6 + 2 |
|
|
||||
|
|
Ми отримали від’ємне значення швидкості U 1 . Це означає, |
||||||||
що |
її дійсний напрямок |
буде протилежним до показаного |
||||||||
на рис. 1.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
16
1.2.Динаміка обертового руху
1.2.1.Момент сили. Момент імпульсу. Рівняння моментів. Важливі закони механіки зв’язані з поняттями моменту імпульсу або моменту кількості руху і моменту сили.
Моментом сили відносно точки О (рис. 1.4) називається
векторний добуток радіуса-вектора r |
R |
|
|
на вектор сил F : |
|
||
|
R |
|
|
R |
R |
]. |
|
R |
´ F |
(1.30) |
|
M = [r |
|||
Напрямок вектора моменту сили визначається за правилом векторного добутку. Він направлений вздовж осі обертання.
Модуль моменту сили дорівнює: |
|
M = rF sinα = rF = dF , |
(1.31) |
де F = F sinα , d = r sinα .Величина d називається |
плечем |
сили – це найкоротша відстань між лінією дії сили |
і віссю |
обертання (рис.1.4).
|
|
R R |
Плече сили |
F |
F = F sin α |
|
R |
|
d = r ×sinα |
α |
|
Вісь обертання |
|
|
R |
|
|
|||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
M |
|
R |
|
|
|
|
|
r |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O∙ |
|
|
|
R |
|
d |
|
|
r |
F |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
Лінія дії сили |
|
|
|
|
|
|
O` |
|
|
|
|
Рис. 1.4. Момент сили |
|
|
|
||
Вектор моменту |
імпульсу |
визначається |
по аналогії |
з |
|
|
|
|
|
R |
|
моментом сили: вектором моменту |
імпульсу |
L матеріальної |
|||
точки називається векторний добуток її радіуса-вектора r , |
на |
||||
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
вектор її імпульсу P : |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
(1.32) |
|
|
R |
|
|
||
|
L = [r ´ P] |
|
|||
|
17 |
|
|
|
|
Він направлений вздовж осі обертання (рис.1.5):
O ′
ωR
R
L
R |
R |
P |
= mV |
r
m
ω
O
Рис. 1.5. Момент імпульсу матеріальної точки
Модуль моменту імпульсу дорівнює:
|
|
|
|
|
L = rP sinα = mrV sinα , |
|
|
(1.33) |
||||||||||||||
де m − маса матеріальної точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
||
Виявляється, що |
величини |
L і M зв’язані між |
собою, |
|||||||||||||||||||
оскільки |
dL d [r × P] |
dr |
|
R |
|
R dP |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× P |
+ r × |
|
. |
(1.34) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
Оскільки |
|
dr |
|
= V |
і P = mV , то dr |
|
P і перший доданок в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1.34) дорівнює нулю. Отже матимемо: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
|
dP |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= r × |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(1.35) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Але, згідно з другим законом Ньютона,
(1.35) прийме вигляд:
R |
|
× F ], |
dL |
R |
|
|
= [r |
|
|
|
R |
dt |
|
|
R
dP = R
F . Тоді
dt
(1.36)
18
або
R |
(1.37) |
dL = M . |
|
R |
|
dt
Рівняння (1.37) називається рівнянням моментів: похідна за часом від моменту імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої вісі дорівнює моменту діючої сили відносно тієї ж вісі. Зауважимо, що М являє собою сумарний момент зовнішніх сил.
1.2.2. Кінетична енергія тіла, яке перебуває в обертовому русі. Момент інерції. Визначимо кінетичну енергію твердого тіла, що обертається навколо нерухомої вісі ZZ ′ (рис. 1.6) з кутовою швидкістю ω .
Z ′
ωR
R = ωR × R
Vi ri
R ri
mi
ω
Z
Рис. 1.6. Кінетична енергія обертового руху твердого тіла
Виділимо на твердому тілі на відстані ri від осі обертання точкову масу mi .Лінійна швидкість виділеної елементарної маси становить:
Vi = ω ri . |
(1.38) |
Кінетична енергія виділеної елементарної маси дорівнює:
T = |
m V |
2 |
= |
ω 2 |
m r 2 . |
|
i i |
|
|
(1.39) |
|||
|
|
|
||||
i |
2 |
|
|
2 |
i i |
|
|
|
|
|
|
||
|
19 |
|
|
|
||