ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 220
Скачиваний: 0
Момент інерції тіла відносно довільної осі ZZ ′ дорівнює сумі моменту інерції
цього |
тіло |
відносно |
|
паралельної |
осіCC′ , |
що |
|
проходить |
через |
центр |
мас |
тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між цими
осями I z = I c + ma 2 – (1.53),
де m − маса тіла, між осями.
С Z
a
m
C′ Z′
Рис. 1.9. Теорема Штейнера
1.2.4. Основне рівняння динаміки обертового руху. Якщо на тіло (рис.1.10), яке може обертатися навколо довільної Z, діє
Z
R = × R
Mz rR F
εR
z
R
F
|
R |
IZ |
r |
|
ω |
Z′
Рис. 1.10
момент сил M Z , а момент інерції цього тіла відносно цієї
ж осі I Z , |
|
то |
тіло |
набуде |
|||
кутового прискорення: |
|
|
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
= |
M |
z |
|
|
|
|
ε |
|
|
. |
(1.54) |
|||
z |
Iz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння |
|
(1.54) |
є |
||||
основним рівнянням динаміки обертового руху, в якому відіграє таку ж роль, як і другий закон Ньютона в поступальному русі.
24
1.2.5. Момент імпульсу твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу. Для твердого тіла, яке обертається навколо
осі |
ZZ ′ |
з кутовою швидкістю ω , |
величина моменту імпульсу |
|||||||||
може бути визначена таким чином. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уявно |
|
|
Z ′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
розіб'ємо |
тіло |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
||||
на |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
нескінченно |
|
|
|
|
Li |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R |
= |
R |
||||
малі частинки |
|
|
|
|
|
|
Pi |
miVi |
||||
– |
матеріальні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точки |
(рис. |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
1.11). |
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|||
Розглянемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
окрему таку i- |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точку. Модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
моменту |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
||
імпульсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 1.11. Момент імпульсу твердого тіла |
|||||||||||
даної точки з |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
масою Dmi відносно вісі ZZ ′ |
буде |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
DL = Dm r V sinα = Dm |
ω r 2 |
, |
|
(1.55) |
|||||
|
|
|
i |
i i |
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
де α = 90O , ω = V r .
Для всього тіла матимемо (індекс z біля L означає, що
момент імпульсу обчислено відносно осі ZZ ′ ): |
|
||
Lz = ∑Dmi ri |
2ω . |
(1.56) |
|
|
|
z |
|
де ωz – кутова швидкість обертання тіла відносно вісі ZZ ′ . |
|
||
n |
2 = Iz , тому: |
|
|
Згідно з (1.42) ∑ mi ri |
|
||
i =1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
Lz = Iz ×ωz |
|
(1.57) |
|
|
25 |
|
|
Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи тіл залишається сталим незалежно від взаємодії її складових
n |
n |
R |
R |
L = ∑Li |
R |
= const , |
|
= ∑Iiωi |
(1.58) |
||
i=1 |
i =1 |
|
|
де ωi – кутова швидкість i-го тіла, Ii – його момент інерції.
Закон збереження моменту імпульсу посідає важливе значення в механіці. У рівнянні (1.58) постійним залишається, як модуль моменту імпульсу так і його напрямок. На останній властивості ґрунтується робота гіроскопа. Гіроскоп це масивне тіло, яке може вільно обертатися з великою кутовою швидкістю навколо трьох осей. Основна його властивість: вісь гіроскопа зберігає свою орієнтацію в просторі незалежно від орієнтації основи гіроскопа. Гіроскопи широко застосовуються у навігації .
На основі закону збереження моменту імпульсу також пояснюється рух велосипедиста (мотоцикліста ). При русі велосипедиста (мотоцикліста ) вектор моменту імпульсу зберігає свою орієнтацію в просторі і велосипедист не падає.
26
2. ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ З РОЗДІЛУ “ МЕХАНІКА”
Лабораторна робота 1.1 Абсолютно пружний центральний удар куль
Мета роботи. Вивчення законів збереження при абсолютно пружному ударі куль.
Прилади і матеріали. 1. Установка для визначення часу пружного удару куль. 2. Штангенциркуль. 3. Лінійка. 4. Транспортир.
Теоретичні відомості
Установка для визначення часу пружного удару куль
(рис.2.1.1) складається з двох |
однакових абсолютно пружних |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
стальних куль, підвішених на |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
провідниках |
|
|
|
однакової |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
довжини. |
|
|
Провідники |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
підключені |
до |
конденсатора |
|||
|
|
|
|
α |
|
|
|
через електричний |
опір |
R . |
|||
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Конденсатор |
|
|
можна |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
підключати |
до |
джерела |
для |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
зарядки, або розряджати на |
|||||
m1 |
|
|
|
|
гальванометр |
за допомогою |
|||||||
|
|
|
|
перемикача |
Ï |
|
(рис. 2.1.2). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h |
m1 |
m2 |
|
Відведемо |
|
ліву |
кульку |
||||||
|
|
|
|
установки m1 |
від положення |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рівноваги |
на |
|
кут |
α , |
|
|
|
Рис. 2.1.1 |
|
|
зарядимо конденсатор |
та |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
відпустимо |
її. |
|
Рухаючись із |
||
швидкістю V1 , вона зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомою правою кулькою V2 = 0 . Під час удару куль конденсатор частково розрядиться.
27
П
G
E |
С |
R
m1 |
|
|
|
m2 |
|
||||
Рис.1.1.2 |
|
|
|
|
При абсолютно пружному центральному ударі куль |
||||
однакової маси (m1 = m2 = m) із рівнянь (1.26) і (1.27), маємо: |
||||
U1 = V2 ; U 2 = V1 , |
(2.1.1) |
|||
де U1 , U2 - відповідно швидкість першої та другої кульки після
удару.
Отже, при зіткненні двох однакових абсолютно пружних куль відбувається обмін швидкостями.
Скористаємося цією обставиною для визначення середньої сили зіткнення куль. Із другого закону Ньютона (1.5а) маємо:
FCτ = DP,
звідки |
|
|
|
D(mV ) |
|
|
|
|||
|
F = |
DP = |
= |
m × DV |
, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
τ |
|
|
τ |
|
τ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де τ – |
час зіткнення куль; |
V – зміна швидкості першої кулі при |
||||||||
ударі, |
але DV = V1 -U1 = V1 -V2 = V1 , |
тому що U1 = V2 ,a V2=0. |
||||||||
Остаточно одержуємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
mV1 |
|
, |
(2.1.2) |
|||
|
|
|
τ |
|||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
28
Масу кулі можна визначити за її густиною та об'ємом:
m = ρV = 4 πR3 ρ . 3
Знайдемо швидкість V1 кулі в момент удару (рис.2.1.1). Куля, відведена від положення рівноваги на кут α , має запас
потенціальної |
енергії |
Wn |
= mgh Ця енергія |
при |
ударі |
цілком |
|||||||||||
|
|
|
|
|
= W |
|
= |
|
mV 2 |
|
mgh = |
|
mV 2 |
||||
переходить у |
кінетичну: |
W |
|
|
|
|
1 |
|
або |
|
1 |
|
, |
||||
n |
K |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2gh |
|
|
|
|
|
(2.1.3) |
||||||||
Висоту |
h, з |
якої |
падає |
куля, |
можна |
визначити |
за |
||||||||||
відстаннюl (довжиною маятника) від точки підвісу до центра
маятника та |
кутом відхилення α |
маятника від |
положення |
|||
рівноваги |
h = l(1− cosα ) . |
|
||||
|
(2.1.4) |
|||||
Отже |
|
|
|
|
|
|
|
V1 = |
|
. |
|
||
|
2gl(1− cosα ) |
(2.1.5) |
||||
Час зіткнення τ настільки малий, що його неможливо |
||||||
виміряти |
секундоміром. |
Його |
|
визначають |
методом |
|
конденсаторного хронометра, суть якого полягає в наступному. Кулі при ударі замикають електричне коло, що складається з зарядженого конденсатора та опору R , послідовно з'єднаних між собою. Нехай у початковий момент часу t конденсатор мав заряд
q. За час |
dt при ударі заряд конденсатора зменшиться на dq. |
||
Миттєве |
значення струму при ударі I = − |
dq |
, а відповідно |
|
|||
|
|
dt |
|
зменшення заряду конденсатора dq=-Idt. Миттєве значення
струму може бути визначене з закону Ома I = U , але U = q , де
R C
29