Файл: Labaratorni_z_fiziki__vidpovidi_na_kontrolni.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.03.2024

Просмотров: 221

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Але кінетична енергія T всього тіла складається із кінетичних енергій його складових, тому

n

m r 2ω 2

=

ω 2

n

 

 

 

 

T = ∑

i i

 

2

∑ mi ri

2

.

(1.40)

i=1

2

 

 

i=1

 

 

 

 

Величину mr 2 позначимо через

I Z

і назвемо моментом

інерції матеріальної точки відносно вісі ZZ ′

 

 

 

 

 

I Z =

mr 2 ,

 

 

 

 

(1.41)

де m – маса матеріальної точки, r

– відстань до осі обертання.

Момент інерції всього тіла відносно вісі ZZ ′

дорівнює сумі

моментів інерції його складових частин:

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

I Z = ∑( I Z )i

= ∑ mi ri

2 .

 

 

(1.42)

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

Отже, момент інерції твердого тіла чисельно дорівнює сумі добутків мас матеріальних точок (на які уявно розбивають тіло) на квадрати відстаней до їх осі обертання.

Момент інерції має певний фізичний зміст: є мірою інертності тіла при обертальному русі та характеризує масу тіла та її розподіл відносно осі обертання. Аналогом моменту інерції у поступальному русі є маса тіла.

Кінетичну енергію тіла, що обертається відносно нерухомої вісі ZZ ′ можна записати таким чином:

T =

I z

ω 2

 

 

 

.

(1.43)

 

2

 

 

 

 

Індекс Z біля символу I у рівняннях (1.41,1.421.43) свідчить про те, що мова йде про момент інерції відносно вісі ZZ ′ , яка нерухома. Очевидно, що момент інерції цього ж тіла відносно іншої вісі зміниться, тому, говорячи про момент інерції, необхідно вказати вісь, відносно якої його обчислено.

20

У випадку однорідного тіла правильної форми операцію сумування заміняють на операцію інтегрування. Момент інерції будь-якого тіла можна обчислити через інтеграл:

I = ∫ r 2 dm ,

(1.44)

( m)

 

де інтегрування ведеться по всьому об’єму тіла, уявно розбитого на елементарні маси dm , кожна з яких характеризується своїм радіусом r відносно вісі обертання.

Знайдемо моменти інерції деяких тіл.

Момент інерції однорідного стержня відносно осі CC′ ,

що проходить через його центр мас.

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х1=-l/2

 

C′

 

 

Х2=l/2

 

 

 

 

 

Рис.1.7

 

 

 

 

Розглянемо однорідний стержень (рис. 1.7). Нехай його

маса m , довжина l , лінійна густина γ

(лінійна густина чисельно

дорівнює

масі, що

припадає на одиницю довжини стержня

γ = m

).

Систему

координат розмістимо таким чином, щоб

l

 

 

 

 

 

 

 

 

через її початок проходила вісь CC′ . Знайдемо момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його центр мас. Виділимо на відстані x від осі CC′ , яка проходить через центр мас стержня, елементарну масу dm . Елементарний момент інерції виділеної маси відносно осі CC′ складає: dI C = x 2 dm .

Оскільки dm = γdx ,то dI C = γ x 2 dx , а момент інерції всього стержня

21

 

 

 

X 2 =l / 2

 

 

 

 

x3

 

l / 2

 

 

γ

 

l 3

−l 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC

=

∫

γ x2 dx = γ

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

−

 

 

=

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

X1 =−l / 2

 

 

γ l

3

 

 

 

−l / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=

ml 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

виведенні

співвідношення

(1.45)

враховано, що

γ l = m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно знайдемо момент інерції однорідного стержня

відносно

осі ZZ ′ ,

що

проходить

через

один

із

його

кінців.

Систему координат розмістимо таким чином, щоб через її початок проходила вісь ZZ ′ .

 

I Z

X 2 =l

 

x3 l

=

γ l 3

=

ml 2

.

(1.46)

 

= ∫γ x 2 dx =γ

3 0

3

3

 

 

X1 =0

 

 

 

 

 

Момент інерції однорідного диска (циліндра) відносно

вісіCC′ , що проходить перпендикулярно його площині через

центр C (рис.1.8). Нехай

 

 

 

х

 

 

dх

 

маса диска т, радіус диска

 

 

 

С

 

R , густина ρ . Виділимо

 

 

 

 

 

 

 

 

на відстані х

від центра

 

 

 

с

 

 

 

 

(точка С) нескінченно

 

 

 

 

 

 

 

h

тонкий

обруч

товщиною

 

 

 

 

С’

 

 

dx , елементарний момент

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інерції

якого

дорівнює

Рис. 1.8. Момент інерції диска

 

dIC = x 2 dm .

Визначимо елементарну масу dm виділеного елементарного об'єму у вигляді тонкого кільця, беручи до уваги, що густина речовини ρ , а товщина диска h :

 

dm = ρ dV = ρ hdS ,

де

dS = 2π xdx – площа поверхні виділеного пояска, то

dIC

= 2πρhx3 dx . Проінтегруємо останній вираз:

 

22

m

R

 

 

 

 

 

 

IC = ∫ x2dm = ∫ x2 ρ 2π xdx =

 

 

 

0

0

 

 

 

 

,

(1.48)

R

 

 

 

 

 

 

R

4

 

mR

2

 

 

= ρ h2π ∫ x3dx = ρh2π

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де m = ρπ R 2 – маса диска.

Аналогічно можна знайти момент інерції диска з центральним отвором. Нехай радіус диска R , а радіус отвору r . Для цього рівняння (1.48) необхідно про інтегрувати від r до R

m

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC = ∫ x 2 dm = ∫ x 2 ρ 2πrdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(1.49)

= ρ h2π ∫ x3 dx = ρh2π R

4

− r

4

= m(R

2

+ r

2

)

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де m = 2π (R 2

− r 2 )hρ – маса диска.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із (1.49)

легко знайти

момент

інерції

диска без

отвору

( r = 0 ):

 

 

 

 

+ r 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

=

m(R 2

=

mR 2

 

,

 

 

 

 

 

 

(1.50)

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та момент інерції обруча відносно осі, що проходить центр мас

( r ≈ R )

 

 

m(R 2 + r 2 )

 

 

 

+ R 2 )

 

 

I

 

=

=

m(R 2

 

= mR 2 .

(1.51)

C

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент інерції кулі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

=

2

mR2 .

(1.52)

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.3.Теорема Штейнера. Ця теорема дозволяє знайти момент інерції тіла відносно довільної осі ZZ ′ , якщо відомий момент інерції даного тіла відносно паралельної осіCC′ , що проходить через центр мас даного тіла (рис. 1.9), а саме:

23

Смотрите также файлы