ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 0
Практичні завдання.
Варіант 1.
1.Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, що задана законом розподілу:
Х |
|
– 4 |
6 |
10 |
Р |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
2. Знайти математичне сподівання випадкової величини
ZX 2Y , коли відомо, що M Х 5, М Y 3.
3.Дано перелік можливих значень дискретної випадкової
величини Х: |
x1 |
1, x2 0 , |
x3 1, |
а також математичне |
||||
сподівання |
цієї |
величини |
та |
її |
квадрату: |
M X 0,1, |
||
M X 2 0,9. Знайти ймовірності |
p1 , |
p2 , p3 , |
які відпові- |
|||||
дають можливим значенням x1 , |
x2 , |
x3 . |
|
|||||
4. Випадкові величини X |
та Y |
незалежні. Знайти дисперсію |
||||||
випадкової |
величини |
Z 3X 2Y , |
коли |
відомо, що |
||||
D X 5, D Y 6. |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення |
|||||||||
|
дискретної випадкової величини Х, що задана законом |
|||||||||
|
розподілу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
4,3 |
|
5,1 |
|
10,6 |
|
|
|
Р |
|
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
6. |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення |
|||||||||
|
дискретної випадкової величини Х – числа появ події A в |
|||||||||
|
п’яти незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи |
|||||||||
|
події A в кожному випробуванні дорівнює 0,2. |
|||||||||
7. |
Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа |
|||||||||
|
появ події |
A в двох |
незалежних |
випробуваннях, якщо |
||||||
|
ймовірність появи події в цих випробуваннях однакова і |
|||||||||
|
відомо, що M X 1,2. |
|
|
|
|
|
||||
8.Дискретна випадкова величина Х набуває лише два можливих значення: x1 та x2 , причому x2 x1 . Ймовірність того, що X набуває значення x1 , дорівнює 0,6. Знайти закон розподілу величини X , якщо математичне сподівання та дисперсія відомі: M X 1,4; D X 0,24.
Варіант 2.
1.Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, що задана законом розподілу:
Х |
|
0,21 |
0,54 |
0,61 |
Р |
|
0,1 |
0,5 |
0,4 |
2. Знайти математичне сподівання випадкової величини
Z3X 4Y , коли відомо, що M Х 2, М Y 6 .
3.Дано перелік можливих значень дискретної випадкової
величини Х: |
x1 |
1, x2 |
2, |
x3 |
3, |
а також |
математичне |
сподівання цієї |
величини |
та |
її |
квадрата: |
M X 2,3, |
||
M X 2 5,9 . |
Знайти |
ймовірності |
p1 , p2 , p3 , які |
||||
відповідають можливим значенням x1 , x2 , x3 .
4. |
Випадкові величини X |
та Y |
незалежні. Знайти дисперсію |
||||||
|
випадкової |
величини |
Z 2X 3Y , коли |
відомо, що |
|||||
|
D X 4, |
D Y 5. |
|
|
|
|
|
||
5. |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення |
||||||||
|
дискретної випадкової величини Х, що задана законом |
||||||||
|
розподілу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
131 |
|
140 |
|
160 |
180 |
|
|
Р |
|
0,05 |
|
0,1 |
|
0,25 |
0,6 |
|
6. |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення |
||||||||
|
дискретної випадкової величини Х – числа відмов елемента |
||||||||
|
деякого пристрою в |
десяти |
незалежних випробуваннях, |
||||||
якщо ймовірність відмови елемента в кожному випробуванні дорівнює 0,9.
7.Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа появ події A в двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події в цих випробуваннях однакова і
M X 0,9.
8.Дискретна випадкова величина Х набуває лише два можливих значення: x1 та x2 , причому x2 x1 . Ймовірність того, що X набуває значення x2 , дорівнює 0,8. Знайти закон розподілу величини X , якщо математичне сподівання та дисперсія відомі: M X 2,6; D X 0,8.
Розділ 5. НЕПЕРЕРВНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
§ 5.1 Інтегральна та диференціальна функції розподілу ймовірностей випадкової величини
Теоретичні відомості.
Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу)
називають функцію F x , що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуває значення меншого за x, тобто
F x P X x .
Інтегральна функція розподілу має такі властивості:
1. Значення інтегральної функції належать відрізку [0 ; 1].
0F x 1.
2.Інтегральна функція є неспадною функцією, тобто
F x2 F x1 , якщо |
x2 x1 . |
3.Імовірність того, що випадкова величина Х набуває значення, яке належить інтервалу (a ; b), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:
P(a < X < b) = F(b) – F(a).
4.Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х має одне цілком визначене значення, наприклад, Х = x1 дорівнює нулю:
P(X = x1) = 0.
5.Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a ; b), то
F(x) = 0 для х a; |
F(x) = 1, для x b. |
6. Справедливі такі граничні співвідношення:
lim F(x) 0; |
limF(x) 1. |
x |
x |
Диференціальною функцією розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називають першу похідну від інтегральної функції, а саме:
f x F x .
Часто замість терміну “диференціальна функція” викори-
стовують термін “щільність імовірності” або “густина ймовірності”.
Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х набуває значення, яке належить інтервалу (a ; b) визначається рівністю
b
P(a X b) f x dx.
a
Знаючи диференціальну функцію f(x), можна знайти інтегральну функцію F(x) за формулою
x
F(x) f x dx.
-
Диференціальна функція має такі властивості:
1.Диференціальна функція (функція щільності) невід'ємна, тобто
f(x) 0.
2.Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від
–до дорівнює одиниці, а саме:
f (x)dx 1.
Зокрема, якщо всі значення випадкової величини Х містяться у проміжку (a ; b), то другу властивість можна записати у вигляді
b
f (x)dx 1.
a
Практичні завдання.
Варіант 1.
1. Випадкова величина X задана функцією розподілу
|
|
0 |
|
коли |
x 1, |
||
|
3 |
3 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|||||
F x |
|
x |
|
коли |
1 x |
|
, |
4 |
|
|
|||||
|
4 |
коли |
3 |
|
|||
|
|
1 |
|
x 1/3. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення, яке знаходиться в інтервалі
0 ,1/3 .
2.Випадкову величину X задано функцією розподілу
|
|
0 |
коли |
x 2, |
F x |
0,5x 1 |
коли |
2 x 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
коли |
x 4. |
|
|
|||
1) Знайти ймовірність того, що в результаті випробування
величина |
X набуває |
значення: |
а) меншого |
за |
0,2; |
|
б) меншого за 3; в) не меншого за 3; г) не меншого за 5. |
||||||
2) Знайти |
ймовірність |
того, що |
в |
результаті |
трьох |
|
незалежних |
випробувань величина |
X |
рівно |
два |
рази |
|
набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 2,5 |
; 3 . |
|||||
3. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:
Х |
|
2 |
4 |
7 |
9 |
Р |
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |