Файл: metodichka.pdf

результаті випробування X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 15 ; 25 .

3.Бомбардувальник, що пролетів вздовж мосту, довжина якого 30 м та ширина 8 м, скинув бомби. Випадкові величини X та Y (відстані від горизонтальної та вертикальної осей симетрії моста до місця падіння бомби) незалежні та розподілені нормально з середніми квадратичними відхиленнями, відповідно рівними 6 та 4 м, та математичними сподіваннями, що дорівнюють нулеві. Знайти: а) ймовірність влучення в міст однієї скинутої бомби; б) ймовірність руйнування моста, якщо скинуто дві бомби, причому відомо, що для руйнування моста достатньо одного влучення.

4.Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному законові з середнім квадратичним відхиленням 20мм та математичним сподіванням a 0. Знайти ймовірність того, що в трьох незалежних вимірюваннях помилка принаймні одного разу не перевищить за абсолютною величиною 4 мм.

5.Деталь, що виготовляється автоматом, вважається придатною, якщо відхилення її розміру від проектного не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення розміру деталі від проектного підпорядковані нормальному законові з середнім

ймовірність попадання X в інтервал 35 ; 40 ?

7.Випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням 5 мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного відносно математичного

сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 в результаті випробування попаде величина X .

де – стала додатна величина.

Функція розподілу показникового закону

Ймовірність попадання в інтервал a ; b неперервної випадкової величини X , що розподілена за показниковим законом розподілу

P a X b e a e b .

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу відповідно дорівнюють:

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Записати густину та функцію розподілу ймовірностей показникового закону, якщо параметр 6 .

2.Неперервна випадкова величина X , розподілена за показниковим законом, заданим при x 0 диференціальною

функцією розподілу f x 0,4 e 0,4x ; при x 0 f x 0. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 1 ; 2 .

4.Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого: а) густиною розподілу

Варіант 2.

1.Написати густину та функцію розподілу ймовірностей показникового закону, якщо параметр 2.

2.Неперервна випадкова величина X , розподілена по

3. Знайти математичне сподівання показникового розподілу заданого при x 0: а) густиною розподілу f x 3 e 3x ; б) функцією розподілу F x 1 e 0,05x .

4.Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого: а) густиною розподілу

§ 5.6 Закон великих чисел. Нерівність Чебишева

Теоретичні відомості.

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання за абсолютною величиною менша за додатне число , не

перевищує числа 1 D X :

2

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що X M X 0,2, якщо D X 0,004 .

2.Пристрій складається з 10 елементів, що працюють незалежно. Ймовірність відмови кожного елемента за час t дорівнює 0,05. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили і середнім числом

(математичним сподіванням) відмов за час t виявиться: а) меншою за 2; б) не меншою за 2.

3.Ймовірність появи події A в кожному випробуванні дорівнює 1/2. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події A знаходитиметься в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань.

4.Дискретну випадкову величину X задано законом розподілу

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити знизу.

2.В освітлювальній мережі паралельно з’єднано 20 ламп. Ймовірність того, що за час t лампа буде ввімкнутою, дорівнює 0,8. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом ввімкнутих ламп і середнім числом (математичним сподіванням) ввімкнутих ламп за час t виявиться: а) менше трьох; б) не менше трьох.

3.Ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює 1/4. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події знаходиться в межах від 150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

4.Дискретну випадкову величину X задано законом розподілу

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що X M X 0,4 .