ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 0
не шукаючи попередньо густини розподілу випадкової величини Y .
|
Варіант 2. |
|
|
|||
1. Випадкову величину |
X |
задано |
густиною |
розподілу |
||
ймовірностей f x |
1 |
x |
в |
інтервалі |
0 ; 2 ; |
за межами |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
цього інтервалу f x 0. Знайти математичне сподівання випадкової величини X .
2. Випадкову величину X |
задано густиною |
розподілу |
||
ймовірностей f x C 5x2 1 в |
інтервалі |
0 ; 1 ; |
за |
|
межами цього інтервалу |
f x 0. |
Знайти: а) параметр |
C ; |
|
б) математичне сподівання випадкової величини X . |
|
3.Знайти математичне сподівання випадкової величини X , що задана функцією розподілу
|
|
0 |
|
коли |
x 3, |
F x |
|
|
2 |
коли |
3 x 4, |
x 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
коли |
x 4. |
|
|
|
|
|
|
4. Випадкову величину X в інтервалі 3 ; 5 задано густиною
розподілу ймовірностей f x 3 x2 6x 45 ; за межами
4 4
цього інтервалу f x 0. Знайти математичне сподівання
функції Y X 2 , не шукаючи попередньо густини розподілу ймовірностей випадкової величини Y .
5. Випадкову величину X в інтервалі 4 ; |
5 задано густиною |
||
розподілу |
ймовірностей f x 2x 8; |
за |
межами цього |
інтервалу |
f x 0. Знайти дисперсію |
та середнє |
квадратичне відхилення величини X .
6.Знайти дисперсію випадкової величини X , що задана функцією розподілу
0 |
|
коли |
x 0, |
||
x |
2 |
|
|
||
F x |
|
|
коли |
0 x 6, |
|
36 |
|||||
|
коли |
x 6. |
|||
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
7.Випадкову величину X задано густиною розподілу ймовірностей f x cos x в інтервалі 0 ; /2 ; за межами
цього інтервалу f x 0. Знайти |
дисперсію |
функції |
Y sin X , не шукаючи попередньо |
густини |
розподілу |
ймовірностей випадкової величини Y . |
|
|
§ 5.3 Рівномірний розподіл
Теоретичні відомості.
Рівномірним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X , якщо на інтервалі a ; b , якому належать всі можливі значення X , густина має стале значення,
а саме f x |
1 |
, за межами цього інтервалу f x 0. |
|
||
|
b a |
|
|
|
Практичні завдання. |
|
|
Варіант 1. |
1.Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде припущено помилку: а) що перевищує 0,03 А; б) що не перевищує 0,01 А.
2.Рух автобусів деякого маршруту відбувається чітко за розкладом. Інтервал руху 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, буде чекати наступного автобуса менше як 3 хвилини.
3.Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , що розподілена рівномірно в інтервалі 2 ; 8 .
4.Діаметр х кола виміряно наближено, причому 10 x 11.
Розглядаючи діаметр кола, як випадкову величину X , що розподілена рівномірно в інтервалі 10 ;11 , знайти
математичне сподівання та дисперсію площі круга.
Варіант 2.
1.Ціна поділки шкали деякого вимірювального приладу дорівнює 0,2. Покази приладу округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде припущено помилку: а) меншу за 0,04; б) більшу за
0,05.
2.Хвилинна стрілка електронного годинника переміщується стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від точного не більше як на 20 с.
3.Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , що розподілена рівномірно в інтервалі 3 ; 11 .
4. Ребро куба х виміряно наближено, причому |
4 x 5. |
Розглядаючи ребро куба, як випадкову величину |
X , що |
розподілена рівномірно в інтервалі 4 ; 5 , |
знайти |
математичне сподівання та дисперсію об’єму куба. |
|
§ 5.4 Нормальний розподіл
Теоретичні відомості.
Нормальним називають розподіл імовірностей неперервної випадкової величини X , диференціальна функція розподілу якого має вигляд
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
1 |
|
|
x a 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 2 |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де a – |
математичне |
сподівання, |
|
– середнє |
|
квадратичне |
||||||||||||||||
відхилення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ймовірність того, |
що X |
набуде значення, яке знаходиться |
||||||||||||||||||||
в інтервалі ; , дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
P X Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де Ф x |
1 |
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
2 dx – інтегральна функція Лапласа. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від її математичного сподівання а на величину меншу за додатне число , дорівнює
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
X a |
|
2Ф |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
||||
Практичні завдання. |
|||||
|
Варіант 1. |
|
|
1. Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини X дорівнює a 3, середнє квадратичне відхилення 2 . Записати густину розподілу ймовірності випадкової величини X .
2.Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно дорівнюють 10 та 2. Знайти ймовірність того, що в
результаті випробування величина X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 12 ; 14 .
3.Автомат штампує деталі. Контролюється довжина деталі X , яка розподілена нормально з математичним сподіванням (проектна довжина), що дорівнює 50 мм. Фактично довжина
деталей, що виготовляються не менша за 32 мм та не більша за 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а) більша за 55 мм; б) менша за 40 мм.
4.Проводиться зважування деякої речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування
підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням 20г. Знайти ймовірність того, що зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує за абсолютною величиною 10 г.
5.Автомат виготовляє кульки. Кулька вважається придатною, якщо відхилення X діаметра кульки від проектного розміру за абсолютною величиною менше за 0,7 мм. Приймаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням 0,4 мм, знайти скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених.
6.Випадкова величина X розподілена нормально з
математичним сподіванням |
a 10. Ймовірність попадання |
||||||
X в інтервал |
10 ; |
20 |
дорівнює |
0,3. |
Чому |
дорівнює |
|
ймовірність попадання X в інтервал 0 ; 10 ? |
|
||||||
7. Випадкова величина |
X |
|
розподілена |
нормально з |
|||
математичним |
сподіванням |
a 10 |
та |
середнім |
|||
квадратичним |
відхиленням |
5. |
Знайти |
інтервал, |
симетричний відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 в результаті випробування попаде величина X .
Варіант 2.
1.Написати густину розподілу ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X , якщо відомо, що
M X 3, D X 16.
2.Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно дорівнюють 20 та 5. Знайти ймовірність того, що в