ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 198
Скачиваний: 0
Знайти функцію розподілу F x та побудувати її графік.
4.Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини
X
|
0 |
коли |
x 0, |
|
F x |
sin x |
коли |
0 x /2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
коли |
x /2. |
|
|
|||
Знайти диференціальну функцію розподілу f x .
5. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової
величини |
X |
в інтервалі /2 ; /2 дорівнює |
||
f x |
2 |
cos2 |
x; за межами цього інтервалу f x 0. Знайти |
|
|
||||
|
|
|
||
ймовірність того, що в трьох незалежних випробуваннях X рівно два рази набуде значення, що знаходиться в проміжку
0 ; /4 .
6.Задано диференціальну функцію розподілу неперервної випадкової величини X :
0 |
коли |
x 1, |
|
|
|
коли |
1 x 2, |
f x x 1/2 |
|||
|
0 |
коли |
x 2. |
|
|||
Знайти функцію розподілу F x .
7. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової
величини X в інтервалі 0 |
; /2 дорівнює f x Csin 2x ; |
за межами цього інтервалу |
f x 0. Знайти сталий параметр |
C . |
|
Варіант 2.
1. Випадкову величину X задано функцією розподілу
|
|
|
0 |
|
|
коли |
x 2, |
|
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|||||
F x |
|
|
|
|
arcsin |
|
коли |
2 x 2, |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
коли |
x 2. |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення, яке знаходиться в інтервалі
1 , 1 .
2. Випадкову величину X задано функцією розподілу
0 |
|
коли |
x 0, |
|
|
x |
2 |
коли |
0 x 1, |
F x |
|
|||
|
1 |
|
коли |
x 1. |
|
|
|||
1)Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення: а) меншого за 0,3; б) меншого за 0,5; в) не меншого за 0,5; г) не меншого за 0,8.
2)Знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань величина X рівно три рази
набуде значення, що належить інтервалу 0,25 ; 0,75 .
3. Дискретну випадкову величину Х задано законом розподілу:
Х |
|
3 |
4 |
7 |
10 |
Р |
|
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Знайти функцію розподілу F x та побудувати її графік.
4.Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини
X
|
0 |
коли |
x 0, |
|
F x |
sin2x |
коли |
0 x /4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
коли |
x /4. |
|
|
|||
Знайти диференціальну функцію розподілу f x .
5. Неперервну випадкову величину X задано густиною розпо-
ділу ймовірностей f x |
3 |
sin3x |
в інтервалі 0 ; /3 ; за |
|
|||
2 |
|
|
|
межами цього інтервалу f x 0. Знайти ймовірність того, що X набуде значення, яке належить інтервалу
/6 ; /4 .
6.Задано густину розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X :
|
0 |
коли |
x /6, |
|
f x |
3sin3x |
коли |
/6 x /3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
коли |
x /3. |
|
|
|||
Знайти функцію розподілу F x . |
|
|
|||
7. Густина |
розподілу ймовірностей неперервної випадкової |
||||
величини |
X |
задано в |
інтервалі |
0 ; 1 |
рівністю |
f x C arctg x; |
за межами |
цього |
інтервалу |
f x 0. |
|
Знайти сталий параметр C . |
|
|
|
||
§ 5.2 Числові характеристики неперервних випадкових величин
Теоретичні відомості.
Математичне сподівання неперервної випадкової величини
X , можливі значення якої належать усій числовій осі, визначається рівністю
|
|
M(X) x f (x) dx, |
x R . |
- |
|
де f(x) – диференціальна функція розподілу випадкової величини X .
В окремому випадку, коли всі можливі значення належать інтервалу (a ; b), то
b |
x a ; b . |
M(X) x f (x) dx, |
|
a |
|
Усі властивості математичного сподівання дискретних випадкових величин справедливі i для неперервних величин.
Дисперсія неперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать усій числовій осі, визначається рівністю
|
|
D(Х) [x M(X)]2 f (x) dx, |
x R, |
- |
|
або рівнозначною рівністю |
|
|
|
D(Х) x2 f (x) dx [M(X)]2 , |
x R. |
- |
|
Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a ; b), то
b |
x a ; b , |
D(Х) [x M(X)]2 f (x) dx, |
|
a |
|
або |
|
b |
x a ; b . |
D(Х) x2 f (x) dx [M(X)]2 , |
|
a |
|
Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини обчислюється так само, як і для дискретної величини, тобто
(X) D(Х) .
Практичні завдання.
Варіант 1. |
|
|
1. Випадкову величину |
X задано |
густиною розподілу |
ймовірностей f x 2x |
в інтервалі 0 |
; 1 ; за межами цього |
інтервалу |
f x 0. |
Знайти |
математичне |
сподівання |
|||
випадкової величини X . |
|
|
|
|
|
||
2. Випадкову |
величину |
X |
задано |
густиною |
розподілу |
||
ймовірностей f x C x2 |
2x |
в |
інтервалі |
0 ; 1 ; |
за |
||
межами цього інтервалу |
f x 0. Знайти: а) параметр |
C ; |
|||||
б) математичне сподівання випадкової величини X . |
|
||||||
3.Знайти математичне сподівання випадкової величини X , що задана функцією розподілу
|
0 |
коли |
x 0, |
|
F x |
sin2x |
коли |
0 x /4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
коли |
x /4. |
|
|
|||
4. |
Випадкову |
величину |
X |
задано густиною |
розподілу |
|||||
|
ймовірностей f x x 0,5 |
в інтервалі |
0 ; 1 ; |
за межами |
||||||
|
цього інтервалу |
f x 0. |
Знайти математичне сподівання |
|||||||
|
функції Y X 3 , |
не шукаючи попередньо густини розподілу |
||||||||
|
ймовірностей випадкової величини Y . |
|
|
|
||||||
5. |
Випадкову величину X в інтервалі 0 ; |
5 задано густиною |
||||||||
|
розподілу |
ймовірностей |
f x |
2 |
x ; |
за |
межами цього |
|||
|
|
|||||||||
|
|
f x 0. |
|
25 |
|
|
|
|
||
|
інтервалу |
Знайти дисперсію |
та |
середнє |
||||||
квадратичне відхилення величини X .
6.Знайти дисперсію випадкової величини X , що задана функцією розподілу
0 |
|
коли |
x 0, |
|
|
|
x |
2 |
коли |
0 x 1, |
|
F x |
|
|
|||
|
1 |
|
коли |
x 1. |
|
|
|
|
|||
7. Випадкову величину |
|
X |
задано густиною |
розподілу |
|
ймовірностей f x 4x 1 |
в інтервалі 0 ; 1 ; |
за межами |
|||
цього інтервалу f x 0. Знайти дисперсію функції Y X 2 ,