Файл: Шпоры переделан.docx

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение принципа сложения угловых скоростей вдоль оси вращения, т. е. = 0.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема. Ана­логом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е. = 0, гдеQ_mk - поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности под­системы, т. е. =0 - сумма падений давлений при обходе по контуру равна нулю; Р)-падение давления на ветви, входящей в контур.

Тепловая подсистема. Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е. = 0 - сумма тепловых потоков в узлах подсистем равна нулю, где Ф_k - тепловой поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение непрерывности, т. е= 0 - сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю, гдеT_j - разность тем­ператур на участке, входящем в контур.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии переменных типа потока и типа потенциала.

20. Получение эквивалентных схем технических объектов.

При построении эквивалентной схемы сначала в моделируемом объекте выделяют элементы, массу которых необходимо учесть. Такие элементы изображаются двухполюсниками (условное обозначение двухполюсника дано на рис. 2, а). Первый полюс этого двухполюсника соединяется с базовым узлом, отражающим инерциальную систему отсчета (или систему, которую можно принять при решении конкретной задачи за инерциальную) , что следует из компонентного уравнения элемента массы, второй полюс представляет собой собственно саму массу (через него осуществляются все взаимодействия элемента с окружающей средой). Далее выделяют учитываемые элементы трения и упругости. Элемент трения (рис .2, б) включается между контактируемыми телами, элемент упругости (рис. 2, в) - между телами, соединяемыми упругой связью. Внешние усилия, прикладываемые к механической системе, отображаются включением источника силы между базовым узлом и тем узлом, к которому подключен элемент массы, подвергающийся усилию. Идеальных источников скорости в природе не существует, так как этот источник должен обладать бесконечной мощностью и независимо от массы тела ему сообщается скорость, равная значению источника. Но тем не менее в эквивалентных схемах такие источники встречаются. Если моделировать вертикальные перемещения автомобиля при его движении по неровной каменистой дороге, то профиль дороги можно представить источником скорости, кото-рый будет включен между базовым узлом (земля) и узлом, с которого начинается изображение колеса.

21. Аппроксимация табличных данных. Метод наименьших квадратов.

Если в результате эксперимента или практической деятельности получено n +1 опытных данных (x_i, y_i); i = 0, 1, …, n , которые занесены в таблицу, и по ним построен график. Аппроксимация опытных данных состоит в нахождении аналитического выражения некоторой функции F(x), которая приближала бы полученную табличную функцию. Существует два метода аппроксимации:

1. Аппроксимировать опытные данные интерполяционным многочленом степени n, который проходит через все узловые точки.

2. Аппроксимировать опытные данные некоторой функцией, которая в некотором смысле проходит близко около каждого из узлов (метод наименьших квадратов).

Первый способ гарантирует точность лишь в небольшом интервале при небольшом количестве точек. При этом значения функции в узлах должны быть заданы с большой точностью. В результате же эксперимента неизбежны погрешности. Реальная наблюдаемая величина всегда зависит от многих факторов и это вызывает случайные колебания изучаемой функции. Увеличивая число узлов интерполяции, мы воспроизводим случайные колебания, а не закономерные изменения.

На практике, часто используют другой метод аппроксимации опытных данных. Аппроксимирующую кривую проводят так, чтобы она сгладила все случайные помехи табличной функции. При аппроксимации кривую F(x) проводят так, чтобы все ее отклонения от табличной функции (уклонения) были бы наименьшими.

23. Метод Ритца-Галеркина

Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан Функционал V [y (x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у (х), принимающую в точках x₀ и x_iзаданные значения ? = у (х₀) и ? = у (х₁), на которой функционал V [y (x)] будет достигать Экстремума.Значения исследуемого на экстремум функционала V[y (x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у (х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида    с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы ?₁(x), ?₂(х),..., ?_п (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций ?₁(х) является требование, чтобы функции у_п (х) удовлетворяли условиям уп (х_о) = ? и y_n (x₁) = ? для всех значений параметров a_1. При таком выборе функций у_п (х) функционал V [y (x)] превращается в функцию Ф (а₁, a₂,..., a_n) коэффициентов a_i, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений  i=1, 2, ..., n).  Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).  Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа 

25. Табличный метод получения математических моделей систем

В табличном методе в вектор базисных координат получаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквива-1тной схеме иметь любые зависимые ветви. Из обобщенного метода табличный получается алгебраизацией компонентных уравнений, т. е. из вектора неизвестных, исключаются производные переменных состояния.

Представление компонентных уравнений удобно для формирования матрицы Якоби. Матри­ца Якоби, получаемая при использовании табличного метода, сильно разреженная. Чем меньше число ненуле­вых элементов в матрице, тем выше экономичность моде­ли, поэтому следует стремиться получить максимальную разреженность матрицы.

Поскольку структура компонентных уравнений опре­делена набором элементов, используемых в объекте, то влиять на разреженность можно только за счет тополо­гической части ММС. Один из алгоритмов, обеспечива­ющий высокую разреженность М-матрицы, а потому и разреженность топологической части матрицы Якоби, основан на включении в дерево в первую очередь тех ветвей (по возможности), которые обладают наиболь­шим весом. Вес ветви определяется суммарной кратно­стью вершин, между которыми она включена. Кратность вершины, в свою очередь, определяется количеством ветвей, ей инцидентных. Для графа гидромеханической системы ветви, включенные в дерево, отве­чают этому условию.

В общем виде алгебраизованная и линеаризованная система уравнений, получаемая табличным методом, мо-сет быть записана следующим образом:

26. Узловой метод получения математических моделей систем.

Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых потенциалов, в качестве топологических уравнений - уравнения типа первого закона Кирхгофа. (7), где- вектор переменных, величин типа потенциала, характеризующих состояние узла (скорости, давления, температуры);I - вектор переменных величин типа потока (токи, силы, расходы, тепловые потоки). Топологические уравнения типа (7) могут быть получены с помощью матрицы инциденций А: (8) Из уравнений обобщенного метода получения топологических уравнений уравнение (8) может быть выведено следующим образом. В эквивалентную схему объекта вводятся фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым (базовым может быть любой узел эквивалентной схемы; как правило, это узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей). Проводимости этих ветвей равны нулю, т. е. переменная типаI в этих ветвях равна нулю.