ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 326
Скачиваний: 0
Vr
Vr
WK
Рис. 2.15
Задача К3
Исследование сложного движения точки
Цель работы: освоение методики аналитического определения скорости и ускорения точки при сложном движении.
Постановка задачи Точка совершает сложное движение, которое задано уравнениями в
переносном и относительном движениях. Требуется определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t1.
Варианты заданий
Данные для вариантов заданий см. на рис. К3.0 – К3.9 и табл. К3. Варианты заданий выдаются преподавателем.
Диск радиусом R (рис. К3.0 – К3.4) или прямоугольная пластина со сторонами A и B (рис. К3.5 – К3.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = f1(t). По ободу диска (см. рис. К3.0 – К3.4) движется точка М согласно уравнению φ1 = f2(t).
По диагонали прямоугольной пластины (рис. К3.5 – К3.8) или по стороне (рис. К3.9) движется точка М по закону S = AM = f3(t).
Положительные направления отсчета углов φ и φ1 показаны на рисунках дуговой стрелкой.
Определить положение точки М на диске или пластине, абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t1 = 1 c.
Все данные к условию задачи приведены в табл. К3.
78
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица К3 |
||
Но- |
|
Для рис. К3.0 – К3.4 |
Для рис. К3.5 – К3.9 |
|||||||
мер |
Для всех рисун- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
усло |
ков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1 = f2(t), |
|
|
|
|
s=AM=f3(t), |
A, см |
B, см |
|||
вия |
φ= f1(t), рад |
R, см |
||||||||
рад |
см |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t3 – 2t2 |
½ πt2 |
25 |
|
20t2 – 15 |
40 |
60 |
|||
1 |
2t2 |
1/3πt2 |
30 |
|
8 + 6t2 |
20 |
40 |
|||
2 |
6t – t2 |
1/4 πt2 |
50 |
|
16 + 7t2 |
30 |
50 |
|||
3 |
3t – t2 |
1/6 πt2 |
35 |
|
18t2 – 6 |
25 |
45 |
|||
4 |
t2 + t |
2/3πt2 |
40 |
|
6 + 12t2 |
35 |
55 |
|||
5 |
2t2 + 3t |
5/6 πt2 |
45 |
|
35t2 – 15 |
60 |
80 |
|||
6 |
t – t3 |
7/6 πt2 |
60 |
|
15 + 20t2 |
55 |
75 |
|||
7 |
4t + t2 |
4/3πt2 |
36 |
|
36t2 – 12 |
50 |
70 |
|||
8 |
t3 – 5t |
3/2πt2 |
55 |
|
14 + 18t2 |
70 |
90 |
|||
9 |
t2 – 2t3 |
7/4 πt2 |
46 |
|
25t2 – 20 |
65 |
85 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. К3.0 |
Рис. К3.1 |
|
79
Рис. К3.2 |
Рис. К3.3 |
Рис. К3.4
80
Рис. К3.5 Рис. К3.6
Рис. К3.8
Рис. К3.7
Рис. К3.9
81
Пример выполнения задачи К3
Стержень DE, составляющий угол α = 60° с вертикалью, вращается вокруг оси Z с угловой скоростью ω = 1,2t c-1. По стержню перемещается
кольцо М по закону S = О2М = 4πt2 см (прил. 7, рис. К3а ).
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение кольца М в момент времени t1 = 2с.
Р е ш е н и е
Будем считать, что в заданный момент времени стержень DE находится в плоскости чертежа. Выбираем две системы координат. Неподвижную O1X1Y1Z1, связанную с неподвижным подпятником О1, и подвижную, связанную со стержнем DE.
У подвижной системы показываем одну ось, направленную вдоль стержня.
Согласно определениям движение кольцавдоль стержня DE считается относительным движением, а вращение кольца вместе со стержнем относительно оси Z – переносным движением.
1. Определяем положение точки в момент времени t1 = 2с.
S1= O2M1= 4π · 4 = 16π = 50,24 см. 2. Определяем абсолютную скорость точки
Vа= Vе+ Vr .
При определении относительной скорости переносное движение мысленно останавливаем. Считаем, что кольцо движется только по стержню
Vr = dS/dt = 8πt.
При t1 = 2 с, Vr1 = 8 · 3,14 · 2 = 50,24 см. Вектор Vr 1 направлен в сторону возрастания S. Определяя скорость точки в переносном движении, мысленно останавливаем относительное движение. Считаем, что кольцо совершает вращательное движение вместе со стержнем CD.
Ve = ωehe,
где he – расстояние от точки (кольца) М до оси вращения.
ωe = 1,2t c-1;
he = O2M1 · sinα = 50,24 3 /2 = 43,7 cм; Ve1 = 2,4 · 43,7 = 105 см/с.
82
Вектор Ve направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас. На рис. К3а прил. 7 этот вектор показываем параллельным оси Х1, направляя его в сторону, противоположную оси Х1.
|
|
|
|
|
|
равен 90°, поэтому модуль абсолют- |
|
Угол между векторами Vr |
и Ve |
||||||
ной скорости будет равен Va = |
V 2 |
+ V 2 |
= 116 см/с. |
||||
|
|
|
e |
|
|
r |
|
3. Определяем абсолютное ускорение точки.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений
Wа = Wе+ Wr + Wк.
Относительное ускорение найдем по формуле
Wr = d2S/ dt2 = 25 см/с.
Вектор Wr направляем в сторону вектора Vr , т. к. знаки относитель-
ной скорости Vr и ускорения Wr одинаковы.
Переносное движение точки (кольца) – вращательное, поэтому переносное ускорение определяем как геометрическую сумму нормального и касательного ускорений
|
|
|
|
|
|
|
τ+ |
|
|
n . |
|
|||
|
|
|
W |
|
= W |
W |
|
|||||||
|
|
|
e |
|
e |
e |
|
|||||||
Модули нормального и касательного ускорений в переносном дви- |
||||||||||||||
жении найдем по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Wen = ωe2he ; Weτ = εehe , |
с-2. |
|||||||||||
где εe = dωe/dt – модуль углового ускорения стержня DE; εe = 1,2 |
||||||||||||||
При t1 = 2 с, We1n = (2,4)2 43,7 = 251,7 см/с2. Вектор |
We1n |
направля- |
||||||||||||
ем от точки М к оси вращения АВ. |
|
|
|
|
||||||||||
We1τ =1,2 · 43,7 = 52,4 см/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
τ направляем по касательной к траектории переносного |
||||||||||||
Вектор W |
||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
, т. к. знаки Ve и Weτ одинаковые. |
||||||
движения в ту же сторону, что и вектор V |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||
Определяем ускорение Кориолиса Wк = 2 (ωe ×Vr ).
Вектор ωe направлен вдоль оси переносного вращения O1Z1 в ту сто-
рону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки. Стержень DE поворачивается в сторону увеличения угла φ, по-
этому вектор ωe направляем вверх.
Модуль ускорения Кориолиса Wk = 2 ωe · Vrsin60°. При t1 = 2 с
Wk1 = 2 · 2,4 · 50,24 ·
83
Направление вектора ускорения Wк определим согласно правилу векторного произведения или по правилу Н. Е. Жуковского.
Вектор Wк1 направлен параллельно оси O1X1 противоположно на-
правлению этой оси. Абсолютное ускорение определяется аналитически,
проектируя векторное равенство (2.13) на оси системы координат OXYZ.
Wax =- We τ – Wk = –52,4 – 209,6 = –262 см/с2;
Way = Wr τ cos 30° – We n = 25·0,87 – 251,7 = –230 см/с2; Waz = Wr τ cos60° = 25 · 0,5 = 12,5 см/с2.
По проекциям определяем
Wа = Wх2 + Wy2 + Wz2 ;
WM = 2622 + 2302 +12,52 ;
Wа =348,9 см/с2.
Ответ: VM = 116,2 см/с; WM = 348,9 см/с2.
III. ДИНАМИКА
Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в зависимости от действующих на них сил и их инерционности.
Основные законы динамики 1. Закон инерции
Если на материальную точку не действуют никакие силы, то она находится в покое или совершает прямолинейное равномерное движение.
2. Закон пропорциональности силы и ускорения (основной закон) Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к
ней силе и имеет одинаковое с ней направление mW = F .
Еслинаточкудействуетнесколькосил, тоосновнойзаконпримет вид mW = ∑ Fi .
3. Закон равенства действия и противодействия Две точки или два тела действуют друг на друга с силами, равными
по величине и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны.
84