ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 327
Скачиваний: 0
4. Закон независимости действия сил Несколько одновременно действующих на материальную точку сил
сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.
Системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы, называются инерциальными, в противном случае их называют неинер-
циальными.
Третий закон динамики выполняется при рассмотрении движения тел в любых системах отсчета.
1. Динамика материальной точки
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах
Основное уравнение динамики имеет вид |
|
mW = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi , |
(3.1) |
где m – масса точки;
W – ускорение точки;
F1, F2 ,...Fn – силы, действующие на точку (учитываются как активные
силы, так и реакции связей, если точка несвободная).
Проектируя обе части векторного равенства (3.1) на координатные оси, получим:
m x = F1x+ F2x+… Fnx=ΣFix; |
|
&& |
(3.2) |
m y = F1y+ F2y+… Fny=ΣFiy; |
|
&& |
|
m &z&= F1z+ F2z+… Fnz=ΣFiz.
Уравнения (3.2) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки; здесь &x&, &y&,&z& – проекции ускорения точки на
оси декартовой системы координат; F1x, F2x,… Fnx; F1y, F2y,… Fny; F1z, F2z,… Fnz – проекции сил на оси декартовой системы координат.
Задачи динамики точки
В динамике точки рассматриваются две основные задачи. Их решение приведем на примере использования декартовой системы координат.
Первая задача динамики |
|
|
По заданной массе точки |
m и уравнениям |
ее движения |
x = f1(t), y = f2 (t), z = f3 (t) требуется |
определить модуль |
и направление |
равнодействующей сил, приложенных к точке.
85
Из дифференциальных уравнений (3.2) проекции равнодействующей на координатные оси определяются равенствами
&& |
; |
|
Rx= ΣFix= m x |
|
|
&& |
; |
(3.3) |
Ry= ΣFiy= m y |
||
Rz= ΣFiz= m &z&. |
y&&; &z&. Для их определения сле- |
|
|
&& |
|
Масса точки m задана, надо знать x , |
||
дует дважды продифференцировать по времени заданные уравнения движения точки. Затем, зная Rx, Ry, Rz, определяют модуль равнодействующей
по формуле R = Rx |
2 + Ry |
2 + Rz |
2 |
и направление по направляющим коси- |
||||||
нусам |
|
|
|
|
|
|
Ry |
|
|
|
|
|
R |
x |
|
|
|
|
R |
||
cosα = |
|
;cosβ = |
|
;cos γ = |
z |
, |
||||
|
|
R |
|
|||||||
|
|
R |
|
|
|
R |
||||
где α, β, γ – углы между направлением равнодействующей R и положительным направлением осей x, y, z соответственно.
Вторая задача динамики
Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу m, а также начальные условия движения (начальное положение точки и ее начальную скорость), получить уравнения движения точки.
Для решения этой задачи необходимо в левую часть дифференциальных уравнений (3.3) подставить значение массы m, а в правую часть – суммы проекций приложенных сил и полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени, а затем по начальным условиям определить постоянные интегрирования (С1, С2,... С6).
Задача Д1
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость vA , дви-
жется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0…Д1.9).
На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила Q и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (на-
правлена против движения).
В точке В груз, не изменяя своей скорости по модулю, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,1) и переменная сила F , проекция которой Fx на ось задана в табл. Д1.
86
Принимая груз за материальную точку и зная расстояние АВ = l или время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f (t ), где x = ВD.
Вариант задания (номер схемы, исходные данные из табл. Д1) выдается преподавателем.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица Д1 |
||
Номер |
m, |
v0, |
Q, |
|
|
R, Н |
|
l, |
t1, |
|
Fx, Н |
|
|
|
||||
усло- |
кг |
м/с |
Н |
|
|
|
м |
с |
|
|
α, град |
|
||||||
вия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
20 |
6 |
|
|
0,4v |
|
- |
2,5 |
|
2sin(4t) |
|
30 |
|
||||
1 |
2,4 |
12 |
6 |
|
|
0,8v2 |
|
1,5 |
- |
|
6t |
|
60 |
|
||||
2 |
4,5 |
24 |
9 |
|
|
0,5v |
|
- |
3 |
|
3sin(2t) |
|
30 |
|
||||
3 |
6 |
14 |
22 |
|
|
0,6v2 |
|
5 |
- |
|
-3cos(2t) |
|
60 |
|
||||
4 |
1,6 |
18 |
4 |
|
|
0,4v |
|
- |
2 |
|
-4cos(4t) |
|
30 |
|
||||
5 |
8 |
10 |
16 |
|
|
0,5v2 |
|
4 |
- |
|
-6sin(2t) |
|
45 |
|
||||
6 |
1,8 |
24 |
5 |
|
|
0,3v |
|
- |
2 |
|
9t 2 |
|
60 |
|
||||
7 |
4 |
12 |
12 |
|
|
0,8v2 |
|
2,5 |
- |
|
-8cos(4t) |
|
60 |
|
||||
8 |
3 |
22 |
9 |
|
|
0,5v |
|
- |
3 |
|
2cos(2t) |
|
30 |
|
||||
9 |
48 |
10 |
12 |
|
|
0,2v2 |
|
4 |
- |
|
-6sin(4t) |
|
45 |
|
||||
|
|
x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
D |
|
|
A |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
α |
|
|
Q |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. Д1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
D |
|
|
C |
|
|
|
|||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A
α
Рис. Д1.1
87
Рис. Д1.2
Рис. Д1.3
Рис. Д1.4
x
C
|
D |
|
|
|
|
B |
D |
Q |
A |
z |
α |
|
|
|
Рис. Д1.5
88
A
Q
D
B
D α
C
x
z
Рис. Д1.6
A
αD
Q
B
z
α |
D |
C
x
Рис. Д1.8
A
αD
Q
B
D
z
C
x
Рис. Д1.7
A
Q
α |
D |
B
z
α
D
C
x
Рис. Д1.9
89
Пример выполнения задачи Д1
На участке АВ трубы (см. рисунок) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t) , заданная в Ньютонах.
Дано: m = 2 кг, Q = 10H, R = μv Н, μ = 0,4 кг/м, v0 = 5 м/с, l = 2,5 м, Fx = 6t 2 Н, f = 0,1.
Определить закон движения груза D на участке ВС x = f (t) . Р е ш е н и е
Рассмотрим движение груза на участке АВ с целью определения скорости груза в точке В, которая будет начальной для участка ВС.
Строим расчетную схему. Для этого на рисунке показываем ось z, направленную вдоль отрезка АВ. Начало оси совмещаем с начальным положением точки, т. е. с точкой А. Материальную точку (груз) изображаем в промежуточном положении так, чтобы координаты ее положения были положительными.
Показываем силы, действующие на точку: активные (заданные), силы P ,Q , R и нормальную составляющую реакцию трубки N (трение отсутствует).
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z.
m &z&= ΣFiz = Q – R = Q –μz& |
|
||||||
или &z& = Q |
- |
μ |
z& |
= а - b z&, |
|
||
|
(1) |
||||||
m |
|
m |
|
|
|
||
где а = Q = 5, b = |
|
μ |
= 0,2. |
|
|||
|
|
|
|||||
m |
|
|
|
|
m |
|
|
90