Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

Скачать файл (2,21Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 325

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	Заменим в уравнении (1) &z& на d z&/dt				и, разделив переменные, полу-
чим:	dz&	= dt.
чим:	a − bz&	= dt.
	a − bz&
	После интегрирования имеем
				– 1 ln ׀а – b z&׀= t + C1	(2)
				b
	По начальным условиям движения определим постоянную интегри-
рования C1.		При t = 0 z&= V0, тогда C1 = – 1 ln ׀а – b V0׀.
				b
	После подстановки C1 в уравнение (2) найдем
	t = –	1 ln	a − bz&	.
			a − bz&
			a − bV
		b	a − bV
			0

Подставив числовые значения, получаем z& = 25 – 20 e-0,2t

При t = 1 с z&= VВ = 25 – 20 e-0,2 = 8,62 м/с.

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС.

Составим дифференциальные уравнения в проекциях на оси x и y.


&&	= Fx ;		&&	= F − Fтр − P cos30				o	;	(3)
mx	= Fx ;		mx	= F − Fтр − P cos30					;	(3)
	&&	= Fy ;		&&	= N − P cos 60	o	.			(4)
my		= Fy ;		my	= N − P cos 60		.			(4)

Сила трения скольжения определяется по формулеFтр = fN .

Вдоль оси у точка не перемещается, поэтому&y&= 0 – проекция ускорения точки на ось y. Из уравнения (4) находим 0 = N − P cos 60o, откуда

N = P cos 60o и сила трения Fтр = fP cos 60º = fmg cos 60º = 0,98 H.

Подставив числовые значения в дифференциальное уравнение (3), получаем:

	&&	=	6t	2	− 0,98 − mg cos30				o	;
mx		=	6t		− 0,98 − mg cos30					;
&&		6t 2			0,98			mg cos30o
x	=	m − m					−	m		;
				&&	= 3t	2	−	8,98.		(5)
				x	= 3t		−	8,98.

Интегрируя дважды уравнение (5), получим:

&	= t	3	− 8,98t + C1;
x	= t		− 8,98t + C1;
x = t 4	−	8,98t 2		+ C1t + C2.	(6)
4			2

Найдем постоянные интегрирования. Начальные условия при движении груза на участке ВС: при t = 0 x&0 = vB = 8,62 м/с, x0 = 0, С1 = vВ = = 8,62 м/с; С2 = 0. Подставив значения этих постоянных в уравнение (6), получим закон движения груза D на участке ВС.

x = 0,25t 4 − 4,49t 2 + 8,62t.

2. Общие теоремы динамики

Теорема о движении центра масс механической системы

Под механической системой понимается совокупность материальных точек, положение и движение которых взаимосвязаны. Например, движение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней; движение планет солнечной системы обусловлено силами их взаимного притяжения и т. д.

При изучении движения механических систем силы разделяют на внешние F e и внутренние F i .

Внешними называются силы, с которыми действуют на точки и тела рассматриваемой системы точки и тела, не входящие в состав этой систе-

мы. Внутренними называются силы, с которыми точки и тела

рассматри-

ваемой системы действуют друг на друга.

Положение центра масс системы, точки С,

определяется равенством

∑mi

r c=

(3.4)

где mi

– масса отдельной точки системы;

– радиус-вектор, определяющий положение этой точки системы;

– радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы;

M = ∑mi – масса системы.

Для i-й точки запишем основной закон динамики

d 2

m W = F e + F i

или

= F e + F i ,

(3.5)

i i

dt 2

где нижний индекс i = 1, 2,…n;

Fie – равнодействующая приложенных к точке внешних сил;

Fii – равнодействующая приложенных к точке внутренних сил. Суммируя уравнения (3.5), получим:

	d 2		r
∑mi				= ∑ Fie + ∑ Fii .
			i		(3.6)
	dt
		2

Продифференцируем дважды по времени уравнение (3.4).

	d 2		r	= ∑mi	d 2	r
M			c			i	.
	dt
		2			dt 2

Тогда, учитывая полученное выражение и то, что∑ Fii = 0 (свойство внутренних сил), уравнение (3.6) запишется:

Md 2rc = ∑ Fie = R e . dt 2

	d 2	r
	d 2	r
Зная, что		c	= W			, получаем:
Зная, что			= W			, получаем:
	dt 2			c
	dt 2
					MWc = ∑			e .	(3.7)
					MWc = ∑		Fi	e .	(3.7)

Уравнение (3.7) выражает теорему о движении центра масс механической системы.

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, под действием только внешних сил.

Проектируя (3.8) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения центра масс

			Mxc		=	e	;
			Mxc		=	∑ Fix	;
			&&
			Myc			e	;	(3.8)
			Myc		= ∑ Fiy		;	(3.8)
			&&
			M&z&c = ∑ Fize .
Следствия из теоремы:
1) если∑		e = 0, то
1) если∑	Fi	e = 0, то		Wc = 0 и vc = const;
		e	&&		и	&	&	&
2) если ∑ Fix = 0,			xc = 0		и	xc = const и еслиxc = 0, то		xc = dxc/dt = 0,

откуда xc = const .

Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохранения движения центра масс системы.

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор,

равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения

всех материальных точек системы

= ∑mi vi

или

= M vc.

(3.9)

Вектор количества движения тела имеет направление вектора скоро-

сти центра масс этого тела.

Дифференцируя уравнения (3.9), получим:

= M

dvc

(3.10)

С учетом (3.7) уравнение (3.10) примет вид

= ∑

e .

(3.11)

Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на эту систему.

В проекциях на оси координат уравнение (3.11) запишется

		dKx	= ∑ Fixe ;
		dt	= ∑ Fixe ;
		dt
	dK y		= ∑ Fiye ;		(3.12)
		dt	= ∑ Fiye ;		(3.12)
		dt
		dKz	= ∑ Fize .
		dt	= ∑ Fize .
		dt
Уравнения (3.12) представляют собой дифференциальную форму
теоремы об изменении количества движения системы.
Для получения другой формы рассматриваемой теоремы введем по-
нятие импульса силы.
Если на тело действует постоянная сила							в течение конечного про-
Если на тело действует постоянная сила						F	в течение конечного про-
межутка времени t, то импульс силы					определяется по формуле
межутка времени t, то импульс силы				S	определяется по формуле

S = F t.

Импульс силы есть вектор, направленный так же, как сила F . Для переменной силы сначала определяем элементарный импульс

d S = F dt.

Импульс силы за конечный промежуток времени определяют по формуле

	t2		t2
S	= ∫ dS	=	∫	Fdt .	(3.13)
	t1		t1

Интегрируя равенство (3.11), получим:

K2 − K1 = Σ ∫ Fiedt .

Учитывая (3.13), в окончательном виде полученное уравнение запишется:

		2 −	K1 = ∑	Sie .	(3.14)
	K

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе за этот промежуток времени.

Уравнение (3.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

В проекциях на оси координат уравнение (3.14) имеет вид

K2x − K1x = ∑ Sixe ;

K2 y − K1y = ∑ Siye ;

K2z − K1z = ∑ Size .

Следствия из теоремы на основании уравнений (3.11) и (3.12):

1.Если ∑ Fie = 0, то d К /dt = 0 и К – const.

2.Если ∑ Fixe = 0, то dKx/dt = 0 и Kx – const.

Эти следствия выражают закон сохранения количества движения систем.