Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

Скачать файл (2,21Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 323

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Момент количества движения материальной точки относительно центра О(рис. 3.1).

			(3.15)
	l0 = r × mv.		(3.15)
			Модуль вектора l0 равен
			l0 = mvh,
		где l0 – момент количества движения


		точки относительно центра О;
		m – масса точки;
Рис. 3.1		v	– скорость точки;
		v	– скорость точки;

		r	– радиус-вектор, определяющий
		r	– радиус-вектор, определяющий

положение точки М относительно центра О.

Момент количества движения точки относительно оси z lz = mv1h1,

где mv1 – проекция вектора количества движения на плоскость I, перпендикулярную оси z;

h1 – кратчайшее расстояние от вектора (mv1) до оси z;

lz может быть положительным или отрицательным, что определяется по аналогии с моментом силы относительно оси. Зависимость между l0 и lz следующая (рис. 3.2):

lz = l0 cosγ.

Рис. 3.2

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительного данного центра, называет-

ся вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра

		0 = ∑			(3.16)
	L		l0i = ∑ri × mivi.

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси, называется алгебраиче-

ская сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно оси

Lz = ∑lzi .

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен Lz= Jzω.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из n материальных точек. Выделим из системы i-ю точку и запишем дифференциальное уравнение ее движения

m dvi = F

e + F

i , или

d (mivi )

e + F

i ,

(3.17)

= F

i dt

где Fie и Fii – равнодействующие соответственно внешних и внутренних

сил, действующих на i-ю точку.

Положение i-й точки относительно некоторого центра О зададим ра- диусом-вектором ri . Левую и правую части уравнений (3.17) векторно ум-

ножим на

d(mi vi )

e +

i .

(3.18)

i i

Преобразуем полученное уравнение

(ri × mivi ) = dri

× mivi + ri ×

d (mivi )

т. к.

dri × mivi = vi × mivi = 0

(vi

mivi ),

ri × Fie =

0 (Fie ) ;

(F e )

(F i )

ri × Fii =

0 (Fii ) ;

где m

и m

– моменты сил

e и

i относительно центра О.

Уравнение (3.18) запишем в виде

dtd (ri × mivi ) = m0 (Fie )+ m0 (Fii ) ;

Запишем аналогичные уравнения для всех других точек системы и просуммируем их

n		n			n
∑	d	(ri × mivi ) =∑	m	0	(Fie )+ ∑	m	0	(Fii ).	(3.19)
	dt
1		1			1

В полученном уравнении

n	d		d
					dL
∑		(ri × mivi ) =		∑(ri × mivi ) =	0	,
	dt		dt		dt
1

∑n m0 (F i )= 0 на основании свойства внутренних сил. С учетом отмеченных

условий уравнение (3.18) запишется в виде

	= ∑n	m0 (		e ).
dL0					(3.20)
			Fi
dt
	1

Уравнение (3.17) выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Записывая равенство (3.17) в проекциях на оси координат, получаем:

dLy

= ΣМx( Fie );

= ΣМy( Fie );

= ΣМz( Fie ),

(3.21)

где Lx , Ly , Lz – кинетические моменты механической системы относи-

тельно осей координат.

Следствия из теоремы на основании уравнений (3.20) и (3.21):

1. Если ∑m0 (

e ) = 0, то

= 0

0 = const.

2. Если ∑mx (

e ) = 0, то

dLx

= 0

и Lx = const.

Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма кинетических энергий всех входящих в эту систему материальных точек

T = ∑Ti = ∑	m v2
	i i	.	(3.22)
	2

Кинетическая энергия твердого тела Формулы, определяющие кинетическую энергию тела при различ-

ных видах движения.
1)	Поступательное движение
	T =	1 Mv2	,		(3.23)
		2
где М – масса тела; v –скорость тела.
2)	Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
	T =	1 J zω2		,	(3.24)
		2

где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

ω– угловая скорость тела.

3)Плоскопараллельное движение

T =	1 Mvc2	+	1 Jcω2	,	(3.25)
	2		2

где vc – скорость центра масс тела;

Jc – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

В общем случае движения твердого тела кинетическая энергия опре-

деляется по формуле
T =	1 Mv2		+	1 J	p	ω2	,	(3.26)
	2	c		2	p

где vc – скорость его центра масс; M – масса тела;

J p – момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей

через центр масс; ω – угловая скорость вращения тела относительно мгновенной оси.

Кинетическая энергия в общем случае движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (теорема С. Кенига).

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии механической системы проводят, используя уравнение теоремы для точки, т. к. она справедлива для любой из точек системы. Тогда для каждой точки системы массой mi , движущейся со скоростью vi , можно записать: