Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

где vc – скорость центра масс С катка;

Jc – момент инерции катка относительно его центральной оси;

m R2

JC = 22 2 ;

ω2 – угловая скорость катка.

Выразим скорость vc , угловые скорости ω2 , ω3 через скоростьv1 груза 1 (рис. Д2 а).

Рис. Д2 а

Скорость точек обода ступенчатого блока равна скорости движения

сходящей с барабана нити (нить нерастяжима). Следовательно, ω3 = v1 ; r3

vс = ω3R3; vс = v1rR3 .

3

Так как каток 2 катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка Cv находится в точке соприкосновения его с неподвижной по-

111

T = 1,5v12 + 0,25v12 + 3v12 = 4,75v12.

Найдем сумму работ всех сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. Д2 б)

Рис. Д2 б

На груз 1 действуют силы: вес P1 ; нормальная реакция N1 ; сила трения Fтр1 , направленная противоположно скорости груза 1; сила F .

Силами, действующими на ступенчатый блок 3, являются вес P3 ; реакция подшипников в точке 0 – N3 и момент сил сопротивления M. К кат-

ку 2 приложены силы: вес катка P2 ; сила трения Fтр2 , препятствующая

скольжению катка; нормальная реакция N2. Работа силы P1

112

A(P1)= P1S1 sin 60o = m1gS1 sin 60o.

Работа силы F

Работа силы Fтр1

A(Fтр1)= −FтрS1; Fтр1 = fN1.

Для определения N1 составим дифференциальное уравнение движе-

ния груза 1 в проекции на ось y : m1&y&= N1 − P1 cos60o; учитывая, что проекция ускорения груза 1 &y&= 0, получим:

0 = N1 − P1 cos 60o; N1 = F1 cos 60o = m1g cos 60o,

тогда

Fтр = fmg cos60o и A(Fтр 1 )= − fm1gS1 cos 60o.

Работа момента М сил сопротивления

A(M ) = −Mφ3 .

Здесь ϕ3 – угловое перемещение ступенчатого блока 3. Выразим угол по-

Работа силы тяжести катка D

A(P2 )= −P2SC sin 45o.

Перемещение SC также выразим через перемещение S1.

SC = φ3R3 = S1R3 ; r3

A(P2 )= −m2 g R3 S1 sin 45o. r3

A(N1 )= 0, т. к. угол между силой N1 и перемещением точки ее при-

ложения равен 90°, а cos90o = 0.

A(P3 )= 0; A(N3 )= 0, т. к. они приложены к неподвижной точке. A(N2 )= 0, A(Fтр2 )= 0, т. к. эти силы приложены к мгновенному цен-

тру скоростей.

Сумма работ всех сил, приложенных к рассматриваемой системе:

113

∑Aie = A(P1 )+ A(F )+ A(Fтр)+ A(M )+ A(P2 ),

∑Aie = 0,256 + 2,05 − 0,147 − 0,6 − 1,386 = 0,173 Дж.

Приравнивая значения T и ∑ Aie , получим:

Ответ: v1 = 0,19 м/с.

Задача Д3

Применение теоремы о движении центра масс к исследованию движения механической системы

Тела 2 и 4 (рис. Д3.0…Д3.9) движутся (вращаются) по отношению к телу 1 с помощью механизмов, установленных на этом теле. Блок 3 вращается по закону φ3 = f (t ). Учитывая, что блок и катки сплошные однородные цилиндры, и предполагая горизонтальную плоскость гладкой, определить закон движения призмы. При t = 0 система находилась в покое.

Качение тел происходит без проскальзывания; нити невесомые и нерастяжимые, трением скольжения и качения тел по поверхностям пренебречь.

Необходимые для решения исходные данные приведены в табл. Д3 и на рис. Д3.0…Д3.9. Вариант задания выдаётся преподавателем.

Указания к работе.

Если ∑Fiхe = 0 и в начальный момент vcx = 0 , то при движении системы xc = const . Пусть система состоит из трёх тел с массами m1, m2 , m3 c начальными координатами их центров масс x1, x2 , x3. Если под дейст-

114

вием сил тела совершат абсолютные перемещения, проекции которых на

торую следует направить вдоль неподвижной горизонтальной плоскости.

115