ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1442
Скачиваний: 4
C
d W p
dp
T T
k
T
T
k
k
y
p
p
p
p
3
3
3
0
1 2
1
2
2
3
6
2
1
=
=
−
+
−
=
( )
.
Если управляющее воздействие меняется по закону
g t
g
v t
at
( )
=
+
+
0
0
2
2
,
то установившаяся ошибка из выражения (4) будет
ε
уст
p
p
p
v
at
k
a
T
T
k
k
=
+
+
+
−
0
1
1
2
1
.
Динамическое поведение САУ
Задача анализа качества систем в переходных режимах тесно связана с задачами анализа
переходных процессов, хотя и не совпадает с ними. Задача анализа качества регулирования в динамике
заключается в том, чтобы оценить характеристики переходных процессов (ПП) или так называемые
показатели качества, и предельные значения этих показателей.
В отличие от анализа переходных процессов, при анализе качества системы изучается не каждый
ПП в отдельности, а только выясняется входят ли характеристики ПП или показатели качества в
заданные пределы или нет.
Показатели качества регулирования зависят от типа входного воздействия.
Показатели качества регулирования при единичном
ступенчатом сигнале
Все переходные процессы можно разбить на два класса:
1. Установившиеся значения выходной величины не совпадают с первоначальными.
2. Установившиеся значения выходной величины и начальные совпадают.
1. В первом случае получаем характеристики ПП выходной величины при изменении управляющего
воздействия (рис.90).
x
x
уст
t
Рис.90
1
2
3
2. Во втором случае получаем характеристики переходных процессов выходной величины при
изменении возмущения (рис.91).
1 – апериодические,
1,2 – монотонные процессы,
3 – колебательные переходные процессы.
Колебательные процессы соответствуют комплексным
корням характеристического уравнения, апериодические – вещественным корням.
x
t
Рис.91
1
2
3
55
При нулевых начальных условиях в САУ 2-го порядка апериодические процессы будут
монотонными 1 и 2, а колебательные – не монотонными 3.
В более сложных системах выше 2-го порядка понятия монотонности и апериодичности не
совпадают. В системах n-го порядка апериодические процессы могут быть немонотонными.
x
x
уст
t
Рис.92
На рис.92 приведен график переходного процесса
выходной координаты системы 3-го порядка. На
экспоненциальную
характеристику
(пунктир)
накладывается колебательный процесс.
Колебательность
и
монотонность
являются
качественными оценками переходных процессов. Для
качественных САУ (приборные системы и т.п.) стремятся
получить процессы монотонные, слабоколебательные.
Количественные характеристики переходных процессов
Качество регулирования складывается из следующих количественных показателей переходного
процесса:
1. Время регулирования – ;
t
p
2. Величина максимального перерегулирования –
σ
%
;
3. Число колебаний переходного процесса – .
n
Остановимся на них более подробно:
1. Время регулирования характеризует быстродействие САУ и определяется интервалом времени
от начала ПП до момента, когда отклонение выходной величины от установившегося значения
становится меньше определенной величины. Обычно это
±5% от установившегося состояния (рис.93).
Быстродействие системы можно оценить по корням характеристического уравнения. Если известны
корни, то время регулирования можно примерно оценить по величине вещественной части ближайшего
к мнимой оси корня (рис.94).
x
x
уст
t
Рис.93
±5%
0
t
p
x
max
σ%
Мерой быстродействия является величина
λ
2
Im
Re
Рис.94
λ
1
λ
i
λ
n
λ
3
λ
4
r
i
i
=
=
min Re
,
,
λ
1 n
.
2. Величина перерегулирования –
σ%:
2.1. при управляющем воздействии
56
σ
%
max
=
−
⋅
x
x
x
уст
уст
100%
(рис.93),
2.2. при возмущающем воздействии.
В случае ПП вызванных возмущением
(рис.95),
максимальное
отклонение
определяется величиной
по отношению
к установившемуся состоянию
x
max
x
x
t
max
(
)
=∞
=
σ
САУ
считается
хорошей,
если
σ
%
=
÷
10 30%
.
В
некоторых
САУ
перерегулирование недопустимо.
x
x
уст
t
Рис.95
±5%
t
p
x
max
3. Обычно, приемлемым числом колебания в САУ считается n = 1–3. Число колебаний равно числу
минимумов в кривой переходного процесса в интервале времени
. Колебательность связана с
размещением корней характеристического уравнения системы и определяется как максимальное
отношение мнимой и вещественной частей комплексных корней, т.е.
t
p
µ
ω
α
=
=
max
,
,
i
i
i
i
n
1
.
Для того, чтобы ограничить колебательность, на плоскости корней задают сектор, определяемый
максимальным значением
µ
(рис.94).
В общем случае задача анализа состоит из определения допустимых пределов ПП (рис.96).
При выборе структурной схемы и значений
параметров САУ, выполнить все перечисленные
требования можно только принятием компромиссных
решений из-за противоречивости этих требований.
x
уст
x
t
Рис.96
+m
–m
t
p
x
max
Оценка качества регулирования по косвенным критериям
Полное представление о качестве ПП дает, естественно, сама кривая ПП
x t
( )
. Однако, при синтезе
систем необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества ПП без их построения,
по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем кривая
x t
( )
, и, кроме
того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров системы. Такие
косвенные признаки разработаны и называются критериями качества ПП. При исследовании качества
ПП они играют ту же роль, что и критерии устойчивости при исследовании устойчивости САУ.
Существует три группы критериев качества:
1. Частотные.
2. Корневые.
3. Интегральные.
1. Частотные критерии основаны на связи между параметрами переходного процесса с параметрами
частотных характеристик системы.
57
2. Корневые критерии основаны на распределении нулей и полюсов передаточной функции
замкнутой системы. На качество ПП влияет расположение всех корней, как полюсов (знаменатель), так и
нулей (числитель). Наиболее разработаны методы по распределению полюсов, поэтому их
целесообразно применять для систем с ПФ, не имеющими нулей,
W p
,
K
D p
з
( )
( )
=
где
D p
( )
– полином, имеющий n - корней (полюсов),
K const
=
– коэффициент усиления замкнутой системы.
К числу корневых критериев относятся:
1. Метод корневого годографа.
2. Диаграмма Вишнеградского.
3. При интегральном критерии строятся определенные интегралы от координат системы, от их
производных, а также комбинации координат и производных.
По величине этих интегралов можно судить о качестве ПП. Отметим, что прямой связи между
интегральным критерием и непосредственной оценкой кривой ПП не обнаружено, но его можно
употреблять как самостоятельный критерий. По нему лучшей является та система, у которой
интегральная оценка меньше.
Частотные критерии качества переходных процессов
Эти критерии, как уже говорилось, позволяют судить о качестве ПП по частотным характеристикам
замкнутой САУ.
Связь частотных характеристик замкнутой системы с переходной функцией
Если
F p
( )
изображение по Лапласу функции
f t
( )
, то оригинал
f t
( )
можно определить по
формуле обратного преобразования Лапласа:
–
f t
j
F p e dp
pt
c j
c j
( )
( )
=
− ∞
+ ∞
∫
1
2
π
,
(1)
где С – абсцисса абсолютной сходимости интеграла.
Если обозначить изображение по Лапласу переходной функции через
H p
( )
, то получим
H p
W p G p
з
( )
( )
( )
=
⋅
,
(2)
где
W p
з
( )
– передаточная функция замкнутой системы.
G p
( )
– изображение входного сигнала.
При
g t
( )
– единичный ступенчатый сигнал
G p
p
( )
=
1
, тогда
H p
W p
p
h t
з
( )
( )
& ( )
=
=
,
где
– переходная функция.
h t
( )
h t
j
W p
p
e dp
з
pt
c j
c j
( )
( )
=
− ∞
+ ∞
∫
1
2
π
.
(3)
Отметим, что строить переходный процесс имеет смысл только для устойчивых систем.
Следовательно, абсцисса абсолютной сходимости С=0 и можно перейти от обратного преобразования
Лапласа к обратному преобразованию Фурье:
h t
W j
j
e d
з
j t
( )
(
)
=
−∞
+∞
∫
1
2
π
ω
ω
ω
ω
.
(4)
58
Если передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробно-рациональную
функцию
W p
M p
N p
з
( )
( )
( )
=
, где
M p N p
( ),
( )
– соответственно полиномы числителя и знаменателя от
p
ПФ замкнутой системы, то уравнение (3) можно преобразовать к следующему виду
h t
M
N
M
N
e
i
i
i
t
i
n
i
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
⋅ ′
=
∑
0
0
1
λ
λ
λ
λ
– формула Хевисайда,
(5)
где
λ
i
– полюсы передаточной функции системы;
n – порядок характеристического уравнения замкнутой системы.
′
=
=
=
N
N
i
n
i
i
( )
( )
,
,
λ
∂ λ
∂λ
λ λ
1
.
Однако, для n>3 представляются большие трудности в нахождении корней
λ
i
и представлении
в виде зависимости (5).
h t
( )
Запишем ПФ замкнутой системы в виде
W j
P
jQ
A
e
з
j
(
)
( )
( )
( )
( )
ω
ω
ω
ω
ϕ ω
=
+
=
.
(6)
Для установления зависимости
от частотной функции замкнутой системы, воспользуемся
конечным значением интеграла Фурье для единичной ступенчатой функции в виде
h t
( )
1
1
2
1
0
( )
sin
t
t
d
= +
∞
∫
π
ω
ω
ω
.
(7)
Выражение (7) показывает, что единичная ступенчатая функция может быть представлена суммой
постоянной составляющей и суммы бесконечного числа слагаемых (гармоник) вида
d
t
ω
πω
ω
sin
, где
0
< < ∞
ω
.
Таким образом на вход системы действует постоянная составляющая
1
2
и бесконечное число
гармоник.
Реакция системы на постоянную составляющую получаем в виде
A( )
0
2
.
Если на вход системы подан гармонический сигнал, то на выходе установится также гармонический
сигнал вида
A
d
t
( )
sin[
( )]
ω ω
πω
ω
ϕ ω
+
– для каждой гармоники.
Применим принцип суперпозиции (справедливо только для линейных систем), и тогда получим
реакцию системы на
в виде
1( )
t
h t
A
A
t
d
( )
( )
( )
sin[
( )]
=
+
+
∞
∫
0
2
1
0
π
ω
ω
ω ϕ ω ω
.
(8)
В (8) разложим
sin[
( )]
ω ϕ ω
t
+
, получим
h t
A
A
td
A
td
( )
( )
( ) cos ( )
sin
( ) sin ( )
cos
=
+
⋅
+
⋅
∞
∞
∫
∫
0
2
1
0
0
π
ω
ϕ ω
ω
ω ω
ω
ϕ ω
ω
ω ω
.
(9)
Так как
A
P
Q
( )
( )
( )
ω
ω
=
+
2
2
ω
,
а
Q( )
ω
– функция, нечетная от
ω
, то при
ω
= 0
,
Q( )
0
0
=
, тогда
A
P
P
( )
( )
( )
0
0
2
=
=
(10)
0
,
ϕ ω
ω
ω
( )
( )
( )
= arctg
Q
P
,
ϕ
( )
0
0
=
.
59
=
=
).
(
sin
)
(
)
(
),
(
cos
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ω
ω
A
Q
A
P
(11)