Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
50
наблюдений (≥ 0,5); meнак (ωенак )- частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; me (ωe )- частота (частость) меди-
анного интервала.
(~ )
О.2. Модой Mo называют такое значение признака, которое
наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ей является вариант, которому соответствует наибольшая частота.
В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле:
M0 = a0 + h |
m0 − m0′ |
или M0 = a0 + h |
ω0 −ω0′ |
, |
|
2m0 − m0′ − m0′′ |
2ω0 −ω0′ −ω0′′ |
||||
|
|
|
где a0 - начало модального интервала, то есть такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); m0 (ω0 ) - частота (частость) модального интервала; m0′ (ω0′ ) - частота (частость) интервала, предшествующего модальному; m0′′ (ω0′′) - частота (час-
тость) интервала, следующего за модальным.
Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости. Модальные производительность и себестоимость помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.
Пример 37. Вычислить моду и медиану для интервального
ряда
Интервалы |
|
3 - 7 |
7 - 11 |
11 - 15 |
|
15 - 19 |
19 - 23 |
|
|
23 – 27 |
|
||||
Частоты |
|
6 |
|
9 |
|
11 |
|
|
12 |
|
8 |
|
|
4 |
|
Решение. Найдём объём выборки по формуле n = ∑mi , или |
|||||||||||||||
n = 6 +9 +11+12 +8 +4 = 50. Вычислим накопленные частоты |
|||||||||||||||
тнак = 6; т |
нак = 6 +9 =15; тнак |
= 6 +9 +11 = 26 , следовательно, |
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
медианным является интервал [11−15]. |
Тогда ае =11, тенак =15 , |
||||||||||||||
~ |
|
|
25 −15 |
≈14,36. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
те =11 и Ме =11+ 4 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
[15 −19], |
следовательно, a0 =15, |
||||||||
Модальным является интервал |
|||||||||||||||
m0 =12, m0′ =11, m0′′ |
|
|
|
~ |
|
|
|
12 −11 |
|
|
|||||
=8 . Тогда |
M0 |
=15 + 4 |
|
|
|
=15,8 . |
|
||||||||
24 −11−8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
51
34. Показатели вариации Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом,
не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, то есть вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах R0 , равный разности между наибольшим и
наименьшим вариантами: R0 = xmax − xmin .
Вариационный размах – приближённый показатель вариации, так как почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты которые используются для его вычисления, как правило, ненадёжны.
Более содержательными являются меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.
Средним линейным отклонением (d ) называют среднюю арифметическую абсолютных величин отклонений результатов
1 n
наблюдений от их средней арифметической d = n i∑=1 xi − x .
Эмпирической дисперсией (S 2 ) называют среднюю арифме-
тическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их
средней арифметической S 2 = 1 ∑n (xi − x)2 . Если по результатам n i =1
наблюдений построен вариационный ряд, то эмпирическая дисперсия S2 = n1 ∑(xi − x)2 mi .
Вместо эмпирической дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используют эмпирическое среднее квадратическое отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака. Для вариационного ряда среднее квадратическое отклонение:
S = n1 ∑(xi − x)2 mi .
Свойства эмпирической дисперсии
1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится.
52
3.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в
одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k2 раз.
4.Эмпирическая дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов наблюдений и квадратом средней
арифметической S 2 = x2 −(x)2 .
Пример 38. Найти эмпирическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение для следующего интервального вариационного ряда
|
Интервалы |
3 – 7 |
7 - 11 |
11 - 15 |
15 - 19 |
19 - 23 |
|
23 – 27 |
|
||||||||||
|
Частоты |
|
6 |
|
|
9 |
|
11 |
12 |
8 |
|
4 |
|
|
|||||
|
Решение. |
Эмпирическую |
дисперсию найдём по |
формуле |
|
||||||||||||||
|
S2 = |
|
|
−(x)2 и |
|
= n1 ∑ xi2mi где xi - середины интервалов |
|
|
|||||||||||
x2 |
x2 |
|
|
||||||||||||||||
|
mi |
- соответствующая частота, тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
1 |
(52 6 +92 9 +132 11+172 12 + 212 8 + 252 4)= |
12234 |
|
|
||||||||||||
|
x2 |
= |
|
||||||||||||||||
|
|
50 |
|
||||||||||||||||
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 244,6, |
|
x =14,52, |
S 2 = 244,68 −14,522 = 33,8496. |
|
|
|
|||||||||||||
35. Эмпирические центральные и начальные моменты Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда
являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.
О.1. Эмпирическим начальным моментом (νk ) порядка k на-
зывают взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней вариантов ν~k = xk = n1 ∑ xik mi .
О Эмпирическим центральным моментом (~k )
.2. µ порядка k называют взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней
отклонений |
вариантов |
от |
их |
средней |
арифметической |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
mi . |
|
|
|||||||
µk = (x − x) = |
n |
∑(xi − x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эмпирический |
|
центральный |
момент |
нулевого |
порядка равен |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
µ0 |
= (x − x) = |
|
n |
∑(xi − x) |
mi =1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Эмпирический |
1 |
|
центральный |
момент |
первого |
порядка |
равен |
||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
µ1 |
= (x − x) = |
n |
∑(xi − x) mi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Эмпирический |
|
центральный |
момент |
второго |
порядка |
равен |
|||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
2 |
~ |
~2 |
|
2 |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
= S |
. |
|
|
||||||||||
µ2 |
= (x − x) = |
n |
∑(xi − x) mi =ν2 |
−ν1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эмпирический центральный момент третьего порядка равен
~ |
|
|
1 |
3 |
~ |
~ ~ |
~3 |
3 |
|||||||
µ3 |
= (x − x) |
= n |
∑(xi − x) |
mi =ν3 |
−3ν2ν1 |
+ 2ν1 . |
|
Эмпирический центральный момент четвёртого порядка равен
~ |
|
|
|
1 |
4 |
~ |
~ ~ |
~ ~2 |
~4 |
4 |
= |
||||||||
µ4 |
= (x − x) |
n |
∑(xi − x) |
mi =ν4 |
−4ν3ν1 |
+6ν2ν1 |
−3ν1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволяют значительно упростить их вычисление.
1.Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то центральный момент k-го порядка не изменится.
2.Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число q раз, то центральный момент k-го порядка уменьшится
(увеличится) в qk раз.
36. Эмпирические асимметрия и эксцесс
(~)
Эмпирическим коэффициентом асимметрии A называют
отношение центрального момента третьего порядка к кубу средне- |
|||||||
|
~ |
~ |
|
~ |
|
||
|
µ |
3 |
|
µ |
3 |
|
|
го квадратического отклонения |
A = |
|
= |
|
. |
||
|
~3 |
||||||
|
|
S |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
µ2 |
|
||
Если полигон вариационного ряда скошен, то есть одна из его ветвей, начиная от вершины, зримо длиннее другой, то такой ряд называют асимметричным. Если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие x , то эмпирический коэффициент асимметрии отрицателен, и в этом случае имеет место левосторонняя асимметрия. Если же в вариационном ряду преобладают варианты, большие x , то эмпирический коэффициент асимметрии положителен, и в этом случае имеет место правосторонняя асимметрия. При левосторонней асимметрии левая ветвь длиннее правой. При правосторонней, более длинной является правая ветвь.