Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

44

ния погрешностей желательно взять шесть интервалов, имеющих длину 10.

30. Графическое изображение вариационного ряда. Графическое изображение вариационного ряда позволяет

представить в наглядной форме закономерности варьирования значений признака. Наиболее широко используются следующие виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (xi ;mi ), где xi -вариант,

mi -соответствующая ему частота. Иногда вместо точек (xi ;mi ) строят точки (xi ;ωi ). Затем эти точки последовательно соединяют отрезками в порядке возрастания xi . Полученная линия носит

название полигон частот или полигон относительных частот. Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и к ним относят интервальные частоты. Для полученного дискретного ряда строят полигон.

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для её построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на них строят прямоугольники с высотами, равными частотам (или частостям) соответствующего интервала. В результате получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую называют гистограммой.

Кумулятивная кривая (кривая накопленных частот или накопленных частостей) строится следующим образом. Если вариационный ряд дискретный, то в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ;miнак ), где xi- вариант, тiнак - со-

ответствующая накопленная частота. Иногда вместо точек (xi ;miнак ) строят точки (xi ;ωiнак ). Полученные точки соединяют

отрезками.

Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты (или накопленные частости); нижней

45

границе первого интервала – накопленная частота, равная нулю. Построив кумулятивную кривую, можно приблизительно установить число наблюдений (или их долю в общем количестве наблюдений), в которых признак принял значения, меньшие заданного. Иногда кумулятивную кривую называют кумулятой.

Пример 34. Построить полигон частот, гистограмму, кумуляту для интервального вариационного ряда.

Решение. Построим полигон частот. Вынесем на координатную плоскость точки (xi ;mi ), где xi - середины соответствующих

интервалов, то есть точки (6;4),(10;6),(14;12),(18;14),(22;8),(26;6) . Соединив их ломаной кривой, получим полигон частот.

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Для построения гистограммы отложим на оси абсцисс интервалы варьирования и на них как на основаниях построим прямоугольники высотами, равными соответствующим частотам.

16

14

12

10

8

6

4

2

0

[4 - 8] [8 - 12] [12 - 16] [16 - 20] [20 - 24] [24 - 28]

46

Для построения кумулятивной кривой отложим на координатной плоскости точки (4;0), (8;4), (12;10), (16;22), (20;36), (24;44), (28;45) и соединим их ломаной линией, получим кумуляту.

31. Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения случайной величины

Х называют функцию F * (x), определяющую для каждого значе-

ния х частость события (X < x): F * (x)= nnx , где пх – число вари-

антов хi, меньших х; п – объём выборки.

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами интегральной функции распределения. Действительно, из определения эмпирической функции распределения следует, что:

1)значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку [0;1];

2)F * (x) - неубывающая функция;

3)если х1 - наименьшее, а хп – наибольшее наблюденное зна-

(x)= 0 при x ≤ x1 и F * (x)=1 при x > xn .

Основное значение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется в качестве оценки функции распределения F (x)= p{X < x}.

Пример 35. Построить эмпирическую функцию распределения для интервального вариационного ряда

47

Решение. Согласно определению эмпирическая функция распределения имеет вид

И её график имеет вид

1,5

1

0,5

0

32. Средние величины Средние величины являются как бы «представителями» все-

го ряда наблюдений, поскольку вокруг них концентрируются наблюдавшиеся значения признака. Заметим, что только для качественно однородных наблюдений имеет смысл вычислять средние величины.

Различают несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая и так далее. При выборе вида средней величины необходимо ответить на вопрос: какое свойство ряда мы хотим представить средней величиной или, иначе говоря, какая цель преследуется при вычислении средней? Это свойство, получившее название определяющего, и определяет вид средней. Понятие определяющего свойства впервые введено советским статистиком А. Я. Боярским.

Наиболее распространенной средней величиной является средняя арифметическая. Пусть х1 , х2, K, хn - данные наблюде-

ний; x - средняя арифметическая. Свойство, определяющее среднюю арифметическую, формулируется следующим образом: сум-

ма результатов наблюдений должна остаться неизменной, если

48

каждое из них заменить средней арифметической, то есть

следующую формулу для вычисления средней арифметической по

1 n

данным наблюдений: x = n i∑=1xi . Если по наблюдениям построен

вариационный ряд, то средняя арифметическая x = n1 ∑ xi mi , где

xi - вариант, если ряд дискретный, и середина интервала, если ряд интервальный; mi - соответствующая частота.

Очевидно, что если по данным наблюдений построен дискретный вариационный ряд, то обе формулы дают одинаковые значения средней арифметической. Если же по наблюдениям построен интервальный ряд, то средние арифметические, вычисленные по этим формулам могут не совпадать, так как во второй формуле значения признака внутри каждого интервала принимаются равными центрам интервалов. Ошибка, возникающая в результате такой замены, вообще говоря, очень мала, если наблюдения распределены равномерно вдоль каждого интервала, а не скапливаются к одноимённым границам интервалов.

Основные свойства средней арифметической.

1.Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметической равна нулю, или сумма произведений отклонений вариантов от средней арифметической на соответствующие частоты равна нулю.

2.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на это же число.

3.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) во столько же раз.

4.Средняя арифметическая алгебраической суммы соответст-

вующих значений признака нескольких рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна алгебраической сумме средних арифметических этих рядов.

О.1. Среднюю арифметическую вычисленную по данным выборки называют выборочной средней.

49

Пример 36. Найти выборочную среднюю для выборки, представленной интервальным вариационным рядом

33. Медиана и мода Наряду со средними величинами в качестве описательных

характеристик вариационного ряда применяют медиану и моду.

(~ )

О.1. Медианой Me называют значение признака, приходя-

щее на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечётное число наблюдений, то есть n = 2q −1, и результаты наблюдений проранжированы и выписаны

в следующий ряд x(1), x(2),K, x(q−1), x(q), x(q+1),K, x(n). Здесь x(i )- значение признака, занявшее i-е порядковое место в ранжированом ряду. На середину ряда приходится значение x(q). Следова-

~ =

тельно: Me x(q).

Если проведено чётное число наблюдений, то есть n = 2q , то на середину ранжированного ряда x(1),x(2),K,x(q−1),x(q),x(q+1),K,x(n) приходятся значения x(q) и x(q+1). В этом случае за медиану при-

нимают среднюю арифметическую значений x(q) и x(q+1), то есть

есть такого, которому соответствует первая из накопленных частот (накопленных частостей), большая или равная половине всех