Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 225
Скачиваний: 0
|
68 |
|
|
|
|
вычисляется по формуле S)2 = |
1 |
n |
|
|
|
∑(Xi − x)2 . Примем без дока- |
|||||
|
|||||
|
n −1 i=1 |
nS)2 |
|
||
зательства тот факт, что случайная величина |
имеет распре- |
||||
σ 2 |
|||||
|
|
|
|
||
деление 2 с k = n −1 степенями свободы.
45. Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность
Оценку неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называют точечной оценкой. Наряду с точечным оцениванием статистическая теория занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания в самом общем случае можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной точностью можно сказать, что внутри находится числовой параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная
оценка мало надёжна.
[~(1) ~(2)]
О.1. Доверительным интервалом Θn ;Θn для параметра
Θ называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью p =1 −α , близкой к единице,
утверждать, что содержит неизвестное значение параметра Θ , то
есть |
~ |
|
~ |
p{Θn(1) |
<Θ <Θn(2)}=1−α . |
||
~(2) |
Чем |
|
меньше для выбранной вероятности разность |
~(1) |
, |
тем точнее оценка неизвестного параметра Θ , и на |
|
Θn |
−Θn |
||
оборот, если этот интервал велик, то оценка, произведенная с его помощью, мало пригодна для практики. Концы доверительного
интервала Θ~n(1)и Θ~n(2) зависят от элементов выборки, поэтому их
значения могут меняться от выборки к выборке. Вероятность p =1−α принято называть доверительной вероятностью, а число
α - уровнем значимости.
69
46. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности
Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно. Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания µ с заданным уровнем зна-
чимости α . Ранее показано, что выборочное среднее распределено
нормально с параметрами |
|
|
M (x)= µ, D(x)= |
σ 2 |
, нормированное |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
отклонение (x − µ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
n |
распределено также нормально с парамет- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − µ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
рами |
(x − µ) n |
|
= 0 и |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M |
σ |
|
|
D |
|
|
σ |
=1. Поэтому вероятность |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x − µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
любого отклонения |
|
|
|
может быть вычислена по формуле |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
p (x − µ) n |
< zкр |
= 2Ф(zкр). Для заданной доверительной веро- |
|||||||||||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ятности имеем p =1−α = 2Ф(zкр) или Ф(zкр)= |
|
1−α |
затем по таб- |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
лице функции Ф(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
находим zкр. Преобразуем формулу к удоб- |
|||||||||||||||||||||||||
ному виду p x − µ < zкрσ |
= 2Ф(zкр)или |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
σ z |
|
|
σ z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
кр < |
µ − x < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p − |
|
|
|
|
кр |
= 2Ф(zкр), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда p x −σ zкр |
< µ < x +σ zкр |
= 2Ф(zкр). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким образом, с вероятностью (надёжностью) 1−α можно |
||||||||||||||||||||||||
утверждать, |
что интервал |
|
|
|
|
− |
z |
|
σ |
; x + |
z |
σ |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
кр |
|
кр |
является довери- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тельным для оценки математического ожидания.
Пример 43. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ =12. Найти доверительный интервал для оценки математиче-
70
ского ожидания µ по выборочной средней x = 45 , если объём выборки n = 36 и доверительная вероятность p = 0,95.
Решение. Используя соотношение Ф(zкр)=1−2α =0,295=0,475,
по таблице (см. приложение таб.2) находим zкр =1,96. Вычисляем zкрnσ =1,963612 = 3,92, следовательно, доверительный интервал имеет вид (45 −3,92;45 +3,92) или (41,08;48,92).
47. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии генеральной совокупности
Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём среднее квадратическое отклонение σ этого распределения неизвестно. Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания µ с заданным уровнем
значимости |
|
|
α . Как показано ранее, случайная величина |
|
|
(x − µ) |
|
|
|
t = |
n |
|
распределена по закону Стьюдента, поэтому, вы- |
|
S) |
|
|
||
брав вероятность р и зная объём выборки п, можно по таблице
найти такое |
t |
|
, |
что |
|
|
(x − µ) n ) |
< t |
|
=1 |
−α . Проведём |
||||||
n, p |
|
p |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
n, p |
|
|
|
||
преобразование |
|
формулы, |
позволяющее |
|
оценить |
µ: |
|||||||||||
|
< |
tn, pS |
|
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p x − µ |
|
|
|
|
n |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn, pS |
|
|
< |
µ − x < |
tn, pS |
|
|
|
|
|
|
|||||
или p − |
|
|
|
|
n |
|
|
=1−α |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
tn, pS |
|
< µ < x + |
tn, pS |
|
=1− |
α . |
Поэтому с ве- |
||||||
откуда p x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
роятностью (надёжностью) |
p =1−α можно утверждать, что ин- |
||||||||||||||||
тервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
tn, pS |
|
tn, pS |
|
|
|
; x + |
|
является доверительным для оценки |
||
x − |
|
|
|
||
|
n |
|
|
n |
|
неизвестного математического ожидания µ.
Пример 44. Пусть требуется построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания µ при
n = 9, p = 0,95, x = 6, S = 3.
Решение. По таблице (см. приложение табл. 3) значениям
n = 9, p = 0,95 |
соответствует |
t9,0,95 = 2,31, |
поэтому |
|||||||
x − Stn, p |
n |
< µ < x + Stn, p |
n |
или |
6−3 2,31 |
<µ |
<6+3 2,31 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|||
Окончательно, имеем 3,69 < µ <8,31.
48. Доверительный интервал для дисперсии Пусть случайная величина Х распределена нормально. Тре-
буется построить доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности σ 2 либо по выборочной дисперсии Sx2 ,
либо по S)2 . То есть два случая: 1) математическое ожидание генеральной совокупности известно, 2) математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно.
Построение доверительного интервала для дисперсии осно-
|
nS x2 |
|
|
вывается на том, что случайная величина |
σ 2 имеет |
||
распределение 2 с k = n степенями свободы, |
величина |
nS)2 |
|
σ 2 |
|||
имеет распределение 2 с k = n −1 степенями свободы. |
|||
|
|||
Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как именно он наиболее часто встречается на практике. Итак, для выбранной вероятности p =1−α , учиты-
|
nS)2 |
|
|
|
|
|
|
вая, что |
σ 2 имеет распределение 2 с k = n −1 |
степенями |
|||||
свободы, можно записать |
p 2 |
< nS)2 |
|
< 2 |
=1−α . Далее по |
||
|
|
1 |
|
σ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таблице 2 -распределения (см. |
приложение таб. 4) |
нужно вы- |
|||||