Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

1,38<2,649, то с надежностью 0,99 нельзя считать расхождение средних значимым, или при уровне значимости 0,99, можно считать, что математические ожидания M (x)= M (y).

53.Сравнение выборочных дисперсий Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в

технике, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов.

Сформулируем гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Рассмотрим две случайные величины X и Y , каждая из которых подчиняется

нормальному закону распределения с дисперсиями σ 2x и σ 2y .

Пусть из генеральных совокупностей X и Y извлечены две независимые выборки объёмами n1 и n2 . Проверим гипотезу H0 о

том, что σ 2x =σ 2y относительно альтернативной гипотезы H1, за-

ключающейся в том, что σ 2x >σ 2y . Для оценки σ 2x используем исправленную выборочную дисперсию S)x2 , а для оценки σ 2y - ис-

правленную выборочную дисперсию S)2y , следовательно, задача проверки гипотезы H0 сводится к сравнению дисперсий S)x2 и

79

делением Фишера-Снедекора. Заметим, что всегда можно так ввести обозначения, что S)12 ≥ S)22, поэтому случайная величина F

принимает значения, не меньшие единицы. Дифференциальный закон распределения случайной величины F не содержит неизвестных параметров (µ;σ ) и их оценок, а зависит лишь от числа

наблюдений в выборках n1 и n2 . Этот факт позволяет составить

таблицы распределения случайной величины F , в которых различным значениям уровня значимости и различным сочетаниям величин k1 и k2 ставят в соответствие такие значения F(α;k1;k2),

для которых справедливо равенство P{F > F (α;k1;k2 )}=α . Сформулируем правило вычислив исправленные выбороч-

в числителе запишем большую из них. Затем, выбрав необходимый уровень значимости α , по таблице F -распределения находим число F (k1 ;k2 ;α), которое сравниваем с вычисленным F p .

Если окажется, что Fp > F (k1 ;k2 ;α), то проверяемая гипотеза отвергается (различие между дисперсиями значимо), если

Fp ≤ F (k1 ;k2 ;α), то выборочные наблюдения не противоречат

проверяемой гипотезе.

Пример 47. На двух станках обрабатываются детали. Отобраны две пробы: на первом станке n1 =10 , на втором станке

n2 =15. По данным этих выборок рассчитаны исправленные вы-

80

борочные дисперсии S)12 = 9,6 (для первого станка) и S)22 = 5,7 . Проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о том, что

1,68<2,65, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям, иными словами, нет оснований считать, что станки обладают разной точностью.

54. Проверка гипотез о законе распределения

Критерий согласия 2 (Пирсона)

До сих пор мы рассматривали гипотезы, относящиеся к отдельным параметрам распределения случайной величины, причём закон распределения предполагался известным. Однако во многих практических задачах закон распределения случайной величины неизвестен, т. е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что случайная ве-

личина подчиняется закону распределения F (x). Для проверки

гипотезы произведём выборку, состоящую из п независимых наблюдений над случайной величиной X . По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой слу-

чайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретиче-

ского распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия. Существует не-

сколько критериев согласия: 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьём всю область изменения X на l интервалов ∆1 ,∆2 ,L,∆l и подсчитаем количество элемен-

81

тов mi , попавших в каждый из интервалов ∆i . Предполагая известным теоретический закон распределения F (x), всегда можно определить pi (вероятность попадания случайной величины X в интервал ∆i ), тогда теоретические частоты можно рассчитать по формуле n pi . Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу H0 следует отвергнуть,

в противном случае - принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается,

k = l −r −1 степенями свободы. Здесь r - число параметров рас-

пределения F (x). Правило применения критерия 2сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты n pi и вычислив

значение 2p , затем выбрав уровень значимости критерия α , по таблице находим 2 (k ;α). Если 2p > 2 (k ;α), то гипотезу H0

отвергают, если 2p ≤ 2 (k ;α), то гипотезу принимают или, дру-

гими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения F (x). В

заключение отметим, что необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.

Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Опре-

делить выборочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для

распределения Пуассона[M (x)=σ 2 ]. Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретическо-