Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 213
Скачиваний: 0
97
го, что хотя бы из одного ящика будет, вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Задача 23. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность промаха при одном выстреле.
Задача 24. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?.
Задача 25. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
Задача 26. Вероятность попадания в самолёт равна 0,8, а вероятность его сбить 0,32. Найти вероятность того, что при двух попаданиях самолёт будет сбит.
Задача 27. В урне 10 шаров. Вероятность вытаскивания двух чёрных равна 2/15. Сколько в урне было белых шаров?
Задача 28. Студент пришёл на зачёт, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачёт, если после отказа отвечать на первый вопрос преподаватель задаёт ещё один вопрос?
Задача 29. В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не вынут синий шар.
Задача 30. Студент, разыскивая книгу, решил обойти три библиотеки. Для каждой из библиотеки одинаково вероятно, есть
веё фондах книга или нет, если есть, то одинаково вероятно, выдана она или нет, что вероятнее, достанет студент книгу или нет.
Задача 31. Часы изготовляются на трёх заводах и поступают
вмагазин. Первый завод производит 40% продукции, второй - 45% и третий - 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, у второго - 70% и у третьего - 90%. Каково вероятность того, что купленные часы спешат?
Задача 32. По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором - 0,6, при третьем - 0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух - с вероятностью - 0,6, при трёх - самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?
98
Задача 33. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 чёрных, распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из неё - один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность события А = {вынутый шар белый} была максимальной.
Задача 34. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной задачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен?
Задача 35. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из чётырёх поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачёт.
Задача 36. (задача де Мере). Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
Задача 37. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй - 6 и из третей - 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы - 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент.
Задача 38. Из полного набора костей домино 28, наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
Задача 39. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
Задача 40. В урне лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятность белый или чёрный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар.
Задача 41. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 60%. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку для грузовых ма-
99
шин, равна 0,1, а для легковых - 0,2. К бензоколонке подъехала на заправку машина. Найти вероятность того, что она грузовая.
Задача 42. Три стрелка одновременно выстрелили, и в мишени обнаружили две пули. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго - 0,5, а для третьего - 0,4.
Задача 43. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключён): три партии из четырёх или пять из восьми.
Задача 44. Вероятность появления события А в опыте равна 0,3. Опыт повторили 5 раз независимым образом. Какова вероятность того, что событие А при этом появится не менее двух раз?
Задача 45. В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди студентов второго курса - 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница.
Задача 46. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.
Задача 47. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20.
Задача 48. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нём будет обнаружен хотя бы один микроб.
Задача 49. Сколько в среднем нужно класть изюма в булочку, чтобы вероятность найти хотя бы одну в ней превышала 0,95.
Задача 50. Случайная величина Х распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида:
c cos x, при π |
|
≤ x ≤ π |
|
, |
||
f (x)= |
при |
2 |
x > π |
|
2 |
|
0, |
|
2 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Найти константу с, вычислить P{x < π 4 , М(х) и D(х).
100
Задача 51. Функция распределения случайной величины задана интегральной функцией:
0, |
|
при x ≤ 0, |
|
|
2 |
|
|
|
|
при0 < x ≤ 2, |
|
F (x)= x |
|
4 |
|
|
|
при x > 2. |
|
|
|
||
1, |
|
|
|
Вычислить P{X ≥1}, М(х), D(х), А, Е.
Задача 52. Из урны содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х - число белых шаров в выборке. Составить закон распределения и найти М(х), D(x), А, Е.
Задача 53. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х - время ожидания автобуса на остановке - распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания.
Задача 54 Случайная величина Х распределена по закону
равнобедренного треугольника в интервале (-а, а) (закон Симпсо-
на), если она непрерывного типа и её плотность распределения вероятностей имеет вид, изображённый на рисунке:
y=f(x)
-а 0 а х
Написать выражение для f(x) и F(x). Вычислить D(x).
Задача 55. Случайная величина Х распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей:
F (x)= b + c arctgx при - ∞ < x < ∞.
Выбрать коэффициенты а, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа.
Задача 56. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется выборочным средним отклонением σ . Считая, что для данной технологии σ = 5 и Х нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.
101
Задача 57. В нормально распределенной совокупности 15% значений ах меньше 12 и 40% значений ах больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение данного распределения.
Задача 58. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?
Задача 59. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0,9.
Задача 60. Событие А может появиться в одном испытании с вероятностью 0,4. Случайная величина Х - число появлений событий А в пяти испытаниях. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти М(х), D(х), А, Е.
Задача 61. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.
Задача 62. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470; в) не более 1469.
Задача 63. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний п, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
Задача64. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
Задача 65. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей, чем
0,95?
102
Задача 66. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.
Задача 67. Случайная величина Х имеет дисперсию D(x)=0,004. Найдите вероятность того, что случайная величина отличается М(х) не более чем на 0,2.
Задача 68. Для случайной величины Х известна дисперсия D(х)=0,009 и неравенство P(X − M( x ) ≥ a)< 0,1
Найдите число а.
Задача 69. Среднее число дождливых дней в июле 10. Оценить вероятность того, что в июле будет более 20 дождливых дней.
Задача 70. Время выполнения расчётного задания различными производственными группами:
38 |
60 |
41 |
51 |
33 |
42 |
45 |
21 |
53 |
60 |
61 |
65 |
72 |
43 |
44 |
42 |
40 |
68 |
52 |
47 |
46 |
49 |
49 |
14 |
57 |
54 |
59 |
67 |
47 |
48 |
45 |
54 |
30 |
50 |
77 |
47 |
28 |
48 |
58 |
32 |
42 |
58 |
61 |
30 |
35 |
39 |
41 |
60 |
55 |
59 |
|
По заданным данным построить интервальный вариационный ряд, для полученного интервального вариационного ряда построить полигон частот, гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения. Найти основные числовые характеристики: моду, медиану, выборочное среднее, эмпирическую дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Задача 71. По выборке: 23, 18, 21, 20, 18, 19, 20, 23, 18,19,
найти основные числовые характеристики: моду, медиану, выборочное среднее, эмпирическую дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Задача 72. Измерения дали следующие результаты
1,9 |
3,1 |
1,3 |
0,7 |
3,2 |
1,1 |
2,9 |
2,7 |
2,7 |
4,0 |
1,7 |
3,2 |
0,9 |
0,8 |
3,1 |
1,2 |
2,6 |
1,9 |
2,3 |
3,2 |
4,1 |
1,3 |
2,4 |
4,5 |
2,5 |
0,9 |
1,4 |
1,6 |
2,2 |
3,1 |
1,5 |
1,1 |
2,3 |
4,3 |
2,1 |
0,7 |
1,2 |
1,5 |
1,8 |
2,9 |
0,8 |
0,9 |
1,7 |
4,1 |
4,3 |
2,6 |
0,9 |
0,8 |
1,2 |
2,1 |
3,2 |
2,9 |
1,1 |
3,2 |
4,5 |
2,1 |
3,1 |
5,1 |
1,1 |
1,9 |
2,1 |
3,8 |
4,6 |
3,8 |
2,3 |
3,9 |
2,4 |
4,1 |
4,2 |
0,9 |
0,9 |
3,1 |
4,6 |
3,1 |
3,3 |
2,8 |
2,5 |
4,0 |
4,3 |
1,1 |
По заданным данным построить интервальный вариационный ряд, для полученного интервального вариационного ряда постро-